Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине Численные методы. Часть 1

Оценка теоретической погрешности метода трапеций оказалась в два раза больше оценки метода средних прямоугольников.

2.3. Метод Симпсона (метод парабол)

Функция y(x) на каждом элементарном отрезке заменяется вписанной в

ют таким образом: уравнение параболы строят по точкам x0 , x1 , x2 на отрезке

y(x) заменяется параболой. Можно показать, что на отрезке интегрирования

Суммируя все элементарные площади на отрезке [a,b] , получим формулу Симпсона численного интегрирования для N отрезков:

Можно записать следующую программу для метода Симпсона на универсальном языке:

1S y0 yN ; p 4;

2цикл по n от 1 до N 1

3{S S p yn ; p 6 p;}

4S S h3 .

Теоретическая абсолютная погрешность метода Симпсона на отрезке [a, b] равна

11

2.4. Практическая оценка погрешности и экстраполирование по Ричардсону

При интегрировании функции, заданной таблично в равноотстоящих узлах сетки, оценка погрешности производится по формулам:

Здесь 2 y и 4 y – среднеарифметические значения вторых и четвертых ко-

нечных разностей (см. раздел 3), вычисленных по заданной таблице сеточной функции.

Вычисление значений I ( N ) при различных значениях N элементарных отрезков позволяет получить более точное значение интеграла. Это позволяет практическим способом оценить погрешность и повысить на единицу порядок точности численного метода путем двойного (и т.д.) просчета.

Пусть используется какой-либо метод численного интегрирования с шагами h и 2h , при этом пусть число отрезков разбиения в методе с шагом h равно N , тогда в методе с шагом 2h – N / 2 . Далее, пусть порядок выбранно-

где I ( N / 2) и I ( N ) – численные значения интеграла, вычисленные по методу с шагом h и 2h , C hk и C 2k hk – главные члены погрешности численного метода, C – константа.

1, для методов левых и правых прямоугольников,

k 2, для методов средних прямоугольников и трапеций,4, для метода Симпсона.

Используя формулы (2.14)-(2.15), получим абсолютную практическую погрешность по методу двойного просчета (метод Рунге)

Подставляя формулу (2.16) в (2.14), получим формулу численного интегрирования с точностью порядка k 1

Формула (2.17) называется экстраполяцией по Ричардсону.

Если порядок погрешности k метода не известен, можно, используя ту же методику, что и выше, получить оценку этого числа. Для этого нужно

12

иметь три приближенных значения интеграла, чтобы исключить член C hk с двумя неизвестными.

Для этого добавим к уравнениям (2.14)-(2.15) еще одно вида:

2.5.Задание на лабораторную работу № 1: Численное интегрирование

1.Вычислить интеграл (№ вар. по списку в журнале) аналитически, методами

средних прямоугольников, трапеций и Симпсона для N 4 вручную (ЭВМ: N 16 ) и N 8 (ЭВМ: N 32 ). Для каждого метода вычислить экстраполированное по Ричардсону значение интеграла.

2. Определить теоретическую погрешность каждого метода, а также погреш-

13

Дополнительное задание: (по выбору)

4. Написать программу, осуществляющую с помощью подпрограммы вычисление интеграла с заданной точностью ( взять равным 0.001). Заданная точность достигается методом двойного просчета для N и 2N элементарных интервалов интегрирования, начиная с N 1. Завершение программы двойного просчета должно выполняться либо при достижении заданной точности, либо при проведении заданного количества итераций kmax (не более 15

итераций). Использовать методы трапеций и Симпсона.

3. АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ

3.1. Аппроксимация и интерполяция

Аппроксимация – это замена (приближение) одной функции f (x) более простой функцией y(x) , близкой к функции f (x) .

В качестве аппроксимирующих (приближенных) функций y(x) очень

часто выбираются многочлены, или функции, составленные из многочленов. В таком случае говорят о полиномиальной аппроксимации или кусочно-

14

полиномиальной аппроксимации. По сравнению с тригонометрическими и экспоненциальными функциями, многочлены привлекательны тем, что они являются линейными функциями своих коэффициентов и их вычисление сводится к выполнению простейших операций – сложения, вычитания и умножения.

В зависимости от выбранного критерия аппроксимации и от количества точек согласования f (x) и y(x) , можно рассмотреть различные конкретные

способы аппроксимации.

Возьмем в качестве аппроксимирующих функций y(x) обобщенные полиномы, составленные по системе функций n (x) , вида:

где an – неизвестные коэффициенты, которые подбираются. В качестве

a x0 , x1 , …, xN b .

Задача интерполирования функции f (x) состоит в том, чтобы найти зна-

( i 0, 1,..., N ) называют сеточной функцией, заданной на отрезке [a, b]. Задача интерполирования решается следующим образом: выбирается

система функций n (x) , строится обобщенный полином (3.1), а коэффициенты an подбираются таким образом, чтобы в узлах интерполяции значения обобщенного полинома совпадали со значениями данной функции f (x) :

Если y(x) определяется формулой (3.2), то говорят о полиномиальной (параболической) интерполяции.

15

Задача полиномиальной интерполяции для функции f (x) , заданной в виде таблицы:{xi , f (xi ) , i 0, 1, ..., N} состоит в следующем: найти многочлен

Из математического анализа известно, что существует только один полином PN (x) на заданном отрезке [a, b] для несовпадающих узлов сетки.

При практическом построении интерполяционного полинома обычно используют два метода: метод Лагранжа и метод Ньютона.

3.2. Интерполяционный полином Лагранжа

Построим многочлен N -ой степени в виде линейной комбинации многочленов N -ой же степени:

Коэффициенты cn можно получить из условия: ln (xn ) 1.

На основании (3.5)-(3.7) получим интерполяционный полином Лагранжа

(квадратичная интерполяция).

3.3. Интерполяционный полином Ньютона

Другим способом задания интерполяционного полинома является метод Ньютона. Построим сначала полином Ньютона для равноотстоящих точек (для равномерной сетки узлов) на отрезке [a,b] :

16

Полином Ньютона совпадает с полиномом Лагранжа (в силу теоремы существования и единственности), но по способу построения получается более просто. Так слагаемые в полиноме Ньютона убывают и располагаются, как и в ряде Тейлора, в порядке их значимости.

Если в (3.12) ввести замену переменной t (x x0 )h , тогда

xx0 th , (x x1 )h t 1, …, (x xN 1 )h t (N 1) .

Сучетом этих соотношений формула (3.12) примет следующий вид:

Формула (3.13) называется первым интерполяционным полиномом Ньютона для интерполирования вперед.

17

Для правой половины отрезка [a,b] разности лучше вычислять справа налево. Это достигается заменой t (x xN )h . Тогда из (3.12) получим

Формула (3.14) называется вторым интерполяционным полиномом Ньютона для интерполирования назад.

3.4. Интерполяционный полином Ньютона для неравноотстоящих узлов

Пусть функция y f (x) задана таблично на неравномерной сетке узлов

a x0 , x1 , …, xN b , при этом y0 , y1 ,…, yN – значения функции f (x) , и разности xn 1 xn ( n 0,1,...,N 1) не равны между собой. Введем следующие

определения.

сти второго порядка.

Разделенные разности n -го порядка определяются из разделенных разностей n 1-го порядка по следующей формуле:

полином ( N 2 )-й степени относительно x . Тогда, разделенная разность вида

18

Используя формулы (3.18)-(3.19) и интерполяционные условия (3.15), получим интерполяционный полином Ньютона для неравноотстоящих узлов:

3.5. Погрешность многочленной интерполяции

Ясно, что в узлах интерполяции погрешности интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона равны нулю. Погрешность RN (x) f (x) LN (x)

в точке x , не совпадающей с узлом интерполяции, определяется по формуле: