Методика обучения младших школьников решению задач. Учебное пособие

Задача: Мальчик купил 6 тетрадей в клетку и 3 в линейку по одинаковой цене. За тетради в клетку он заплатил 12 рублей. Сколько он заплатил за тетради в линейку?

У. – Ребята, сегодня на уроке мы познакомимся с задачами нового для вас вида. Прочитайте задачу, записанную на доске. О каких величинах идѐт речь в данной задаче?

Д. – О цене, количестве и стоимости.

У. – Запишем в таблицу названия этих величин.

У. – Ребята, что обозначает число 6? Д. – Количество тетрадей в клетку

У. – Запишем это в таблицу. Что обозначает число 12? Д. – Стоимость тетрадей в клетку.

У. – Запишем это число 12 на той же строке. Что показывает число 3? Д. – Количество тетрадей в линейку.

У. – Запишем это число на второй строке. Что надо узнать в задаче? Д. – Стоимость тетрадей в линейку.

У. – Как обозначить это в таблице? Д. – Вопросительным знаком.

У. – Известна ли цена? Д. – Нет.

У. – Но что про неѐ сказано? Д. – Цена одинаковая.

У. – Запишем это в таблице.

У.- Ребята, что значит одинаковая цена?

Д. – 1 тетрадь в клетку стоит столько же, сколько 1 тетрадь в линейку.

У. – Тогда подумайте, больше или меньше, чем 12 р., будут стоит 3 тетради в линейку.

Д. – Будут стоит меньше, чем 12 р., так как на 12 р. купили 6 тетрадей в клетку, а тетрадей в линейку купили 3 шт. 3<6.

У. – Если известно, что 6 тетрадей в клетку стоят 12р., то что можно узнать? Д. – Цену 1 тетради.

У. – Каким действием?

Д. – Делением. (12:6=2 (р.))

У. – Мы узнали, сколько стоит 1 тетрадь в клетку? Д. – Да.

У. – Так какова цена одной тетради в клетку?

Д. – 2 р.

У. – Тогда какова цена тетради в линейку?

Д. – Тоже 2р., так как цены тетрадей одинаковые.

52

У. – Если мы знаем, что ученик купил 3 тетради в линейку по цене 2 р., то что можно узнать?

Д. – Стоимость тетрадей в линейку. У. – Каким действием?

Д. – Умножением.( 2х3= 6(р.))

У. – Ребята, мы ответили на вопрос задачи? Д. – Да.

Записывается решение на доске и в тетрадях.

После решения этой задачи можно перейти к работе с учебником. Полезно на этом уроке познакомить учащихся с решением задач на нахождение четвѐртого пропорционального, используя свойство пропорциональных величин.

У. – Во сколько раз меньше купили тетрадей в линейку, чем тетрадей в клетку?

Д. – В 2 раза.

У. – Как узнали?

Д. – 6 разделили на 3.

У. – Во сколько раз меньше заплатили за тетради в линейку, чем за тетради в клетку при одинаковой цене?

Д. – В 2 раза.

У. – Тогда как узнать, сколько заплатили за тетради в линейку?

Д. – 12:2

У. – Запишите решение выражением.(12:(6:3)=6(р.)) У. – Ребята, какой можно сделать вывод?

Д. – Если купили в 2 раза меньше по одинаковой цене, то и заплатили в 2 раза меньше.

На последующих уроках идѐт закрепление таких задач. В целях обобщения способа решения, после рассмотрения нескольких задач первого типа с величинами( цена, количество, стоимость), вводятся задачи того же типа с другими величинами.

3.2. Методика обучения решению задач на пропорциональное деление.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну постоянную величину. Даны два значения одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной. Слагаемые этой суммы являются искомыми.

Вначальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только

спрямой пропорциональной зависимостью величин (их 4 вида) методом приведения к единице или способом нахождения постоянной величины, и вводятся они по - разному. Можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Именно

53

поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление, который и будет рассмотрен.

Первой лучше включить задачу с величинами цена, количество и стоимость, поскольку связи между ними усвоены учащимися лучше, чем связи между другими величинами. Учитель предлагает составить задачу по ее краткой записи (запись выполнена на доске):

У. – Ребята, у меня на доске записана краткая запись задачи. Составьте по краткой записи задачу.

Ученики составят примерно такую задачу: «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, а второй – 5 марок.. Марки первого мальчика стоили 35 р. Сколько стоили марки второго мальчика?»(решение идѐт устно)

У. – О чѐм говорится в задаче? Д. – О марках.

У. – Если известно, что 7 марок стоят 35 р., то что можно узнать? Д. – Сколько стоит одна марка.

У. – Каким действием узнаем?

Д. – Делением: 35:7=5(р.)-цена одной марки. У. – Что значит «одинаковая цена».

Д. – Это значит, что второй мальчик заплатил за одну марку столько же денег, что и первый.

У. – Так, сколько же заплатил второй мальчик за одну марку? Д. – Тоже 5 рублей.

У. – Если мы знаем, что второй мальчик купил 5 марок по 5 рублей за штуку, то, что можно узнать?

Д. – Сколько стоили марки второго мальчика. У. – Каким действием узнаем?

Д. – Умножением: 5х5=25(р.)- стоимость марок второго мальчика.

У. – Посмотрите, ребята, внимательно. Я стираю вопросительный знак в краткой записи нашей задачи и вместо него записываю ответ, полученный при решении задачи – 25 р.

У. – А теперь найдите стоимость всех марок. Каким действием узнаем? Д. – Сложением: 35+25=60 (р.), - уплатили за марки оба мальчика.

У. – Посмотрите, ребята, какие изменения внесу я в краткую запись нашей задачи.

По новой краткой записи составьте задачу.

54

Д. – «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй 5 марок. Всего они уплатили 60 р. Сколько стоили марки первого мальчика? Сколько стоили марки второго мальчика?»

У. – Ребята, сколько вопросов в задаче? Д. – В задаче 2 вопроса.

У. – Какой первый вопрос?

Д. – Сколько стоили марки первого мальчика. У. – А какой второй вопрос?

Д. – Сколько стоили марки второго мальчика.

У. – Ребята, эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько стоили марки первого и второго мальчика?» Каков же тогда окончательный вариант задачи?

Д. – «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй 5 марок. Всего они уплатили 60 р. Сколько стоили марки первого и второго мальчика».

У. – Можем мы сразу ответить на вопрос задачи? Д. – Нет.

У. – А почему?

Д. – Мы не знаем цену одной марки.

У. – А можем ли мы узнать, сколько всего купили марок на 60 р.? Д. – Да.

У. – Каким действием?

Д. – Сложением: (7+5=12(м.) - у детей.)

У. – Если мы узнаем, сколько купили марок по одинаковой цене и сколько за них заплатили, то можем ли мы узнать цену одной марки?

Д. – Да.

У. – Каким действием?

Д. – Делением: (60:12=5(р.)- цена одной марки).

У. – Если известно, что первый мальчик купил 7 марок по 5 р. за штуку то, что мы можем узнать?

Д. – Сколько стоили марки первого мальчика. У. – Каким действием?

Д. – Умножением: (5х7=35(р.) - стоили марки первого мальчика). У. – А сколько стоили марки второго мальчика?

Д. – 25 р.

У. – Как узнали?

Д. – 5х5=25(р.)-стоили марки второго мальчика.

На доске и в тетрадях учащихся появляется запись решения задачи по действиям с пояснениями и ответ задачи. Решение:

1.7+5=12(м.)- купили всего марок

2.60:12=5(р.)- цена одной марки

3.5х7=35(р.)- стоимость марок первого мальчика

4.5х5=25(р.)- стоимость марок второго мальчика Ответ: 35р., 25р.

У. – Ребята, как узнать, правильно ли мы решили задачу?

55

Д. – Нужно сделать проверку. У. – Как проверить?

Д. – Сумма полученных результатов должна быть равной 60р. У. – Верно. 25+35=60(р.). Значит, задача решена, верно.

. Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, и промоделировать еѐ с помощью таблицы. Затем приступают к составлению плана решения задачи от вопроса к данным. Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками.

3.3. Методика обучения решению задач на нахождение неизвестного по двум разностям.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну постоянную. Даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. В начальной школе рассматриваются 2 вида таких задач.

Сначала рассматривается задача первого вида, а затем второго. Эти задачи решаются только способом нахождения постоянной величины, то есть методом приведения к единице.

Подготовительной работой к введению задач на нахождение неизвестного по двум разностям является хорошее решение задач на нахождение четвертого пропорционального. До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрываются основные проблемы задачи.

Можно на подготовительном этапе проработать следующие вопросы – задачи, которые помогут учащимся уяснить соответствие между двумя разностями. Например:

1.Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько сестра?

2.Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 6 рублей больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?»

Работу по вопросам – задачам можно провести следующим образом:

У. - Ребята, послушайте задачу: « Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в линейку и 5 тетрадей в клетку. Каких тетрадей ученик купил больше? На сколько больше? За какие тетради он уплатил денег больше?»

У.- Какие тетради купил ученик?

Д. - 9 тетрадей в линейку и 5 тетрадей в клетку по одинаковой цене.

У. - Давайте проиллюстрируем нашу задачу. Каждую тетрадь обозначим клеточкой:

56

Учитель выполняет иллюстрацию на доске, а учащиеся в своих тетрадях. У. – Каких тетрадей ученик купил больше?

Д. – В линейку.

У. – А на сколько больше? Д. – На 4 тетради больше

У. – За какие тетради он уплатил больше денег?

Д. – За тетради в линейку, так как этих тетрадей он купил больше, а цена была одинаковая У. – Ответьте мне на такой вопрос: «За сколько тетрадей в линейку ученик упла-

тил столько же денег, сколько и за тетради в клетку?» Д. – Ученик уплатил за 5 тетрадей в линейку столько же денег, сколько и за 5 тетрадей в клетку.

У. – Ребята, обведите цветным карандашом 5 клеточек, которые обозначают 5 тетрадей в линейку.

У. – Молодцы, ребята. А теперь послушайте вторую задачу: «Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в линейку на 4 больше, чем в клетку. И уплатил за них на 12 р. больше, чем за тетради в клетку. Сколько стоила одна тетрадь?» (Учи-

тель использует иллюстрацию, выполненную к первой задаче).

У. – Ребята, как вы понимаете выражение: « Тетрадей в линейку купил на 4 больше, чем в клетку. » Д. – Купил столько же и еще 4

У. – Покажите это на рисунке

У. – Что значит: « Уплатил на 12 р.больше? » Д. –Уплатил столько же, сколько за тетради в клетку и еще 12 р.

У. – За сколько же тетрадей ученик уплатил 12 р.? Д. – За 4 тетради.

У. –Покажем на рисунке?

У. – Сколько же стоит одна тетрадь?

Д. – 3 р.

У. – Как узнали, каким действием?

Д. – 12:4=3(р.) - делением.

Учитель может предложить упражнения из учебника, а также составленные им с другими величинами. После такой подготовки можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу.

57

Рассмотрим фрагмент урока по введению задач на нахождение неизвестных по двум разностям через преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального.

У. – Ребята, по краткой записи, помещенной у меня на доске, составьте задачу:

« Маша купила 6 м красной материи и 4 м зеленой материи по одинаковой цене. За красную материю она заплатила 300 р. Сколько рублей Маша заплатила за зеленую материю? »

У. – О чем говорится в задаче?

Д. – О красной и зеленой материях У. – Если известно, что 6 м красной материи стоят 300 р., то что можно узнать?

Д. – Сколько стоит 1 м красной материи. У. – Каким действием узнаем?

Д. – Делением ( 300:6=50 (р.) – цена 1 м красной материи). У. – Ребята, что значит «одинаковая цена»?

Д. – Это значит, что 1 м красной материи стоит столько же, сколько и 1 м зеленой. У. – Сколько стоит 1 м зеленой материи, какова его цена?

Д. – 50 р.

У. – Если знаем, что зеленой материи купили 4 м по 50 р. за 1 м, то что можем узнать?

Д. – Стоимость зеленой материи. У. – Каким действием узнаем?

Д. – Умножением (50х4=200 (р.) стоимость зеленой материи).

У. – Полученный результат я ставлю вместо знака вопроса в краткую запись.

У. – Ребята, а теперь найдите разность величин, показывающих стоимость. Д. – Разность равна 100 р.

У. - Что показывает эта разность?

Д. – На сколько больше заплатили за красную материю, чем за зеленую. У. – Посмотрите, как я изменю краткую запись:

У. – Ребята, а сейчас по новой краткой записи составьте задачу.

Д.- «Два покупателя купили материи по одинаковой цене. Первый купил 6 м красной материи, а второй – 4 м зеленой материи. Первый покупатель уплатил на 10О р. больше за покупку, чем второй. Сколько денег уплатил каждый покупатель?»

58

У. – Чтобы легче было разобраться в этой задаче, проиллюстрируем ее. С помощью отрезков изобразим 6м, 4 м. Пусть 1 м соответствует 1 сантиметру, тогда 6 м изобразим отрезком длинной 6 см, а 4 м – длинной 4 см.

6 м

У. – Почему первый покупатель заплатил на 100 р. больше, чем второй? Д. – Так как он купил больше материи по одинаковой цене.

У. – Можем мы узнать, за сколько метров он заплатил 100 р.? Каким действием? Д. – Да, можем, действием вычитания:( 6-4=2 (м).-стоят 100р.)

У. – Обозначим это на рисунке.

У. – Если мы знаем, сколько стоят 2 м материи, то что можно узнать? Д. – Сколько стоит 1 м материи.

У. – Каким действием?

Д. – Делением: (100:2=50 (р.)- цена 1м ткани). У. – Ребята, какой вопрос в задаче?

Д. – Сколько денег заплатил каждый покупатель.

У. – Если в вопросе задачи есть слово «каждый», то сколько ответов будет в задаче?

Д. – 2 ответа.

У. – Покупатели покупали материю по одинаковой цене, что это значит?

Д. – Это значит, что за 1 м материи 1-ый покупатель уплатил столько же, сколько и 2-ой покупатель.

У. – Зная, что первый купил 6 м материи по 50 р. за 1 м, то что можно найти? Д. – Стоимость покупки 1-го покупателя.

У. – Каким действием?

Д. – Умножением: (50х6=300 (р.)- стоимость ткани первого покупателя). У. – Как узнать, сколько денег за покупку заплатил 2-ой покупатель?

Д. – Надо 50 р. умножить на 4, получится 200 р. – стоимость ткани второго покупателя.

У. – Мы составили план решения задачи, давайте запишем еѐ решение.

На доске и в тетрадях учащиеся записывают решение задачи по действиям с пояснениями и ответ задачи.

Решение:

1.6-4=2 (м) можно купить за 100 р.

2.100:2=50 (р.) – цена 1 м.

3.50х6=300 (р.) – уплатил первый покупатель.

4.50х4=200 (р.) – уплатил второй покупатель.

У. – Ребята, что сказано в задаче о стоимости покупки 1 го покупателя? Д. – Он заплатил на 100 р. больше, чем 2-й.

У. – Давайте проверим, правильно ли мы решили задачу. Как это сделать? Кто догадался?

Д. –Надо из 300 вычесть200 р.

59

У. – Верно. 300-200=100(р.). Мы решили задачу правильно? Д. – Да.

У. – Запишем ответ задачи. Ответ: 300 р., 200 р.

После знакомства с этой задачей можно работать с учебником. Работа над этими задачами ведется аналогично, применяется при их разборе таже методика, которая была использована при решении рассмотренной выше задачи.

На первых порах при работе над задачами на нахождение неизвестных по двум разностям целесообразно записывать задачу кратко в таблицу, выделяя величины, или выполнять рисунок и после коллективного составления плана, решения задачи (лучше отдельными действиями с пояснениями).

Вдальнейшем не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок. Если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решать, то пусть решает самостоятельно.

Проверка решения задачи устанавливается способом установления соответствия между числами в ответе и данными в условии задачи.

Вцелях обобщения способа решения задач всех рассмотренных видов полезно предлагать упражнения на преобразования задач. Например, по задачам на нахождение четвертого пропорционального составить задачу на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям.

3.4. Методика обучения решению задач на движение.

Подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной – скоростью, раскрытием связи между величинами: скорость, время, расстояние.

С целью обобщения представлений детей о движении полезно провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта. К каким выводам необходимо подвести детей:

-одно тело может двигаться быстрее и медленнее, может остановиться, может двигаться по прямой и по кривой;

-два тела могут двигаться навстречу друг другу, и при этом они сближаются; могут двигаться в противоположном направлении, удаляясь друг от друга; могут двигаться в одном направлении.

Во время экскурсии целесообразно провести некоторую работу на спортивной площадке возле школы, а именно на беговой дорожке. Можно предложить задания такого вида: 1. «Узнай, сколько метров ты пройдешь за 2 мин, 3 мин, 4 мин.», Эти данные каждый ученик записывает (имеются в виду личные данные) в тетрадь или блокнот. Все результаты наблюдений и измерений, полученные на экскурсии, пригодятся на следующем уроке математики, целью которого будут:

1)наблюдение указанных ситуаций в условиях класса;

2)показать, как выполняются чертежи;

3)ознакомить с понятием скорости;

4)раскрытие связи между величинами: скорость, время, расстояние.

60

Рассмотрим фрагмент урока на тему «Знакомство с понятием скорость движения»:

У. – Ребята, сегодня на уроке математики мы подведем итоги нашей экскурсии и познакомимся с новым материалом.

У. – Какие наблюдения мы проводили на экскурсии? Д. – Наблюдение за движением.

У. – Движение скольких тел мы рассматривали? Д. – Движение одного, двух тел.

У. – Как может двигаться тело? Пусть Сережа будет нам демонстрировать движе-

ние, а мы комментировать. Мальчик пошел по направлению к доске быстро.

У. – Как двигается Сережа? Д. – Быстро.

У. – Серѐжа пошел медленнее.

У. –А сейчас? Д. – Медленнее.

У. – Сережа остановился.

У. – Что сделал Сережа? Д. – Остановился.

У. – Ребята, когда он шел от парты до доски, как он двигался: по прямой или по кривой?

Д. – По прямой.

У. – Сережа обходит стол учителя и идет к другому ряду.

У. –А сейчас по прямой или по кривой? Д. – По кривой.

У. – Какой можно сделать вывод? Как может двигаться тело?

Д. – Быстро, медленно, по прямой или по кривой, останавливаться. У. – Хорошо, садись, Сережа.

У. – Движение скольких тел еще может быть? Д. – Двух.

У. – Сейчас Аня и Коля продемонстрируют движение двух тел. Дети встали к двери и по направлению к окну идут вместе.

У. – Как двигаются ребята? Д. – В одном направлении.

У. – Дети дошли до доски и остановились. Аня пошла к окну, а Коля к двери. Как сейчас двигаются дети?

Д. – В противоположном направлении.

У. – А расстояние между ними увеличивается или уменьшается? Д. – Увеличивается.

У. – Аня от окна, а Коля от двери идут навстречу друг друга. Сейчас как двига-

ются наши два тела?

Д. – Навстречу друг другу.

У. – Расстояние между ними увеличивается или уменьшается? Д. – Уменьшается.

У. – Ребята встретились?

61