Методика обучения младших школьников решению задач. Учебное пособие

б) В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду?

в) В гараже 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего машин в гараже? 7. Постановка вопроса, соответствующего данной теме.

*Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см. Рассмотри схему и подумай, на какой вопрос можно ответить, пользуясь данным условием.

7см

П__________________

В _____________

8. Объяснение выражений, составленных по данному условию. Фермер от-

правил в магазин 45 кг укропа, петрушки на 4 кг больше, чем укропа, и 19 кг сель-

дерея. Сколько всего килограммов зелени отправил фермер в магазин? Что обозна-

чают выражения, составленные по условию задачи:

45-19 45+19 45+4 45-4

9. Выбор решения задачи.

* Курица легче зайца на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы? На сколько курица легче собаки?

Миша решил задачу так:

8-4=4 (кг).

А Маша так: 8+4=12 (кг)

К ________________

4кг

З_____________________

С _____________________________________

8 кг

Кто прав: Миша или Маша?

Для организации продуктивной деятельности учащихся, направленной на формирование умения решать текстовые задачи, учитель может использовать обучающие задания, включающие различные сочетания методических приемов.

По мере приобретения учеником опыта в схематическом и математическом анализе текстовых задач, учитель может предложить им задачи для самостоятельной работы. Но при этом не следует торопиться с оценкой самостоятельной рабо-

42

ты, так как она в большей мере выполняет обучающую функцию, нежели контролирующую. Поэтому результаты самостоятельного решения задачи должны стать предметом обсуждения.

Аналогично организуется работа с задачами, математическое содержание которых связано с новыми понятиями и отношениями. В соответствии с курсом начальной математики это понятия умножения и деления, увеличить (уменьшить) в несколько раз и кратного сравнения. Для их усвоения также используются не простые задачи, а способ установления соответствия между предметными, схематическими и символическими моделями. Тем не менее, нельзя не учитывать, что, приступая к изучению нового блока понятий, дети уже знакомы со структурой задачи, приобрели опыт в анализе ее текста и его интерпретации. Поэтому уже на этом этапе усвоения новых математических понятий им предлагаются обучающие задания, связанные с решением задач, в которых используются различные методические приемы.

Например, после изучения переместительного свойства умножения можно предложить такое задание:

*Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера насадила 8 рядов, по 9 тюльпанов в каждом, а Надя – 9 рядов по 8 тюльпанов. Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера насадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясни, что обозначают выражения: 72+72; 72х2; 8х9-8; 8х7; 9х5; 9х6-9.

Для усвоения смысла умножения и понятия «увеличить в несколько раз» предлагаются задания:

*Тане 9 лет. Бабушка старше Тани в 7 раз. Сколько лет маме, если она моложе бабушки на 36 лет?

Выбери схему, которая соответствует условию этой задачи:

а) Т. .____.

Б. .____.____.____.____.____.____.____. М. .__________________________.

б) Т. .____.

Б. .____.____.____.____.____.____.____.____. М. .__________________________.

в) Т. .____.

Б. .____.____.____.____.____.____.____. М. ._____________.

Используя правильную схему, объясни разные способы решения данной за-

дачи.

2) 63 - 36=27 (л)

43

* В гараже в 6 рядах стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясни. Что обозначают выражения, составленные по условию данной за-

*В первый день магазин продал 4 ящика фруктовой воды, по 20 бутылок в каждом, и еще 7 бутылок. Во второй день – 3 таких же ящика и еще 2 бутылки. На

При изучении смысла деления, понятий «уменьшить в…» и кратного сравнения, возможно выполнение таких заданий:

* В зоомагазине рассадили хомячков и кроликов по клеткам. Для хомячков понадобилось столько клеток – 21:7, а для кроликов – 54:9. Сможешь ли ты, пользуясь этими выражениями, ответить на вопросы:

а) Сколько хомячков было в магазине?

б) Сколько хомячков посадили в одну клетку? в) Сколько кроликов было в магазине?

г) Сколько кроликов посадили в одну клетку?

д) На сколько больше было кроликов, чем хомячков?

На какие еще вопросы ты можешь ответить, используя эти выражения?

* Дети собирали грибы. Коля нашел 24 белых гриба, Вова – 8, а Маша – 4. На какие вопросы ты ответишь, выполнив следующее действия:

При изучении правила порядка выполнения действия целесообразно предложить задания:

*У всех учащихся второго класса 39 ручек. У шести учеников по одной ручке, у пяти по три, а у остальных по две. Сколько учеников имеют по 2 ручки? Маша записала решение этой задачи выражением так:

(39-1х6+3х5) : 2

Миша так:

(39-(1х6+3х5)) : 2

Кто прав: Миша или Маша?

Различные методические приемы учитель может использовать не только в обучающих заданиях, но и организуя деятельность учащихся, направленную на решение задач. Рассмотрим возможные варианты фронтальной работы на примере конкретной задачи.

*В трамвае ехало 40 пассажиров. На каждой остановке выходило 7 человек,

авходило в 2 раза больше. Сколько пассажиров оказалось в трамвае после третьей остановки?

44

Для осознания учащимися текста задачи учитель записывает на доске выражения и предлагает объяснить: «Что обозначают выражения, составленные по условию данной задачи?» (Прием объяснения выражений, составленных по условию

Прием объяснения выражений можно дополнить или заменить приемом обсуждения решений. Для этого учитель записывает на доске различные варианты решения задачи (верные, неверные, полные, неполные) и обращается к детям с вопросом:

- На какие вопросы я отвечу, выполнив эти действия? (Действия записываются на доске без пояснений).

а) 1) 7х2=14 (ч) – входило на каждой остановке.

2)40-7=33 (ч) – осталось в трамвае после того, как вышло 7 человек. 3) 33+14=47 (ч) – осталось в трамвае после первой остановки.

б) 1) 7х3=21(ч) – вышло на трех остановках.

2)40-21=19 (ч) – осталось бы в трамвае, если бы люди только выходили на каждой остановке.

в) 1) 7х2=14 (ч) – выходили на каждой остановке.

2)14х3=42 (ч) – вышло на трех остановках.

3)7х3=21 (ч) – вышло на трех остановках.

Далее учитель может предложить детям самостоятельно закончить один из вариантов решения задачи, либо подумать, как изменить вопрос задачи, чтобы ее решение можно было записать так:

1)40-7=33 (ч)

2)7х2=14 (ч)

3)33+14=47 (ч).

Дети изменяют вопрос: «Сколько пассажиров оказалось в трамвае после первой остановки?».

Учитель может и сам изменить вопрос задачи, а детям предложить записать решение самостоятельно. Например, возможна постановка таких вопросов:

-Сколько пассажиров оказалось в трамвае после второй остановки?

-Сколько пассажиров оказалось в трамвае после третьей остановки?

Можно организовать работу иначе. Учитель рисует на доске схему и предлагает детям соотнести ее с условием данной задачи.

7ч

.________________________._______.

.________________________. 7ч

.________________________.____7ч_________..

45

Ответы учащихся:

- Вы обозначили количество людей, которые ехали в трамвае, и показали, что 7 человек вышло. Затем начертили отрезок, который обозначает количество людей, оставшихся в трамвае после того, как вышло 7 человек. На третьем отрезке показано, сколько людей оказалось в трамвае после первой остановки.

Делается вывод, что на первой остановке количество людей в трамвае увеличилось на 7 человек. Далее выясняется, подходит ли данная схема к ситуации, которая возникла в трамвае после второй остановки, после третьей остановки. В результате запись решения задачи может быть комбинированной. А именно схема

идва действия:

1)7х3=21 (ч)

2)40+21=61 (ч)

Задачи выполняют важную функцию в начальном курсе математики, они являются полезным средством развития у детей логического мышления, умения проводить анализ и синтез, обобщать, абстрагировать и конкретизировать, раскрывать связи, существующие между рассматриваемыми явлениями. Успех обучения математике младших школьников во многом зависит от методов, используемых учителем.

Глава VI. Методика обучения решению составных задач

При обучении решению составных задач учитель должен ориентироваться на те же этапы, что и в работе с простой задачей.

Вспомним их:

1.Подготовительная работа.

2.Работа над разъяснением текста задачи.

3.Разбор задачи, поиск пути решения и составление плана решения задачи.

4.Запись решения и ответа.

5.Проверка решения.

Умения, сформированные у детей при решении простых задач, получают дальнейшее развитие, становятся более совершенными. Приѐмы, используемые на каждом этапе работы с задачей, носят более разнообразный и сложный характер. Так, основным содержанием подготовительного этапа являются уже не операции с совокупностями предметов, а решение простых задач. Более трудной становится работа по разъяснению текста составной задачи, поскольку увеличивается количество взаимосвязей, которые нужно установить между данными и искомыми. В связи с этим оказываются и более разнообразными виды наглядной интерпретации: наряду с краткой записью шире используются таблицы, чертежи, схемы и т.п.

Более сложный характер носит разбор задачи, успешность которого во многом зависит от продуманной последовательности вопросов беседы.

Появляется возможность решения некоторых задач различными арифметическими способами. Учащиеся знакомятся с разными способами записи решения.

46

1. Подготовительный этап к обучению решению составных задач

Работа по формированию умения решать составные задачи начинается уже в процессе решения простых задач, выполняющих функцию не только подготовки к знакомству детей с составной задачей, но и оказывающих положительное влияние на их развитие. В своей работе учитель пользуется следующими методическими приѐмами:

а) Постановка вопроса к данному условию задачи.

Умение правильно оценить, на какой вопрос можно ответить исходя из определѐнных данных, важно в последующей работе над составной задачей. Учитывая, что данное умение формируется неодинаково успешно и быстро у всех учащихся, работу в этом направлении следует проводить заблаговременно на доступном для детей материале, т.е. на простых задачах.

Впервые такие задания появляются в следующем виде:

1.Было 0000 (жѐлуди). Стало на 3 больше. Сколько…?

2.Было 0000000 (клубнички). Стало на 3 меньше. Сколько…?

Эти задания следует сразу взять на вооружение и систематически включать их в последующие уроки.

Задания, связанные с постановкой вопроса к данному условию, могут быть представлены в другой форме:

1.На горке катались 8 мальчиков и 5 девочек. Потом 4 девочки ушли домой. Объясни, что узнаешь, выполнив действия:8+5, 8-5, 5-4

2.Поставь к каждой задаче вопрос, чтобы она решалась

так:8-6

-В одном классе 8 отличников, а в другом 6 отличников. -В прошлом году Сережа вырос на 8 см, а в этом – на 6 см.

Предлагая задания одного вида в различной форме, можно дифференцированно осуществлять подготовку учащихся к решению составных задач.

б) Решение задач с недостающими данными.

Сначала они предлагаются в учебнике математики в таком виде:

«Мише надо решить 10 примеров. Он уже решил? примеров. Сколько примеров ему осталось решать?»

Для ответа на поставленный вопрос не хватает данных (в частности, одного данного). Предоставляя ученикам возможность ввести это данное самим, необходимо обратить внимание на то, что вводимое данное зависит от известного, которое имеется в условии задачи. Так, например, числа 11,12, … нельзя подставить в окошко, так как ученику надо было решить всего 10 примеров. Аналогичная ситуация возникает, фактически, и при решении составных задач. Так, для ответа на главный вопрос задачи (например, в 2 действия) не хватает одного данного. Его нужно найти, используя для этой цели другие данные задачи. Здесь ситуация намного сложнее. Тем не менее, именно решение задач с недостающими данными позволяет постепенно овладеть этим умением и подойти к осознанию тех рассуждений, которые ученик должен проводить при решении составных задач.

47

Аналогичное задание в несколько иной форме представлено в учебнике так:

Дополни задачи и реши их:

1) Кроликам принесли кочан капусты и корзину моркови. Моркови было на два килограмма больше, чем капусты. Сколько моркови принесли кроликам?

2) На ѐлке горело десять зелѐных лампочек, а красных лампочек было меньше. Сколько красных лампочек было на ѐлке?»

в) Задачи с двумя вопросами.

Например:

«Столяр сделал 8 книжных полок, а кухонных – на 3 меньше. Сколько кухонных полок сделал столяр? Сколько всего полок сделал столяр?»

Ориентируясь на данное задание, можно творчески подойти к работе с ним. Можно, например, предложить учащимся вопросы в другой последовательности и выяснить, на какой из предложенных вопросов надо ответить сначала или на какой из вопросов учащиеся могут ответить. Данный приѐм позволит учащимся осознать взаимосвязь этих вопросов между собой. Для лучшего осознания этого факта целесообразно предложить задачу с двумя вопросами, которые никак не связаны между собой, и обратить на это внимание учащихся. Например, можно предложить такую задачу:

«На первой полке 6 книг, а на второй – 8. Сколько всего книг на двух полках? На сколько книг на одной полке больше, чем на другой?»

г) Задачи с двумя вопросами, когда вторая является продолжением первой.

Наиболее трудны для учащихся задания по решению двух простых задач, связанных между собой так, что вторая задача является продолжением первой. Тем не менее, такие задачи полезно использовать на этапе подготовки к решению составных задач. Пример такого задания – задачи следующего содержания:

1).У Саши было шесть дисков со сказками и четыре диска с детскими песнями. Сколько всего дисков было у Саши?

2).У Саши было десять дисков, один он подарил товарищу. Сколько дисков осталось у Саши?

Решив первую задачу и получив в ответе 10 дисков, нужно обратить внимание учащихся на то, что означают 10 дисков. Для этого необходимо дать полный ответ на вопрос задачи: «10 пластинок было у Саши». Полный ответ полезно записать на доске. При анализе текста второй задачи следует обратить внимание учащихся на то, что условие второй задачи начинается с того ответа, который был получен на вопрос первой задачи.

д ) Работа с двумя задачами, из которых вторая с недостающим данным, являющимся искомым первой задачи.

Ещѐ более интересный приѐм работы с двумя простыми задачами представлен в задаче:

1).В одном цехе 10 станков, а в другом на 4 станка меньше. Сколько станков в другом цехе?

2) В одном цехе10 станков, а в другом ? станков. Сколько всего станков в этих двух цехах?

48

Для того чтобы дополнить недостающее данное во второй задаче, нужно решить первую. Такая работа оказывается полезной не только при подготовке к решению составных задач, но и в процессе работы над ними. .

е) Задачи с «лишними данными».

Для формирования данного умения не менее полезны задачи с «лишними данными», которые целесообразно использовать в практике, так как они мобилизуют внимание учащихся, требуют от них осознанного анализа задачи и установления взаимосвязи между данными и искомыми. Составить такие задачи не трудно, ориентируясь на задачи учебника. Например, задачу «У Вани 6 значков, а у Ле-

ны на 2 значка меньше. Сколько значков у Лены?» неплохо предложить в таком виде: «У Вани 6 значков, у Лены на 2 значка меньше, а у Коли 3 значка. Сколько значков у Вани и у Коли вместе?».

Уместно дать и такую задачу: «На дереве сидело 10 птичек. Сначала улетело 3 птички, а потом ещѐ 2. Сколько птичек улетело?». Работа с такой задачей может быть дополнена заданием: «Придумайте ещѐ вопрос, на который можно ответить в этой задаче». (Сколько птичек осталось на дереве?)

2.Методика первичного знакомства с составной задачей

Первичное знакомство с составной задачей можно провести разными спосо-

бами. Рассмотрим задачу:

«В одной коробке 6 карандашей, а во второй на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей в двух коробках?»

1 способ. Можно, например, сразу приступить к решению задачи, разобрав с учащимися, где условие, вопрос, данные, искомое. В этом случае, используя метод беседы, учитель выясняет, что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи (нужно знать, сколько карандашей в первой коробке и сколько во второй.)

Используя иллюстрацию, данную в учебнике, учитель выясняет, каким действием можно узнать, сколько карандашей во второй коробке. Записывается первое действие. Затем учитель показывает, как записать второе действие и ответ задачи. Здесь же можно показать запись решения задачи выражением.

2 способ. Учитель предлагает детям решить самостоятельно две простые задачи (Их текст может быть помещѐн на плакате или написан на доске):

1.В первой коробке 6 карандашей, а во второй – на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей во второй коробке?

2.В первой коробке 6 карандашей, а во второй – 4. Сколько карандашей в двух коробках?

После решения задач внимание детей обращается на связь, существующую между этими задачами.

Для этого проводится беседа по вопросам:

-Прочитайте внимательно еще раз задачи. Обратили ли вы внимание на то, что они связаны между собой? (И в той, и в другой задаче речь идѐт о двух коробках, в которых лежат карандаши.)

-Кто может из двух задач составить одну с двумя вопросами?

49

После попыток учащихся составить текст задачи с двумя вопросами, учитель открывает на доске запись: «В первой коробке 6 карандашей, а во второй – на 2 меньше. Сколько всего карандашей в двух коробках? Сколько карандашей во вто-

рой коробке?» Учитель подчеркивает, что в этой задаче два вопроса. Он просит учащихся внимательно прочитать каждый из них и подумать, на какой из них можно ответить сначала – на первый или на второй. В зависимости от ответа на поставленный вопрос строится дальнейшая работа. Если учащиеся дают предполагаемый ответ, то учитель стирает (закрывает) второй вопрос и спрашивает: «Можно ли сразу ответить на 1 вопрос задачи?» А затем говорит, что задача, в

которой нельзя ответить на вопрос одним действием, называется составной. Учитель показывает запись решения составной задачи (по действиям или выражением).

3 способ. Для разъяснения записи понятия «составная задача» можно использовать и другой прием. Учитель предлагает текст задачи, сопровождая разбор еѐ краткой записью:

«Маша, Вера, Сережа и Коля пошли за грибами. Маша нашла 5 белых грибов, Вера – на 2 больше, чем Маша, Сережа – на 1 гриб меньше, чем Вера, а Коля – на 3 гриба больше, чем Сережа. Сколько грибов нашел Коля?»

М. – 5 г

В. – на 2 больше, чем М. С. – на 1 меньше, чем В. К.- на 3 больше, чем С.

Проводится беседа:

- Посмотрите, - говорит учитель, - в задаче только один вопрос: сколько грибов нашѐл Коля?

Учитель выделяет этот вопрос в краткой записи красным цветом.

-Что сказано про грибы, которые нашѐл Коля? (Он нашѐл на 3 гриба больше, чем Серѐжа). Но ведь сколько грибов нашѐл Серѐжа, мы тоже не знаем. Давайте поставим знак вопроса.

Ставится знак вопроса в краткой записи.

-Что сказано про Серѐжу? (Он нашѐл на 1 гриб меньше, чем Вера). Что сказано про Веру? (Она нашла на 2 гриба больше, чем Маша). Значит, появился третий вопрос. На какой же из этих вопросов мы можем ответить? Наверное, на тот, который мы поставили последним?

М. – 5 г.

В. – ?на 2г. больше, чем М. С. – ?на 1г. меньше, чем В. К.- ?на 3г. больше, чем С.

Учитель обводит две первые строчки краткой записи. -Как узнать, сколько грибов нашла Вера?

Учащиеся фактически решают простую задачу на увеличение числа на несколько единиц. Учитель записывает рядом с краткой записью действие и подчѐркивает ответ 7:

1) 5+2=7 (г.)

50

-Кто нашѐл 7 грибов? (Вера). Можем ли мы теперь узнать, сколько нашѐл грибов Серѐжа?

Аналогично выполняется запись действия:

2) 7-1=6 (г.)

-Можем ли мы теперь ответить на главный, выделенный красным цветом вопрос задачи?

Записывается третье действие:

3) 6+3=9 (г.)

Ответ: 9 грибов нашел Коля.

Не следует расценивать данную работу как объяснение решения определѐнного вида задач. Это лишь методический приѐм, который учитель может использовать с целью разъяснения понятия «составная задача».

3.Методика обучения решению задач с пропорциональной зависимостью

Из огромного множества составных задач, решаемых в начальной школе, выделим две группы задач: задачи с пропорциональной зависимостью и задачи на движение.

Среди всех задач, связанных с пропорциональными величинами, различаются задачи со следующими группами величин:

1.цена, количество, стоимость;

2.масса одного предмета, число предметов, общая масса;

3.емкость одного сосуда, общая емкость, число сосудов;

4.выработка в единицу времени, время работы, общая выработка;

5.расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи.

Перед ознакомлением учащихся с тем или иным видом задач необходимо

проводить определенную подготовительную работу. Целью подготовительной работы перед введением задач, связанных с пропорциональными величинами, является ознакомление с величинами и связями между ними. Ознакомление с величинами и установление связей между ними можно проводить одновременно.

3.1.Методика обучения решению задач на нахождение

четвѐртого пропорционального.

Задачи данного типа содержат 3 величины, из которых две переменные, находящиеся в пропорциональной зависимости, и одна постоянная. Известно два значения одной переменной величины и одно значение другой. Требуется найти второе значение второй переменной величины. Решаются эти задачи методом приведения к единице, то есть методом нахождения постоянной величины. В начальной школе рассматривают 6 видов задач данного типа. Первое знакомство проводят с величинами цена, количество, стоимость. На подготовительном этапе нужно познакомить учащихся с этими величинами (можно через игру в магазин), и установить связи между ними через решение простых задач.

Рассмотрим фрагмент 1 урока знакомства с задачами данного типа.

51