Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6 ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ

Цель работы

Изучить метод полного факторного эксперимента и его применение для построения регрессионных моделей, позволяющих анализировать и прогнозировать влияние нескольких факторов на выходной параметр технологического процесса.

Конкретные задачи

1.Освоить принципы планирования полного факторного эксперимента

(ПФЭ) типа 2^k.

2.Провести серию экспериментов с варьированием факторов на двух уровнях.

3.Построить линейную регрессионную модель, включающую основные эффекты и эффекты взаимодействия факторов.

4.Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с использованием t-критерия.

5.Проверить адекватность полученной модели с помощью F-критерия Фишера.

6.Научиться интерпретировать результаты регрессионного анализа для оптимизации технологического процесса.

Постановка задачи

Методом полного факторного эксперимента найти математическую модель процесса выращивания кристаллов в лабораторных условиях.

После консультации с технологами и предварительных исследований было установлено, что на размер выращенных кристаллов могут влиять следующие факторы:

1. Концентрация раствора

o Низкий уровень: 20 % (стандартная концентрация)

o Высокий уровень: 30 % (максимально допустимая по техпроцессу) 2. Температура кристаллизации

o Нижний уровень: 25°C (минимальная рабочая температура) o Верхний уровень: 35°C (максимальная рабочая температура) 3. Скорость перемешивания

o Медленная: 50 об/мин (базовый режим)

o Быстрая: 150 об/мин (максимальная скорость)

41

Требуется:

1.Составить матрицу планирования полного факторного эксперимента 2³

2.Провести серию опытов (не менее 3 повторностей для каждой комбинации факторов)

3.Построить регрессионную модель, связывающую размер кристаллов с исследуемыми факторами

4.Проверить значимость коэффициентов модели

5.Оценить адекватность полученной модели

Выходной параметр: средний размер кристаллов в мм (определяется методом микроскопического анализа).

Особенности задачи:

Включает как качественный (состояние испарителя), так и количественные факторы

Требует учета взаимодействия факторов

Позволяет продемонстрировать все этапы обработки данных эксперимента

Примечание: Для упрощения задачи можно использовать кодированные значения факторов (-1 и +1).

План эксперимента, его пятикратная реализация с учетом рандомизации и

первичная обработка результатов представлен в виде таблицы.

Расчеты проведем в пакете Scilab

Порядок выполнения работы

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные повторяющиеся комбинации уровней независимых переменных, каждая из которых принудительно варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2n определяет тип планирования.

Для гарантированного получения единственного решения системы нормальных уравнений необходимо иметь ортогональную матрицу планирования (табл. 6.1).

42

1. Поскольку изменение выходной величины Y носит случайный характер,

необходимо в каждой точке Xg проводить m параллельных опытов и результаты наблюдений Ylg,Y2g,...,Ymg усреднять

Величина m может быть любой, но не меньше m=3. Тогда эксперимент делится на m серий опытов, в каждой из которых полностью реализуется матрица планирования.

2. Проверка воспроизводимости – это проверка на выполнение второй предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дисперсий

Число степеней свободы для всех дисперсий одинаково и равно

43

3. Для проверки гипотезы об однородности оценок дисперсий следует пользоваться критерием Кохрена, который основан на законе распределения отношения максимальной эмперической дисперсии к сумме всех дисперсий, т.е.

Sg2

g 1

Если вычисленное значение критерия G окажется меньше табличного значения Gкр, найденного для q %-ного уровня значимости, зн 2 N – числа степеней свободы знаменателя, то гипотеза об однородности дисперсий принимается. При этом всю группу дисперсий Sg2 можно считать оценкой S2 Y

одной и той же генеральной дисперсии воспроизводимости 2 Y , откуда:

Если проверка на воспроизводимость дала отрицательный результат, то остается признать либо невоспроизводимость эксперимента относительно управляемых переменных, вследствие наличия флуктуации неуправляемых и неконтролируемых переменных, создающих на выходе большой уровень "шума", либо наличие грубого промаха в строке, откуда взята дисперсия max Sg2 .

Легко заметить, что исходный план содержит много больше строк, чем столбцов и, следовательно, из результатов эксперимента можно получить дополнительную информацию, т.е. расширить модель. Оставшиеся свободными столбцы можно использовать для нахождения оценок коэффициентов при парных взаимодействиях.

Вследствие того, что из ограниченного числа опытов нельзя получить точные значения коэффициентов i , а только их независимые оценки bi , вся математическая модель становится оценочной:

Для удобства расчетов и представления формул каждый столбец матрицы планирования может быть представлен в виде новой переменной Zig. Тогда оценки коэффициентов уравнения регрессии легко найти по формуле:

44

4. После определения оценок коэффициентов регрессии необходимо проверить гипотезу о значимости коэффициентов bi . Проверка гипотезы проводится с помощью t-критерия Стъюдента, который при проверке нульгипотезы формируется в виде:

– дисперсия ошибки определения коэффициента bi ,. При полном и дробном факторном планировании для всех i

Если вычисленная величина параметра t не превышает табличное значение tкр, найденное для q%-ного уровня значимости и v3=N(m-l) числа степеней свободы, то нуль-гипотеза отвергается и коэффициент считается незначимым и его следует отбросить, не включая в искомую модель.

После этого математическая модель объекта составляется в виде уравнения связи выходного параметра Y и переменных xi включающего только значимые коэффициенты.

Чтобы проверить гипотезу об адекватности представления результатов эксперимента найденному уравнению связи, достаточно оценить отклонение выходной величины Yg, предсказанное уравнением регрессии, от результатов

экспериментов Y g в точках zg факторного пространства.

Рассеяние результатов эксперимента вблизи уравнения связи, аппроксимирующего искомую функциональную зависимость, можно охарактеризовать с помощью дисперсии неадекватности ад2 оценка которой Sад2

находится по формуле:

45

5. Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией неадекватности ад2 , и дисперсией воспроизводимости 2 Y .

Проверка гипотезы об адекватности проводится с использованием F-критерия Фишера.

Критерий Фишера позволяет проверить гипотезу о равенстве двух генеральных дисперсий ад2 и 2 Y . В связи с тем, что самих генеральных дисперсий мы не знаем, F-критерий формируется как отношение:

Если вычисленное по формуле (6.11) значение критерия F меньше табличного Fкр, найденного для q%-ного уровня значимости,

числа степеней свободы числителя и зн з N(m 1) числа степеней свободы знаменателя, то нуль-гипотеза принимается. В противном случае она отвергается и описание (модель) признается неадекватным объекту.

Расчеты проведем в пакете Scilab. В ходе работы используется ряд нестандартных функций Scilab, они разработаны специально для данной работы и хранятся в файлах с соответствующими названиями в рабочей области Scilab

//Листинг программы

//Определим постоянные переменные

-->N=8; //всего опытов

-->m=5; //число параллельных опытов

-->n=3; //число входных параметров

//Введем значения выходного параметра Y, каждую строку представим отдельным вектором

-->Y1=[11.4 10.5 13.8 14.0 12.1]; -->Y2=[18.1 17.4 15.2 16.8 19.2]; -->Y3=[10.8 9.3 11.6 12.1 9.8]; -->Y4=[18.8 19.2 22.0 22.8 20.7]; -->Y5=[12.9 12.8 13.6 15.2 14.0]; -->Y6=[12.0 11.6 14.2 13.4 12.5];

46

-->Y7=[15.1 14.8 16.8 18.1 17.0]; -->Y8=[13.5 11.9 14.3 17.0 16.2]; ->Y=[Y1;Y2;Y3;Y4;Y5;Y6;Y7;Y8];

//Рассчитаем средние значения для каждого вектора

-->Ysr=Y_Srednee(Y,m) Ysr =

12.3600

17.3400

10.7200

20.7000

13.7000

12.7400

16.3600

14.5800

//Полученные результаты занесем в матрицу планирования в соответствующую колонк.

//рассчитаем дисперсии для каждой строки. -->Disp=Dispersia(Y,Ysr,m)

Disp = 2.3030 2.2280 1.3870 2.9900 0.9500 1.1180 1.9130 4.2270

47

//Полученные результаты занесем в матрицу планирования.

//Рассчитаем G-критерий Кохрена для определения воспроизводимости эксперимента

-->G=Krit_Kohrena(Disp)

G=

0.2470

//Сравнивая с табличным (Gкр=0.3910), получаем, что Gр<Gкр. //Таким образом подтверждается воспроизводилось опытов. //Найдем коэффициенты уравнения регрессии

-->> Koef=Koeff(Ysr,N) b0 =

14.8125

b1 =

1.5275

b2 =

0.7775

b3 = -0.4675 b12 =

0.5225

b13 = -2.2125 b23 =

0.3475

b123 = -0.7275

//Проверим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента

-->Krit_Studenta(Koef,Disp,N,m) t0 =

64.0475

t1 =

6.6047

t2 =

3.3618

t3 = -2.0214 t12 =

2.2592

48

t13 = -9.5666 t23 =

1.5025

t123 = -3.1456

Табличное значение критерия t=2.046, поэтому все найденные коэффициенты кроме b3 и b23 признаются значимыми и войдут в модель. Полученная модель имеет вид:

дисперсии адекватности необходимо рассчитать критерий Фишера. -->d=6; //Число членов аппроксимирующего полинома

-->F=Krit_Fishera(Koef,Ysr,Disp,N,d) //Рассчитанные значения y по модели yr1 =

12.3600 yr2 = 17.3400 yr3 = 10.7200 yr4 = 20.7000 yr5 = 13.7000 yr6 = 12.7400 yr7 = 16.3600 yr8 = 14.5800

//Подсчитать сумму квадратов разностей между модельным значением и средним арифметическим Yg той же строки

r1 =

3.1554e-030

r2 =

1.2622e-029

r3 =

0

r4 =

0

49

r5 =

0

r6 =

0

r7 =

1.2622e-029

r8 =

0 //Дисперсия адекватности равна:

Disp_ad =

1.4199e-029

//Критерий Фишера равен:

F =

6.6368e-030

Рассчитанное значение F<1, что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно применять для управления технологическим процессом испытания резисторов.

Результаты работы

Входе работы необходимо построить математическую модель и оценить

еепараметры по результатам проведения полного факторного эксперимента (ПФЭ) типа 23.

Каждый студент обрабатывает свой вариант экспериментальных данных в соответствии с номером варианта.

В результате выполненной лабораторной работы студент должен продемонстрировать преподавателю готовый файл Задача 8.scl. Отчёт должен включать:

►лист 1 (Титульный лист) – титульный лист к работе, на котором указаны название работы, номер варианта, Ф.И.О. студента, номер группы, дата выполнения работы;

►лист 2 (Таблица) – таблица исходных данных;

►лист 3 (Листин) – листинг программы для решения задачи;

►лист 4 (Уравнение) – найденные коэффициенты и уравнение регрессии;

50