Методы исследования систем управления. Учебное пособие

задается равной 0,95 или 0,90. Тогда задача ставится так: требуется найти такой интервал, куда среднее значение прогнозируемого показателя, соответствующее точке x x0 , попадет, например, с вероятностью 0,95.

Ясно, что большей надежности прогноза будет отвечать более широкий интервал; если требуется сделать прогноз с меньшей надежностью, то интервал можно взять меньшей длины.

Иногда вместо задачи прогнозирования с требуемой надежностью прогноза рассматривается обратная задача: требуется указать надежность, с которой интересующее нас значение исследуемого показателя попадает заданный интервал.

1.2.2. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ

Величина исследуемого показателя (результативного признака) в исследованиях систем управления обычно зависит от многих факторпризнаков, каждый из которых в отдельности может и не оказывать решающего влияния, а совместное их влияние оказывается достаточно сильным. Так, например, на производительность труда рабочего оказывают влияние уровень его квалификации, возраст, производственный стаж, а на урожайность – выпадение осадков в вегетационный период, количество внесенных удобрений, сроки сева и глубина вспашки и т.д.

Термин «множественная регрессия» объясняется тем, что анализу подвергается зависимость одного признака (результирующего) от набора независимых (факторных) признаков. Разделение признаков на результирующий и факторные осуществляется исследователем на основе содержательных представлений об изучаемом явлении (процессе). Все признаки должны быть количественными, хотя допускается и использование дихотомических признаков, принимающих лишь два значения, например, 0 и 1 (например, удовлетворен работой - неудовлетворен).

Для измерения совместного влияния ряда факторов на величину анализируемого показателя используются многофакторные модели. При исследовании многофакторных моделей, как и однофакторных используется корреляционный и регрессионный анализ.

Для корректного использования регрессионного анализа требуется выполнение определенных условий. Факторные признаки должны быть некоррелированы (отсутствие мультиколинеарности), число наблюдений должно превышать число признаков в несколько раз, чтобы параметры уравнений множественной регрессии были статистически надежными. И, наконец, исследуемая совокупность должна быть в достаточной степени качественно однородной. Существенные нарушения этих условий приводят к некорректному использованию моделей множественной регрессии.

21

Пусть имеется совокупность фактор-признаков x1 , x2 , x3 …. xn , имеющих

совместное нормальное распределение, которые оказывают влияние на некоторый интересующий нас результативный показатель y.

По аналогии с однофакторной моделью основной задачей корреляционного анализа многофакторных моделей является оценка тесноты попарных связей между фактор-признаками xi и оценка общего влияния их

на результативный показатель y.

Основной же задачей множественного регрессионного анализа является определение адекватной формы модели, отображающей зависимость исследуемого показателя y от влияющих на него показателей x1 , x2 , x3 …. xn .

В многофакторных моделях функциональная зависимость математического ожидания результативного признака у от факторов выражается уравнением множественной регрессии. Как и в случае парной корреляции, одна из важнейших задач моделирования -–это выбор формы зависимости и получение соответствующего уравнения регрессии. В многофакторных моделях выбор уравнения регрессии значительно сложнее, так как невозможно провести визуальный анализ корреляционного поля. В данном случае приходится проводить корреляционный анализ попарных связей, то есть связей каждого фактор-признака с результативным показателем и попарных связей между фактор-признаками.

Выбор формы связи должен основываться на качественом, теоретическом и логическом анализе сущности изучаемых явлений. Чаще всего ограничиваются линейной регрессией, то есть зависимостью вида:

ошибка модели.

Коэффициенты регрессии bi определяются таким образом, чтобы

рассогласования , характеризующиеся степень приближения реальных значений результирующего признака y с помощью линейной модели

a b1 x1 b2 x2 .... bm xm , были минимальными. Это достигается на основе

метода наименьших квадратов.

Если уравнение множественной регрессии уже построено, то в вариации результирующего признака y можно выделить часть, обусловленную изменениями фактор-признаков, то есть объясненную с помощью регрессионной модели, и остаточную, необъясненную часть. Очевидно, что чем большую часть вариации признака y объясняет уравнение регрессии, тем точнее по значениям факторных признаков можно восстановить значение результирующего, и, следовательно, тем теснее связь

22

между ними. Естественной мерой тесноты этой связи служит отношение дисперсии признака y, объясненной регрессионной моделью, к общей дисперсии признака y:

Величина R называется множественным коэффициентом корреляции и характеризует степень тесноты связи результирующего показателя y со всем набором факторных признаков x1 ,… xm . В случае парной регрессии (т.е. при

наличии всего одного фактора x1 ) совпадает с обычным коэффициентом парной корреляции rxy . Вспоминаем: коэффициент корреляции rxy -

статистическая мера тесноты линейной связи пары признаков x и y. Значения находятся в пределах [–1; +1]; чем ближе rxy к + 1, тем теснее связь данной

пары признаков, тем ближе она к функциональной. Значения rxy , близкие к

нулю, указывают на отсутствие линейной связи признаков. Чем ближе R 2 к единице, тем точнее описывает уравнение регрессии (22) эмпирические данные.

Укажем содержательный смысл коэффициентов bi в уравнении множественной линейной регрессии (22): величина bi показывает, насколько

в среднем изменяется результирующий признак y при увеличении соответствующего фактора x на единицу шкалы его измерения при фиксированных (постоянных) значениях других факторов, входящих в уравнение регрессии (то есть, оценивается «чистое» воздействие каждого фактора на результат).

Из этого определения следует, что коэффициенты регрессии bi

непосредственно не сопоставимы между собой, так как зависят от единиц измерения факторов xi .

Понятно, что в случае адекватности уравнения (22) его можно использовать в прикладных задачах, в частности, при определении точечного и интервального прогнозов.

Таким образом, мы с вами рассмотрели некоторые методологические и прикладные подходы к построению прогнозов экономических процессов. Для того, чтобы более глубоко изучить статистические методы разработки прогнозов советуем вам обратиться к списку рекомендуемой литературы.

1.3. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ

Теоретико-множественные методы опираются на следующие понятия: множество, элементы множества и отношения на множествах. Любую сложную систему можно представить как совокупность множеств и отношений между ними.

23

Множества могут задаваться двумя способами: перечислением элементов {a, a, a, … a} и названием характеристического свойства {A}. В основе теоретико-множественных преобразований лежит переход от одного способа задания множества к другому. В множествах могут быть выделены подмножества, из которых, установив отношения между элементами, можно сформировать новое множество, состоящее из элементов, качественно отличных от элементов исходных множеств.

На теоретико-множественном уровне абстракции можно получить только общие сведения о реальных системах, а для более конкретных целей необходимы другие абстрактные модели, которые позволили бы производить более тонкий анализ различных свойств реальных систем. Эти более низкие уровни абстрагирования, в свою очередь, являются уже частными случаями по отношению к теоретико-множественному уровню формального описания систем.

При использовании методов данной группы могут вводиться любые отношения между множествами. Благодаря этому теоретико-множественные представления могут использоваться как база для возникновения новых научных направлений, например метода генерирования случайных ассоциаций, для создания языков моделирования.

Метод генерирования случайных ассоциаций может рассматриваться как частный случай использования теоретико-множественных методов, который предполагает использование ассоциативного мышления человека и предполагает наличие хороших результатов при поиске новых решений.

1.4.ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Для наглядного представления статистических данных, для экстраполяции тенденций тех или иных экономических процессов, для структурирования проблем всегда использовались графические представления (графики, диаграммы и т.п.)

Графические методы исследования систем управления обладают, по крайней мере, двумя главными достоинствами. Во-первых, наглядное представление проблемы или ситуации упрощает ее понимание исследователем, а, во-вторых, сам процесс использования некоторых графических методов является полезным, так как приводит к появлению новых знаний об объекте исследования.

Рассмотрены подробнее некоторые графические методы исследования систем управления.

1.4.1. ДИАГРАММА ИСИКАВЫ

Причинно-следственная диаграмма впервые была использована Каори Исикава в 1943 г. В течение последующих десятилетий этот метод получил

24

дальнейшее развитие. Структура такой диаграммы напоминает рыбий скелет. Поэтому ее называют диаграммой «рыбья кость» или Исикава-диаграммой.

Цель построения диаграммы Исикавы - выявление эффективного способа решения поставленной проблемы.

В «голове» диаграммы «рыбья кость» стоит определение проблемы (рис. 7). Для обозначенной проблемы (К на рис. 7) должно быть найдено решение. Поиск причин обозначенной проблемы начинается с определения возможных классов (групп) этих причин (А, Б, В,… на рис. 7). Причинами могут быть: техника, которая используется; люди, работающие в данной области; методы, с которыми они работают; внешняя среда и др.

Рис. 7. Принцип построения диаграммы Исикавы

К — проблема, требующая решения; А, Б, В, Г, Д, Е, Ж — категории возможных причин возникновения рассматриваемой проблемы; A1, A2, .. Ж1, Ж2.. и т.д. — причины, относящиеся соответственно к категории А, категории Ж и т.д.

В диаграмме исследуемый вопрос (например, характеристика качества) изображается в виде прямой горизонтальной линии, а категории причин (они также называются причинные факторы первого порядка), влияющие на исследуемую характеристику, даются наклонными прямыми линиями (стрелками). На диаграмме причинные факторы первого порядка изображаются большими наклонными линиями, а второго, третьего и т.д.— малыми наклонными линиями.

На рисунке 8 приведены пять проблемных классов или пять категорий причин, порождающих проблему, т.е. диаграмма состоит в данном случае из пяти узлов. Они описывают пять групп проблем. От этих узлов идут стрелки к главной проблеме, которую следует решить.

Следующий шаг решения поставленной задачи (проблемы) заключается в детализировании классов проблемы.

25

Рис. 8. Причинно-следственная диаграмма

Основные работы по составлению такой диаграммы включают следующие шаги:

1)Причинно-следственную диаграмму, вообще говоря, может построить один исследователь. Однако лучшие результаты получаются, если

впроцессе построения участвует группа исследователей. Следовательно, первым шагом построения будет формирование рабочей группы из людей, обладающих требуемыми знаниями в области, подлежащей изучению.

2)Необходимо четко описать саму проблему, причины возникновения которой нужно найти.

3)На бумаге или на каком-то другом большом поле следует обозначить рассматриваемую проблему у острия большой стрелки. При этом нужно оставить достаточно места слева от стрелки, где изображаются причины. Не следует стремиться к симметрии схемы.

4)Необходимо определить категории возможных причин возникновения рассматриваемой проблемы, и нанести обозначения категорий около ветвей, выходящих из основной стрелки (см. рис. 9). Такими категориями могут быть:

a)люди;

b)техника;

c)материалы;

d)методы;

e)внешняя среда и т.д.

5) Для каждой категории причин методом мозгового штурма нужно постараться выявить все возможные причины и сразу обозначать их на соответствующей ветви диаграммы. Следует использовать краткие описания и обозначения. Включайте главные категории по очереди, но одновременно делайте пометки относительно других категорий, если они придут в голову по ходу дела. Причины, относящиеся к нескольким категориям, отмечайте везде, где надо. Часто возникает потребность заново перечертить схему после того, как очередная ее версия готова.

26

6) Необходимо проанализировать идентифицированные причины и выделить самые важные из них. Помните, цель исследования всегда направлена на решение проблемы, а не на симптомы.

Рассмотрим составление диаграммы Исикавы на примере (рис. 9).

Рис. 9. Причинно-следственная диаграмма дефектов грузовых автомобилей

С помощью данной причинно-следственной диаграммы можно начинать поиск причин. Причины могут быть в специальных характеристиках самолета, в его возрасте и т.д. Причины частых дефектов могут объясняться действиями людей, которые выполняют определенные функции (человеческий фактор). Речь идет о пилотах, техниках, обслуживающих машину, заправщиках, ремонтной службе и др. Возможно, самолет эксплуатируется не в той внешней среде, для которой он предназначен, например, не на тех высотах, не на ту дальность полетов и т.д.

Такая причинно-следственная диаграмма является методом оценки всех возможных причин до нахождения наиболее существенных, вероятных.

На основе результатов анализа диаграммы вырабатываются соответствующие корректирующие (управляющие) воздействия.

Эта диаграмма — один из классических и наиболее широко распространенных инструментов решения задач управления качеством.

27

Многие считают этот инструмент несколько старомодным, негибким и утомительным в использовании. Однако это весьма полезный инструмент, имеющий ряд сильных сторон. В процессе построения причинноследственной диаграммы вручную многое становится ясным.

1.4.2. ДИАГРАММА ПАРЕТО

Среди графического инструментария нередко представляет практический интерес диаграмма Парето, которая помогает выявить причины и факторы, позитивно или негативно влияющие на то или иное явление или процесс.

Цель построения диаграммы Парето - наглядно показать приоритетные причины и факторы, влияющие на исследуемое явление или процесс.

Построение этой схемы основано на, так называемом, принципе Парето, сформулированном итальянским ученым Вильфредо Парето. В переводе на современный язык систем управления этот принцип заключается в том, что часто примерно 80 процентов всех возможных проявлений обусловлены примерно 20 процентами всех возможных причин. Разумный подход в этом случае — акцентировать внимание именно на эти 20 процентов причин, которые называют «жизненно важным меньшинством». Это совсем не означает, что можно игнорировать оставшиеся 80 процентов причин: в надлежащий момент времени этими причинами, которые называют «этим важным большинством», также следует заняться. Принцип Парето определяет приоритеты проблем, за решение которых следует браться в первую очередь.

Диаграмма Парето сама по себе представляет графическую интерпретацию в виде скошенного распределения так называемого правила «80/20». Это причины, рассортированные по степени важности, по частоте возникновения, по затратам, по уровню показателей и т.д. При упорядочивании причин на диаграмме Парето самые важные из них относят к левому краю схемы, так, чтобы это «жизненно важное меньшинство» было легко идентифицировать. Для повышения информативности диаграммы Парето обычно на нее наносят и кривую накопленных частот (кумулятивную линию важности). Пример построения диаграммы представлен на рис. 10.

28

Рис. 10. Общая диаграмма Парето с кумулятивной линией важности

При работе с диаграммой Парето выполняют следующие действия:

1)Необходимо определить главную проблему и ее различные потенциальные причины.

2)Определить, какой количественный показатель будет использоваться при сравнении возможных причин. В качестве такого показателя можно было бы взять частоту возникновения разного рода проблем или их следствий в терминах денежных затрат и других условий.

3)Определить период времени, в течение которого будут собраны данные и соберите их.

4)Следует расположить причины слева направо вдоль горизонтальной оси диаграммы Парето по убыванию степени их относительной важности. Нарисуйте столбики схемы. Их высота соответствует степени относительной важности соответствующей причины.

5)Отметьте полученные абсолютные, значения показателей на левой вертикальной оси. Отметьте относительные значения показателей в процентах на правой вертикальной оси. Нарисуйте кумулятивную линию важности вдоль верхнего края столбиков.

29

6) Разработайте предложения и мероприятия, направленные на решение самых важных проблем (на основе диаграммы Парето).

Построение диаграммы Парето можно упростить, если пользоваться стандартным компьютерным обеспечением, предназначенным для составления электронных таблиц. Вместе с тем для построения диаграмм Парето есть и специализированное программное обеспечение.

Рассмотрим построение диаграммы Парето на следующем примере. Для определения приоритетности девяти стимулов приобретения (реализации) на внутреннем рынке телевизоров отечественного производства данные были представлены в виде диаграммы Парето (рис. 11).

Рис. 11. Диаграмма Парето для анализа стимулов приобретения (реализации) продукции: 1 — более высокий технический уровень; 2 — более высокий эксплуатационный уровень качества; 3 — меньшие единовременные затраты потребителя (покупателя); 4 — более высокий имидж предприятия-изготовителя; 5 — более высокий уровень сервиса (в том числе гарантии); 6 — более высокий уровень качества изготовления; 7 — меньшие текущие затраты потребителя; 8 — точные сроки поставки продукции; 9 — прочие случаи.

Изучение диаграммы Парето подтвердило, что наиболее значимым стимулом для потребителей является более высокий технический уровень телевизоров (эти данные были получены экспертным методом на основе парных сопоставлений при участии 20 экспертов).

30