Методы исследования систем управления. Учебное пособие

Рис. 3. Отклонения от прямой, причем сумма квадратов всех отклонений оказывается минимальной

На рис. 3 показаны вертикальные отклонения от прямой, как положительные (для точек над прямой), так и отрицательные (для точек под прямой), причем сумма квадратов всех отклонений оказывается минимальной.

К решению нормальной системы уравнений можно прийти и подругому.

Разделив оба уравнения системы (4) на n, получим:

a0 a1 x y

Умножив 1-ое уравнение системы (6) на x и вычитая его из 2-ого получим:

первого уравнения (6) по формуле: a0 y a1 x (8). Окончательно имеем:

a0 y a1 x .

12

Коэффициент a1 называется коэффициентом регрессии и

показывает насколько единиц в среднем изменяется результативный показатель y при увеличении фактор-признака x на одну единицу.

Как оценить тесноту корреляционной зависимости? Коэффициент регрессии не может быть взят для оценки тесноты связи, так как он имеет следующие недостатки:

1)Коэффициент a1 - это угловой коэффициент прямой линии

регрессии. Этот коэффициент может быть одним и тем же для многих линий, относящихся к разным корреляционным полям, например, как на рис. 4:

Рис. 4. Коэффициент a1 одинаковый для разных случаев связи между х и y.

Очевидно, что в одном случае точки корреляционного поля отстоят дальше от линии регрессии, чем в другом случае. Ясно, что во втором случае теснота связи между х и y больше.

2)Второй недостаток коэффициента a1 состоит в том, что он зависит

от натуральных единиц измерения фактор-признаков. Так,. если фактор х исчисляется в миллионах рублей вместо тысяч, то a1 увеличивается в 1000 раз.

Чтобы избавиться от этих недостатков, необходимо перейти к стандартной системе измерения случайных величин. В стандартной системе за единицу измерения случайной величины принимают ее среднее квадратичное отклонение (ошибку).

корреляции (выборочным коэффициентом корреляции случайных величин

Х и У).

Коэффициент rxy совпадает по знаку с a1 . Если rxy >0, то корреляционная связь является прямой. Если rxy <0 - обратной.

Коэффициент парной корреляции рассчитывается и по другим формулам, вытекающим из (10), например:

Свойства коэффициента корреляции.

1.Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству

-1 < rxy < 1.

2.Если между Х и У существует линейная функциональная связь, то | rxy |=1, и наоборот: если | rxy |=1, то между x и y существует линейная

функциональная связь (см. рис. 5)

Рис. 5. Между x и y существует линейная функциональная связь если | rxy |=1 и наоборот.

3.При rxy =0 между Х и У отсутствует линейная корреляционная

зависимости y от x. Но в этом случае зависимость может быть нелинейной, даже функциональной (см. рис. 6).

14

Рис. 6. Тесная корреляционная зависимость при rxy =0.

Из рис. 6 видно, что существует тесная корреляционная связь, хотя коэффициент корреляции близок к нулю.

Таким образом, коэффициент корреляции хорош только для линейной связи. Он применим только при нормальном или близком к нормальному распределении случайных величин. Косвенным признаком, свидетельствующим о линейности связи и нормальности распределения, является большая абсолютная величина ( rxy >0.6) коэффициента корреляции.

Рассмотрим пример. Пусть имеются данные о товарообороте и сумме издержек обращения по 10 торговым точкам компании в млн. руб.

15

Система нормальных уравнений для рассматриваемого примера будет выглядеть так:

10a0 5790a1 322

5790a0 3338100a1 188600

Решая систему, находим коэффициенты a0 и a1 , тогда уравнение регрессии запишется в виде:

y 2.8758 0.0606x

Коэффициент регрессии в уравнении a1 =0,0606 показывает среднее увеличение суммы издержек обращения на 60,6 тыс. руб. на каждый миллион прироста товарооборота.

Варьируя значение фактор-признака, можно прогнозировать поведение результативного показателя. То есть коэффициент регрессии a 1 имеет очень большое практическое значение.

Также коэффициент регрессии используется при определении показателя эластичности. Коэффициент эластичности Е характеризует процент изменения результативного показателя в случае изменения факторпризнака на 1 процент.

В рассмотренном примере можно говорить об эластичности издержек обращения по отношению к товарообороту.

Если имеется зависимость показателя y от x, то формула для определения эластичности показателя y такова:

Где x – интересующее нас значение дохода, а по уравнению регрессии при данном доходе.

Коэффициент эластичности может быть вычислен для любого значения фактор-признака. Можно найти также среднее значение коэффициента эластичности издержек обращения y, воспользовавшись уравнением регрессии:

При увеличении издержек товарооборота на 1% издержки обращения увеличиваются в среднем на 1,09 %.

Замечание.

Коэффициенты корреляции и регрессии находятся в следующей

Рассмотрим на нашем примере, как считать среднеквадратические ошибки.

17

И, следовательно, коэффициент регрессии можно рассчитать через коэффициент парной корреляции, не решая систему нормальных уравнений,

коэффициента rxy : Коэффициент парной корреляции показывает, на сколько стандартных единиц S y изменяется случайная величина y, если величина x изменяется на одну свою стандартную единицу S x .

Рассмотренный коэффициент корреляции rxy показывает тесноту связи

лишь в случае линейной зависимости между случайными величинами, имеющими совместное нормальное распределение. Поэтому возникает необходимость найти коэффициент тесноты или интенсивности связи и в случае нелинейной зависимости. Роль таких коэффициентов играют корреляционное отношение и индекс корреляции, которые в случае линейной зависимости совпадают с коэффициентом корреляции и потому раскрывают его с новой стороны.

Корреляционным отношением (эмпирическим) называется величина:

уравнению регрессии (необязательно линейному), а S y2 - полная дисперсия

18

построенное уравнение регрессии отражает корреляционную зависимость между показателями x и y.

Для линейной модели регрессии коэффициент корреляции корреляционное отношение yx и индекс корреляции iyx численно равны между собой. В случае нелинейной модели коэффициент корреляции rxy может быть близок или даже равен 0, а коэффициенты yx iyx могут быть

близки к единице или даже равны единице в случае удачного выбора нелинейной зависимости y от x. Равенство индекса корреляции или коэффициента детерминации единице означает функциональную зависимость y от x.

После построения регрессионной модели необходимо проверить ее на адекватность исследуемому процессу, то есть необходимо выяснить, правильно ли она отображает подмеченную закономерность, или зависимость исследуемого показателя y от показателя x.

Это нужно сделать для того, чтобы убедиться в пригодности и надежности модели для использования в прикладных целях, в частности для прогнозирования показателя у в будущем.

Для оценки адекватности используется критерий Фишера. Для этого определяется расчетный показатель по формуле:

что связь между результативным и факторным признаком существенна. Очевидно, что уравнение регрессии после проверки его надежности

можно использовать для предсказания значений результирующего показателя y при некоторых интересующих нас значениях фактора-признака x.

Прогноз значений исследуемого показателя может быть точечным и интервальным. Точечный прогноз получается прямой подстановкой значения

значение исследуемого показателя y при значении независимого показателя никогда в точности не совпадет с точечным прогнозом y0 , а будет

находиться в некотором интервале, содержащем y0 . Практически важнее интервальный прогноз. Границы этого интервала равноудалены от центра y0

и определяются на основе дисперсионного анализа.

Для определения доверительного интервала задаются некоторой доверительной вероятностью P прогноза. Обычно доверительная вероятность

20