Методы математического моделирования и обработки данных. Практикум

рас=4.2207

кр=13.2767

На рис. 4.2 приведены полученные кривые.

Рис. 4.2. Кривые распределения: сплошная – эмпирическая; пунктирная – теоретическая

Результаты работы 1. Электронный файл с расчетами

o Файл в формате Задача_4.scl с сохраненными результатами вычислений

2. Письменный отчет, содержащий следующие обязательные разделы:

Титульная страница

Наименование лабораторной работы

Индивидуальный номер варианта

Полные фамилия, имя и отчество исполнителя

Идентификатор учебной группы

Дата проведения работы

Аналитические расчеты

Таблица с исходными экспериментальными данными

Подробное решение с пошаговыми вычислениями

Промежуточные результаты расчетов

Графическая визуализация

31

Гистограмма распределения экспериментальных данных

Совмещенные графики теоретического и эмпирического распределений

Индивидуальное исследование

Расчетная таблица с данными персонального варианта

Полное решение индивидуального задания

Визуализация индивидуальных данных

Гистограмма распределения для персонального варианта

Сравнительные кривые теоретического и фактического распределений

Технические требования к оформлению

Все графики должны содержать подписи осей и легенду

Расчеты представляются с указанием используемых формул

Допускается как компьютерное, так и ручное оформление

Обязательная сквозная нумерация страниц

Форма представления

Электронная версия (файлы *.scl и *.pdf)

Распечатанный вариант отчета (по требованию преподавателя)

Варианты индивидуального задания

Требуется выполнить статистическую проверку гипотезы о нормальном характере распределения генеральной совокупности на основе анализа эмпирических данных выборки объемом n при заданном уровне значимости

α=0,05.

1. Провести статистический анализ выборки:

oВычислить выборочные оценки параметров распределения (среднее

идисперсию)

oПостроить эмпирическую кривую распределения

2.Выполнить проверку гипотезы:

oСформулировать нулевую (H ) и альтернативную (H ) гипотезы

o Выбрать и применить соответствующий критерий согласия (χ² Пирсона или Колмогорова-Смирнова)

o Рассчитать наблюдаемое значение критерия

oСравнить с критическим значением при α=0,05

3.Визуализация результатов:

oПостроить теоретическую кривую нормального распределения с параметрами, оцененными по выборке

oСовместить на одном графике эмпирическое и теоретическое

распределения

o Провести сравнительный анализ графиков

Вариант 1

α=0,05, n = 100 .

32

Вариант 2

α=0,01, n=100.

33

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5 ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель работы

Работа направлена на формирование у студентов компетенций в области математического моделирования экспериментальных зависимостей методом наименьших квадратов, включая выбор аппроксимирующей функции, расчет ее параметров и анализ точности полученной модели.

Порядок выполнения работы

Пусть на вход некоторого устройства подается сигнал x , а на выходе измеряется сигнал y . Известно, что величины x и y связаны функциональной зависимостью, но какой именно – неизвестно. Требуется приближенно

поскольку yi xi из-за случайных ошибок измерения и влияния на измерения

где i – некоторая случайная ошибка. Поэтому требуется провести кривую так, чтобы она в наименьшей степени зависела от случайных ошибок. Эта задача называется сглаживанием (аппроксимацией) экспериментальной зависимости и часто решается методом наименьших квадратов. Сглаживающую кривую называют аппроксимирующей.

Задача аппроксимации решается следующим образом. В декартовой прямоугольной системе координат наносят точки xi , yi . По расположению этих точек высказывается предположение о принадлежности искомой функции к

Величина называется также суммарной невязкой. Необходимым условием минимума функции нескольких переменных является обращение в нуль частных производных невязки:

34

самым полностью определяем функцию, которая наилучшим образом (в смысле наименьших квадратов отклонений от исходных точек или наименьшей суммарной невязки) аппроксимирует (приближает) искомую функцию x .

Функция y(x), является линейной комбинацией заранее выбранных базисных функций fj(x), j = 1, 2, …, n. Другими словами,

n

y x cj fj x .

j 1

Как правило, n << m. Коэффициенты cj необходимо определить, выбрав определенный критерий для сравнения функций. Построим матрицу значений базисных функций в заданных точках

f1 xm f2 xm fn xm

Матрица А, как правило, не будет квадратной матрицей. Пусть с – вектор из п искомых коэффициентов. Тогда можно построить вектор из т значений, через которые проходит данная кривая:

Потребуем, чтобы коэффициенты вектора c определялись минимумом «расстояния» между векторами y и у*, т.е. чтобы было выполнено условие

Чтобы найти минимум функции (5.5), необходимо продифференцировать ее по всем переменным ск и приравнять соответствующие производные нулю. Тогда мы получим систему уравнений, которую можно записать в виде

Эту систему из п уравнений можно записать в виде матричного уравнения (Ас – у)ТА = 0, которое эквивалентно уравнению АТ(Ас – у) = 0, или

35

АТАс = АТу.

Полученное уравнение в математической статистике называется нормальным уравнением. Очевидно, что матрица АТА является симметрической и, согласно теории матриц, если ее столбцы являются линейно независимыми, существует обратная матрица (АТА)-1. Тогда решение системы относительно неизвестного вектора с является единственным и выражается формулой

с = ((АТА)-1АТ)у = А+у.

Матрица А+ = (АТА)-1АТ называется псевдообратной матрицей по аналогии с обратной матрицей для систем алгебраических линейных уравнений.

Решение задачи проведём с помощью пакета математического моделирования Scilab.

Исходные данные:

//Листинг программы

-->x=[0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0]; //ввод исходных данных х

-->y=[0.4 0.3 1.0 1.7 2.1 3.4 4.1 5.8]; //ввод исходных данных y //зададим дополнительные функции

-->f0=[1 1 1 1 1 1 1 1]; -->f1=x;

-->f2=x.^2;

-->A=[fo;f1;f2]; //задаём матрицу исходных параметров

//Определим вектор коэффициентов

-->betta=((inv(A’*A))*A’)*y’

36

better=

0.2928571

-0.1380952

0.3714286

Таким образом, получаем искомое уравнение:

= 0,2928 − 0,138 +0,3714

Для оценки правильности определения коэффициентов, построим графики функций по исходным данным и рассчитанным данным

-->yr=0.2928571-0.1380952.*x+0.3714286.*x.^2

-->plot(x,y)

-->plot(x,yr,’r’)

Рис. 5.1. Графики функций: эмпирические и теоретические данные

При анализе графиков видно, что теоретическая кривая хорошо аппроксимирует теоретические данные, следовательно, полученное уравнение хорошо описывает исходные данные.

Однако, для более точной оценки необходимо рассчитать среднюю квадратичную ошибку на единицу веса и среднее абсолютное отклонение.

-->delta_0=sqrt(sum((y-yr)^2)/(8-2))

delta_0=0.2020

37

-->delta=sum(y-yr)/8

delta=0.0306

Результаты расчёта показывают, что коэффициенты определены верно (так как абсолютное отклонение delta<0.1), хотя уровень точности не высокий. Для повышения уровня точности необходимо подобрать другое выражения и повторить вычисления.

Результаты работы Требования к оформлению отчета по лабораторной работе:

По результатам выполнения практического задания студенту необходимо представить:

1. Электронный документ:

o Файл с расширением *.scl, содержащий программную реализацию решения задачи (Задача_6.scl)

2. Письменный отчет, структурированный следующим образом: o Титульный лист:

Наименование работы и учебной дисциплины

Сведения об исполнителе (ФИО, номер группы)

Дата выполнения

Номер варианта задания

o Исходные данные:

Табличное представление экспериментальных данных

Описание условий проведения исследований

o Методика решения:

Текст программы с комментариями

Обоснование выбранного алгоритма o Результаты обработки:

Графическая интерпретация данных:

Эмпирическая кривая распределения

Теоретическая кривая, полученная в результате аппроксимации

Аналитические результаты:

Рассчитанные коэффициенты регрессионной модели

Итоговое уравнение регрессии в математической форме

Примечание: Все графические материалы должны содержать обязательные элементы оформления (названия осей, легенду, единицы измерения).

Варианты индивидуального задания

В соответствии с вариантом задания провести анализ функции и нацти неизвестные коэффициенты методом наименьшихквадратов.Необходимые расчеты и построение графиковпровести в паккете Scilab.

38

Вариант 1

Найти коэффициенты модели: y 0 1x 2x2

39

Вариант 7

Найти коэффициенты модели: y 0 1e0.1x

40