Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Численные методы. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории вероятностей и прикладной математики

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 1

для направления 01.03.04 "Прикладная математика"

5 семестр

Москва 2016

План УМД на 2015/2016 уч.год

Методические указания к выполнению лабораторных работ

по дисциплине

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 1

5 семестр

Составитель: Демин Д.Б., к.ф.-м.н., доцент каф. ТВиПМ

Издание утверждено Методическим советом ОТФ-1. Протокол № 7 от 17.03.2011. Издание 2-е переработанное и дополненное

Рецензент: Кюркчан А.Г., д.ф.-м.н., профессор

2

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемые методические указания относятся к дисциплине "Численные методы", изучаемой студентами дневного отделения специальности 23040101 "Прикладная математика" в 4 семестре. В течение всего семестра студенты выполняют лабораторные работы по указанной дисциплине, задания к которым приведены в конце каждого раздела.

В первой части методических указаний приведены только первые четыре раздела по дисциплине "Численные методы".

Методические указания содержат лишь краткий обзор основных численных методов вычислительной математики и задания для выполнения лабораторных работ, и не являются систематическим изложением курса. Литература, по которой следует изучать курс, указана в начале методических указаний.

Порядок выполнения каждой лабораторной работы включает следующие этапы:

1.Подготовка к выполнению лабораторной работы. Выбор варианта задания. Написание подпрограмм для указанных алгоритмов на языках программирования (Си, Паскаль) или в специализированных пакетах (Matlab, Maple).

2.Проведение расчетов по лабораторному заданию при помощи подготовленных программ в лабораторном классе.

3.Защита результатов лабораторной работы у преподавателя. Выполнение лабораторной работы оформляется отчетом. Отчеты по ла-

бораторным работам практикума можно проводить либо в одной тетради (в клетку) либо на отдельных листах формата A4, скрепленных вместе. Отчеты сдаются преподавателю и обратно не возвращаются.

Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать следующие пункты.

1.Название лабораторной работы и дату ее проведения, номер варианта, фамилию и номер группы студента.

2.Цель лабораторного задания и текст задания.

3.Математическая формулировка лабораторной задачи, краткое описание используемых численных методов и алгоритм программы, реализующий методы.

4.Исходные данные для программы и результаты ее выполнения.

5.В зависимости от номера лабораторной работы аналитические расчеты поставленной задачи.

6.Результаты выполнения лабораторной работы в целом.

Основные разделы дисциплины "Численные методы"

1.Введение в численные методы. Элементы теории погрешностей.

2.Численное интегрирование. Погрешности численного интегрирования. Метод двойного просчета (метод Рунге). Экстраполяция по Ричардсону.

3

3.Аппроксимация и интерполяция функций. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Метод наименьших квадратов.

4.Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод половинного деления, метод хорд, метод Ньютона, метод простой итерации.

5.Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод Ньютона. Метод наименьших квадратов (наискорейшего спуска).

6.Численные методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаус- са-Жордана, метод квадратных корней. Итерационные методы: простых итераций, Зейделя.

7.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера. Метод РунгеКутты 4 порядка.

8.Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА

Литература

Основная

1.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004.

2.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. –

Т.1, 2. – М.: Наука, 1976-1977 гг.

3.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – СПб.:

Лань, 2007.

4.Сборник задач по методам вычислений. Под ред. П.И. Монастырного. – М.: Физматлит, 1994.

5.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

Дополнительная

1.Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1997.

2.Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: Высшая школа, 2001.

3.Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспе-

чение. – М.: Мир, 2001.

4.Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004.

5.Сборник задач по математике для втузов. Методы оптимизации, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, Под ред. А.В. Ефимова. –

М.: Наука, 1990.

6.Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова. Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: Учебное пособие. – СПб.: Лань, 2008.

4

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Под численным методом решения задачи понимается вычислительный алгоритм, т.е. последовательность арифметических (сложение, вычитание, умножение, деление) и логических операций, при помощи которых находится приближенное численное решение математической задачи.

Разработка и исследование численных методов, и их применение к решению конкретных задач составляет содержание раздела современной математики – вычислительной математики.

При создании численных методов необходимо руководствоваться следующим: получить сходящийся алгоритм решения задачи с наименьшим количеством затрат времени и ресурсов компьютера.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это достигается при помощи дискретизации исходной задачи. Также общим является то, что все численные методы дают лишь приближенное решение, которое и принимается за решение исходной задачи. Неточность решения обусловлена погрешностями вычислений, возникающих на всех этапах решения.

1.1. Виды погрешностей

Существует три типа погрешностей:

1)неустранимая погрешность, т.е. погрешность, вызванная неточным математическим описанием явления, или неправильным заданием исходных данных;

2)погрешность метода, возникающая из-за неточности численного метода или из-за приближенного решения задачи в силу невозможности решения при большом количестве арифметических операций;

3)вычислительная погрешность, которая возникает в силу округления полученных данных или из-за конечности количества разрядов чисел в компьютере.

5

женное, то абсолютной погрешностью приближенного значения называют некоторую величину (a* ) , про которую известно, что:

| a* a | (a* ) .

Относительной погрешностью приближенного значения a* называют некоторую величину (a* ) , про которую известно, что:

Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример: 1) x 0.00367 (значащие цифры 3, 6 и 7, поэтому в компьютере следует принять x 3.67 10 3 ); 2) x 2.1 104 (значащие цифры только 2 и 1).

Если число a* имеет n значащих цифр, то за абсолютную погрешность числа a* принимают половину единицы разряда, выражаемого n -ой значащей цифрой, считая слева направо.

Значащая цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример: Пусть x* 12.396 и известно, что (x* ) 0.03 . Тогда, так как

(x* ) 12 10 3 , (x* ) 12 10 2 , (x* ) 12 10 1 , то только 1, 2 и 3 – верные

значащие цифры, а 9 и 6 – сомнительные.

Термин "число верных цифр (знаков) после запятой" означает число цифр после запятой от первой до последней верной цифры.

Абсолютную и относительную погрешность часто записывают в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры, причем a* и (a* ) принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример: x* 0.0267 , (x* ) 0.007 . Здесь (x* ) 12 10 1 , поэтому все

цифры после запятой не верные (сомнительные).

Рассмотрим процесс округления чисел. Если число нужно округлить до нескольких десятичных знаков после запятой, то цифра, предшествующая старшему отбрасываемому разряду, не меняется, если этот разряд меньше пяти: округлим число с 0.3453 до трех цифр, тогда c* 0.345.

Если старший отбрасываемый разряд больше пяти, то предшествующая цифра увеличивается на единицу: при с 2.96757 , округляя до четырех цифр,

получим c* 2.9676 .

Если старший отбрасываемый разряд равен пяти, то предшествующая ему четная цифра не меняется, а нечетная увеличивается на единицу: c 3.915, c* 3.92 .

Если число имеет лишь верные цифры, то округленное значение имеет, также, лишь верные цифры.

6

При вычислениях желательно сохранить столько значащих цифр, чтобы их число не превышало числа верных цифр более чем на одну-две единицы.

Любое число a можно представить следующим образом:

1) a a* (a* ); или 2) a a* (1 (a* )) .

Если в постановке задачи требуется найти решение с погрешностью10 n , то это означает необходимость сохранить верной значащую цифру, стоящую в n -ом разряде после запятой.

Пример: вычислить 2 с точностью 10 3 . Возьмем 2 1.4142 . Так как | 1.4142 1.414 | 0.0002 0.0005 10 3 , тогда верными цифрами явля-

ются цифры 1, 4, 1 и 4 (здесь (2) 0.0005 ). Из этого примера видно, что (a* ) .

1.2. Прямая задача теории погрешностей

Пусть в некоторой области G n -мерного пространства задана дифференцируемая функция u f (x1 ,...,xn ) и необходимо вычислить значение этой

функции в некоторой точке области G . Предположим, что известны лишь приближенные значения координат этой точки и их абсолютные погрешно-

сти. Вычислим приближенное значение функции u* f (x1*,...,xn* ) и оценим его абсолютную погрешность. Используя формулу Лагранжа, получим

Тогда абсолютная погрешность суммы равна сумме погрешностей этих чисел:

n

u* xi* .

i 1

Относительная погрешность суммы находится по правилу

n x*

u* i 1 x* xi* , x* ... xn* .

2.Погрешность вычитания: пусть f (x) x x1 x2 ( x1 x2 0 ). Тогда:x1*i

3. Погрешность произведения: пусть f (x) x x1 x2 ...xn . Тогда:

7

При умножении приближенного числа на множитель | k | относительная погрешность не меняется, а абсолютная увеличивается в | k | раз.

4.Погрешность частного: пусть f (x) x x1 ( x1 , x2 0 ). Тогда:

x2

2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Рассмотрим численные методы вычисления определенных интегралов вида

функция f (x) интегрируема. Точное значение интеграла (2.1) можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. Если первообразную функцию f (x) найти не удается или функция f (x) задана таблицей своих значений на [a,b]

или интеграл (2.1) вычисляется на компьютере, то в этих случаях используют методы численного интегрирования.

Очень часто значение интеграла (2.1) ищут в виде линейной комбинации значений функции f (x) на отрезке [a,b] :

Приближенное равенство (2.2) называют квадратурной формулой (термин "квадратура" происходит от лат. quadratura, что означает вычисление площади или квадрирование).

является абсолютной погрешностью квадратурной формулы.

Обычным аппаратом для построения квадратур является аппарат интерполирования. По заданной подынтегральной функции f (x) строится сеточная

функция в выбранных узлах сетки, например, вида: a x0 x1 ... xk ...

8

xN b , затем эта функция заменяется интерполяционным многочленом, ин-

теграл от которого может быть легко вычислен. Такие квадратурные формулы называют интерполяционными.

Методы приближенного вычисления интегралов различаются способами выбора узлов xk , их числом и способами выбора интерполяционных полиномов.

Рассмотрим основные квадратурные формулы с равноотстоящими узлами. Выберем на отрезке [a,b] равномерную сетку узлов:

где h – шаг сетки.

Простейшими методами численного интегрирования являются методы прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

2.1. Метод прямоугольников

Этот метод основан на определении определенного интеграла через предел последовательности интегральных сумм.

По геометрическому свойству определенного интеграла, он равен площади фигуры, ограниченной функцией y(x) , отрезком прямой [a,b] и прямыми

x a , x b . Заменим определенный интеграл площадью некоторой, состоящей из прямоугольников, ступенчатой фигуры. Такая приближенная формула называется формулой прямоугольников. Фактически, на каждом элементарном отрезке [xi , xi 1 ] , i 0,1,...,N функция y(x) заменяется интерполяци-

онным полиномом нулевой степени, т.е. постоянной величиной, равной значению этой функции на элементарном отрезке.

По способу выбора ступенчатой фигуры различают методы левых, правых и средних прямоугольников.

2.1.1. Метод левых прямоугольников

n 0

9

2.1.2.Метод правых прямоугольников

Вэтом методе площади элементарных прямоугольников ищутся через значения функции y(x) в правом конце каждого отрезка. Тогда формула чис-

ленного интегрирования по методу правых прямоугольников для N элементарных отрезков примет вид

2.1.4. Погрешности метода прямоугольников

Теоретические абсолютные погрешности методов левых и правых прямоугольников совпадают и определяются формулой:

2.2. Метод трапеций

Заменим кривую y(x) на отрезке [a,b] вписанной в нее ломаной с вершинами в точках (xn , yn ) , n 0,...,N . Тогда площади I (n) ( n 1,...,N ) элементарных прямоугольников будут определяться по формуле площади трапеции:

I (n) h2 ( yn 1 yn ) .

Суммируя эти величины, получим формулу численного интегрирования по методу трапеций для N элементарных отрезков:

Абсолютная теоретическая погрешность в методе трапеций определяется формулой:

10