Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Численные методы. Часть 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

799 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Необходимо, чтобы M N , тогда возможно решение полученной системы (3.30), в противном случае система метода может иметь не единственное решение. При M N получаем полиномиальную интерполяцию по методу Лагранжа, т.е. вид у функции y(x) будет такой же, как и у LN (x) .

Погрешность в методе наименьших квадратов (близость аппроксимируемой функций f (x) к аппроксимирующей y(x) ), выражается следующей фор-

мулой:

M1 1 f (xm ) ym 2 . (3.32)

m 0

Формула (3.32) представляет собой точечную среднеквадратическую ошибку МНК. Максимальную ошибку также можно считать и по формуле:

M	max	f (xm ) ym	.	(3.33)

	0 m M

3.7. Задание на лабораторную работу № 2: Аппроксимация и интерполяция функций

1. Для функции y(x) (№ варианта совпадает с вашим номером в журнале)

на отрезке [0, 5] построить интерполяционный полином Лагранжа (четные номера вар. – Ньютона) по значениям функции в точках x 1, 2, 3, 4 .

2.По тем же точкам построить методом наименьших квадратов аппроксимирующую параболу.

3.Построить на одном рисунке графики исходной функции и аппроксимирующих функций. Определить максимальную фактическую погрешность интерполяции (на отрезке [1, 4]) и экстраполяции (на отрезках [0, 1] и [4, 5]). Определить погрешность метода наименьших квадратов. Провести сравнение методов.

№ вар.				№ вар.
	y(x) x sin(x)						sin( x)

1				16	y(x) x 1
1				16	y(x) x 1
					y(x) x cos(x 1)
2	y(x)	2x 2		17	y(x) x cos(x 1)

	y(x) sin(x)					cos(x)

3				18	y(x) x 1
3				18	y(x) x 1
	y(x) cos(x)							e x
4	y(x) cos(x)			19	y(x) x 1
4				19	y(x) x 1
					y(x) ln( x2 1)
5	y(x)		x2 1	20	y(x) ln( x2 1)
6	y(x) x cos(x)			21	y(x) x ln( x 1)

	y(x) sin(x 1)				1

7				22	y(x) 1 x2
7				22	y(x) 1 x2

8	y(x) cos(x 2)		23	2

				y(x) 2 x2
				y(x) 2 x2
9	y(x)	2	24	y(x) x e x

		cos(x) 2
		cos(x) 2

10	y(x) sin(x) ex		25	y(x) x2 e x
11	y(x) cos(x) ex		26	y(x) tg(x) (1 x)
12	y(x) sin( x) e x		27	y(x) e x2
13	y(x) cos(x) e x		28	y(x) cos(x 1) 1
14	y(x) sin(2 x)		29	y(x) xex
15	y(x) sin(x) (2 x)		30	y(x) sin(x 1) 1

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Вычисление корней нелинейных уравнений вида
f (x) 0	(4.1)

состоит из двух этапов: установления отрезка [a,b] , на котором имеется

единственный корень уравнения (4.1) (локализация корня), и уточнения корня с заданной погрешностью (выбор метода).

Для отделения корней уравнения (4.1) можно использовать следующий критерий: если на отрезке [a,b] функция f (x) непрерывна и монотонна, а ее

значения на концах отрезка имеют разные знаки (т.е. f (a) f (b) 0 ), то на

этом отрезке существует только один корень уравнения (4.1). Достаточным признаком монотонности функции f (x) на отрезке [a,b] является сохранение

знака ее производной. Отделение корней можно проводить также графически. На этапе численного решения уравнения (4.1) на выбранном отрезке [a,b], на котором находится только один корень, обычно используют некото-

рую итерационную процедуру, состоящую в построении числовой последова-

тельности xn

( n 0,1,...), где xn – приближение к корню уравнения (4.1) на n -

ом шаге. Пусть x* – точное значение этого корня. Говорят,

что последова-

тельность x

( n 0,1,...), сходящаяся к x* , имеет порядок сходимости (точно-

сти) 1, если при n

n 1

т.е. существуют константы c 0 , n0 0 такие, что для всех n n0 :

n 1

Сходимость

при 1 называется линейной или первого

порядка, при

1 2 – сверхлинейной, при 2 – квадратичной.

Рассмотрим некоторые из методов уточнения корней.

4.1. Метод половинного деления (дихотомии)

Пусть f (x) – непрерывная функция на отрезке [a,b] и f (a) f (b) 0 . Очевидно, что середина отрезка служит приближением к корню уравнения

(4.1) с точностью (b a) 2.
В середине отрезка x1 (a b) 2 определяется знак функции				f (x) .	Затем
выбирается тот отрезок [a, x1 ] или [x1 ,b], на концах которого значения					f (x)
принимают разные знаки. Далее деление отрезка пополам повторяется.

Обозначим погрешность метода на n -ом шаге через	n	x	n	x*	тогда
	n		n

погрешности на n -ом и на n 1-ом шагах связаны неравенством n 1 0.5 n , ( n 1, 2,...), что позволяет отнести метод половинного деления к методам,

имеющим линейную скорость сходимости. Если требуется найти корень с точностью , то деление отрезка продолжают до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2 . Середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Ясно, что n , отсюда можно найти необходимое

число итераций n log 2 (b a) .

2. Метод хорд (секущих)

В методе хорд, в отличие от метода дихо-

томии, отрезок [a,b]

делится не пополам,

пропорционально величинам ординат

f (a)

f (b) графика функции f (x) . Точка с

– (пер-

вое приближение к корню) абсцисса точки пе-

f (x)

ресечения оси абсцисс Ox с секущей прямой,

проходящей

через

точки

A(a, f (a))

B(b, f (b)) , где AB –

хорда,

определяется по

f 0

формуле:

c a

f (a)(b a)

f (b) f (a)

Эта формула получена при условии, что

f (x) 0 на [a,b] . Далее вычис-

ления повторяются, но уже для отрезка [c,b]

и т.д. Видно, что точка b остает-

ся неподвижной, а меняется только левый конец отрезка.

Запишем общее

[a,b] , то непод-

правило неподвижной точки: если f (x) не меняет знак на

вижен тот конец отрезка, для которого f ( ) f

( ) 0. Таким образом, уточнять

корень можно по следующим формулам:

1) Если

f (b) f (x) 0 , x [a,b], то x0 a , b – неподвижная точка и

(b xn ) f (xn )

n 0,1, 2,...

(4.2)

n 1

f (b) f (xn )

2) Если						0 , x [a,b] , то x0 b		, a – неподвижная точка и
		f (a) f (x)
x		x			(xn	a) f (xn )	, n 0,1, 2,...	(4.3)
	n 1		n
					f (xn ) f (a)

Укажем				погрешность метода хорд.				Пусть f (x) дифференцируема на

[a,b] и			m1 0 . Тогда, из теоремы Лагранжа имеем:

		f (x)
\| x	n	x* \|			.
				f (xn )
				f (xn )

				m1
				m1

Используя алгоритм метода хорд, получим более точную оценку

| x

x* |

M1 m1

n 1

где m1

min |

xn 1 .

f (x) | ,

max | f (x) |, xn 1

x [a, b]

Тогда, условие окончания уточнения корня имеет вид:

xn 1 xn		m1	.

	M1	m1

4.3. Метод Ньютона

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Этот метод называют также методом линеаризации или методом касательных. Идея метода: подмена исходной нелинейной функции ее линейной моделью на основе формулы Тейлора. Геометрически это аналогично замене дуги кривой y f (x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.

	y			f(b)
				f(b)
	f (x)
a				x
		x1
	x* x2	x1	b
	f 0		b
	f 0

В методе Ньютона функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a,b] следующим свойствам: f (x) дважды дифференцируема и обладает достаточной гладкостью; f (x) 0 и

производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на [a,b] .

Итерационная формула Ньютона поиска корня имеет вид:

x		x		f (xn )	, n 0,1, 2,...,	(4.7)
x	n 1	x	n		, n 0,1, 2,...,	(4.7)
				f (xn )
где xn	– приближенное значение корня на n -ой итерации.

Рекомендуемое правило выбора начального приближения x0 : за начальное приближение принимаем один из концов отрезка [a,b] , который удовлетворяет неравенству f ( ) f ( ) 0.

Погрешность метода Ньютона можно оценить по формуле:

x* x	n 1	M 2	\| x	n 1	x	n	\|2	,	(4.8)


		2m1

где m1		M 2
где m1	min \| f (x) \| ,	M 2	max \| f (x) \| .
	x [a, b]		x [a, b]
Поскольку верхняя оценка (4.8) сложна для вычисления, на практике ите-

рационный процесс останавливают при выполнении условия: | xn 1 xn | , где – заданная точность.

В методе Ньютона при условии f (x* ) 0 наблюдается замедление скорости сходимости, поэтому при p -кратных корнях x* рекомендуется формула:

xn 1

f (xn )

, n 0,1, 2,...

f (xn )

Пример. Выведем формулу приближенного вычисления квадратного

корня числа a . Это

означает,

что

решается уравнение x

a 0 . Тогда

a f (x) x

a 0 и

f (x) 2x . Отсюда получим

xn2

xn 1

2xn

Эта формула была известна греческому ученому Герону за тысячу лет до Ньютона.

4.4. Метод простых итераций

Этот метод применяется к решению нелинейного уравнения с выделенным линейным членом вида

x (x) .

(4.9)

Приближения xn к корню уравнения (4.9) будем искать по следующей формуле


xn 1 (xn ) , n 0,1, 2,...			(4.10)
Если (x) – непрерывная функция, а xn			– сходящаяся последовательность, то
значение x* lim x	n	является решением уравнения (4.9).

y x

x* x2

2) q : (x)

(x0 )

y (x)

x1 x0

q 1, x (a,b) .

На рисунке приведены приближения к корню по формуле (4.10) когда 0 (x) 1.

Если (x) 0 , т.е. (x) возрастает на [a,b] , то последовательность xn монотонная, а если

	то последовательность xn
(x) 0 на [a,b] ,	то последовательность xn
– колеблющаяся.
Достаточными	условиями сходимости

метода простой итерации являются следующие:

1) функция (x) дифференцируема на [a,b] ,

Тогда уравнение (4.9) будет иметь единственный корень на [a,b] , при этом

последовательность итераций x

сходится к корню x*

при любом начальном

приближении x0 .

Погрешность метода может быть определена по формулам:

| x

* x

, x

)

(4.11)

1 q

или

| x

* x

| .

(4.12)

k 1

1 q

Если требуется иметь гарантированную погрешность метода простой

итерации, т.е. |

x* x

| , то тогда алгоритм следует останавливать, если

| x

1 q

(4.13)

Укажем способы приведения уравнения (4.1) к уравнению (4.9) с обеспе-

чением сходимости метода простой итерации.

Пусть дано уравнение (4.1), тогда возьмем (x) x f (x) , где – не-

то (x) x f (x) , 0 . Если

которая константа. Если f (x) 0 на [a,b] ,

на [a,b],

то (x) x f (x) ,

0 .

Параметр подбирается так,

f (x) 0

чтобы | (x) | q 1. Тогда (при

f (x) 0 ) имеем:

(x) | | 1 f (x) | | 1 m1 | q

(x) | | 1 f (x) | | 1 M1 | .

Способы выбора :

M1 m1

1) Если

, то |

(x) |

M1 m1

2) Если

, то

(x) |

m M

3) Если оценки величин m1

и M1

не известны, то значение берется та-

1 f

. Тогда из уравнения

ким, чтобы (x0 ) 0

(x0 )

f (x0 )

(4.10) получим модифицированный метод Ньютона:

f (xn )

, n 0,1, 2,...

(4.14)

f (x0 )

4.5. Задание на лабораторную работу № 3: Численное решение нелинейных уравнений

1. Для уравнения (см. вариант) определить корни аналитически (или графически) и найти один из них с точностью 10 4 (или сделать не более 8 ите-

раций вручную) методами половинного деления, хорд, методом Ньютона и методом простой итерации при одинаковых начальных условиях.

2. Оценить теоретическую погрешность найденных решений и сравнить методы.

№	уравнение	№			уравнение
вар.	уравнение	вар.			уравнение
вар.		вар.
1	e x sin(2x) 0	14	x sin x cos x 0,5 0
2	x ln(4x) 1 0	15		x3 3 sin x 0
3	x3 x2 5 0	16		ex x3 2 0
4	5x e x 0	17	sin(1 0,2x2 ) x 0
	3x cos x 1 0
5	3x cos x 1 0	18		4sin x		x 0

6	x2 4sin x 1 0	19			3x 3x3	0
7	sin 2x x 0	20		x3 x4 4 0,8 0


8	2sin x sin 2x 0	21	1 x cos(1 x) 0

9	x3 x2 4x 4 0	22		3x cos x 1 0
10	x3 4sin x 0	23		x5 3x2 1 0
11	x4 10x3 1 0	24	(x 1)2 0.5ex 0


12	x3 sin x 12x 1 0	25			x 1 1 x 0

13	cos x (x 2)0,5 1 0	26			x tgx 0

Методические указания

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Часть 1

Подписано в печать 05.04.16 г. Формат 60x90 1/16 Объем 1,9 усл. п.л. Тираж 150 экз. Изд. № 35. Заказ № 163.

ООО «ТиРу». Москва, ул. Правды, д. 24, стр. 5.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]