Материалы электронной техники. Полупроводники. Проводниковые материалы. Магнитные материалы. Учебное пособие

где b – параметр материала. В примесном полупроводнике имеют ме-

сто обе составляющие, и подвижность от температуры зависит согласно выражению

Подвижность является критерием качества полупроводникового материала. Для измерения подвижности обычно используют эффект Холла. Сущность его состоит в том, что, если полупроводник с током поместить в магнитное поле, возникнет поперечная разность потенциалов, называемая холловской. В эксперименте Холла потоки электронов либо дырок смещаются под действием магнитного поля на одну и ту же грань (по правилу левой руки):

где d – толщина пластинки полупроводника; B – магнитная индукция; ρ – удельное сопротивление полупроводника; q – заряд электрона; р – концентрация дырок. Аналогичные выражения могут быть получены и для электронов.

Эффект Холла интересен не только как метод определения характеристик полупроводниковых материалов, но и как принцип действия целого ряда приборов.

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны. Помимо собственных атомов полупроводника электроны в зону проводимости и дырки в валентную зону поставляют примеси, донорные и акцепторные соответственно. Носители заряда, которых больше и которые определяют тип проводимости, называются основными. Те носители, которых меньше, – неосновными. В примесном полупроводнике концентрации основных и неосновных носителей заряда подчиняются закону действующих масс:

np ni2.

В собственном полупроводнике концентрацию носителей заряда в зоне проводимости можно определить, воспользовавшись формулой

11

где 2NC и 2NV – плотности состояний в зоне проводимости и в ва-

лентной зоне соответственно; E – ширина запрещенной зоны. Плотность состояний равна концентрации заряда в соответствующей зоне, когда уровень Ферми в полупроводниках с примесной проводимостью совпадает с дном зоны проводимости или с потолком валентной зоны. Концентрацию носителей заряда в донорном полупроводнике можно рассчитать по следующим формулам:

n2NC exp EF ,

kT

n NД2NC exp EД ,2kT

где EC – энергия дна зоны проводимости; EF – энергия уровня Ферми; EД – энергия активации донорной примеси; NД – концентрация

донорной примеси.

Ширина запрещенной зоны E – фундаментальный параметр, количественно отражающий структуру энергетического спектра электронов в кристалле данного полупроводника. Чем меньше ширина запрещенной зоны, тем ниже температура перехода к собственной проводимости, означающего потерю работоспособности прибора. Ширина запрещенной зоны соответствует краю полосы пропускания, определяющего прозрачность полупроводника для света данной длины волны. Ширина запрещенной зоны определяет и длину волны света, испускаемого p–n-переходом в результате излучательной рекомбинации. Количественной характеристикой скорости рекомбинации является время жизни. Это время, в течение которого концентрация неосновных неравновесных носителей заряда уменьшается в e раз. Основными носителями заряда являются те, которые определяют тип проводимости, концентрация которых в полупроводнике больше. Учитывается же поведение неосновных носителей заряда.

Если к образцу полупроводника приложено напряжение и одновременно на него падает поток, например, оптического излучения, то ток через образец будет увеличиваться за счет фототока, который

12

протекает до тех пор, пока продолжается освещение образца. После того как оптическое излучение перестанет действовать на образец полупроводника, концентрации электронов и дырок возвращаются к равновесным значениям по экспоненциальному закону:

n(t) n0 exp t .

Учитывается поведение лишь неосновных носителей. Пусть в германии n-типа с концентрацией 1015см 3 под действием света возникло

1013см 3 электронно-дырочных пар. Концентрация основных носите-

лей – электронов увеличилась на 1 %, концентрация дырок, рассчитанная из закона действующих масс, возросла в 16 раз. Отсюда видно, что за время τ концентрация избыточных носителей уменьшается в е раз. Внешними воздействиями, которые приводят к генерации в полупроводнике электронно-дырочных пар, являются нагрев и облучение. Концентрацию электронов и дырок, соответствующую данной температуре, называют равновесной, число создаваемых пар в точности равно числу рекомбинирующих. Воздействие на образец светом с энергией hν ≥ E, приводит к генерации избыточных против равновесной концентрации носителей с избыточной против равновесной энергией.

Направленное движение свободных носителей заряда может быть вызвано процессом диффузии. Диффузия свободных носителей заряда возникает всегда, когда наступает их неравномерное распределение в объеме. Связь коэффициента диффузии с подвижностью выражает формула Эйнштейна

D kT ,

q

где D – коэффициент диффузии.

Показателем, характеризующим процесс диффузии, является диффузионная длина. Связь диффузионной длины, коэффициента диффузии и времени жизни носителей заряда выражает формула

L D .

Таким образом, диффузионная длина – это расстояние, на котором концентрация неосновных неравновесных носителей заряда уменьшается в e раз.

13

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример П.1.1. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при T = 300 К, если известно, что эффективные массы элек-

тронов и дырок равны mn* = 0,55m0 и m*р = 0,388m0 соответственно, где m0 – масса свободного электрона.

Решение. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется выражением

где Ei – энергия уровня середины запрещенной зоны; EC – энергия уровня дна зоны проводимости; EV – энергия уровня потолка валент-

ной зоны; k – постоянная Больцмана; T – температура.

2NC и 2NV – эффективные плотности состояний для электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне соответственно; NC и NV определяются согласно выражениям:

где h – постоянная Планка; mn* , m*p – эффективная масса электрона и

дырки соответственно.

В нашем случае NC 1025м 3, NV 6,04 1024м 3.

Таким образом, положение уровня Ферми можно определить как:

1)EF – Ei –6,78 10 3эВ;

2)EF – EV 0,326 эВ.

Следовательно, уровень Ферми в собственном германии при комнатной температуре расположен на 6,78 мэВ ниже середины запрещенной зоны, но на 326 мэВ выше потолка валентной зоны.

Пример П.1.2. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T = 300 К, если эффективные массы электронов и

14

дырок равны mn* 1,05m и m*p 0,56m соответственно, где m – масса свободного электрона.

Решение. Собственная концентрация носителей заряда определяется выражением

где 2NC и 2NV – эффективные плотности состояний для электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне соответственно; NC и NV определяются согласно выражениям:

где h – постоянная Планка, mn* , m*p – эффективная масса электронов и

дырок соответственно.

Таким образом, ni 7 1015м 3.

Пример П.1.3. Кристалл арсенида индия (InAs) легирован серой

(S) так, что избыточная концентрация доноров составляет N = NД

–N А 1022м 3 . Можно ли считать, что при температуре T = 300 ºC

электрические параметры этого полупроводника близки параметрам собственного арсенида индия, если эффективные массы электронов и

дырок равны mn* 0,023m0 и m*p 0,43m0 соответственно? Здесь m0 – масса свободного электрона, ширина запрещенной зоны изменяется с температурой по закону E 0,462 T 3,5 10 4.

Решение. Ширина запрещенной зоны арсенида индия при температуре T = 573 К равна 0,26 эВ. Собственная концентрация носите-

15

лей заряда при этой температуре можно определить согласно выражению

Отсюда следует, что при T = 573 К собственная концентрация носителей заряда ni (NД NА), т. е. полупроводник по свойствам

близок к собственному.

Пример П.1.4. В кристалле арсенида галлия (GaAs) на 107 атомов приходится один атом легирующей примеси (теллура). Найти положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны при T =

= 500 К. Плотность арсенида галлия 5,32 106г/м3. Эффективные массы электронов и дырок равны mn* 0,067m0 и m*p 0,48m0 соот-

ветственно, где m0 – масса свободного электрона, а ширина запрещенной зоны изменяется с температурой по закону

E 1,522 – (T 2 5,8 10 4)/(T 300).

Решение. Число атомов галлия и мышьяка в единице объема составляет:

Поскольку все атомы доноров ионизированы, то концентрация электронов в полупроводнике практически равна концентрации атомов теллура:

n NTe (NGa NAs) 10 7 4,428 1021 м 3.

Эффективная плотность состояний в зоне проводимости при T = = 500 К равна

16

Найдем положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости:

EC EF kT ln NnC 0,231эВ.

Ширина запрещенной зоны при данной температуре равна

E 1,522 5,8 10 4T 2 1,341эВ.

T 300

Таким образом, положение уровня Ферми относительно середины запрещенной зоны составляет

EF Ei 2E EC EF 0,44 эВ.

Пример П.1.5. Вычислить положение уровня Ферми при T = 300 К в образце германия, содержащего в одном кубометре NД 2 1022м 3

атомов мышьяка и NА 1022м 3 атомов галлия соответственно. Считать, что эффективные массы электронов и дырок равны mn 0,55 m0 и m*p 0,38m0 соответственно, где m0 – масса свободного электрона.

Решение. Поскольку NД NА, то такой частично компенсирован-

ный полупроводник проявляет электропроводность n-типа. При этом избыточная концентрация доноров равна N NД NА . При комнат-

ной температуре все примеси ионизированы, поэтому концентрация подвижных носителей (в данном случае, электронов) равна n N.

Таким образом, при известных температуре и эффективных массах электронов и дырок положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости определяется как

EC EF kT ln NnC 0,179 эВ.

17

Пример П.1.6. Полупроводник легирован акцепторной примесью до концентрации N А 2ni . Определить, во сколько раз изменится

удельная проводимость полупроводника по отношению к собственной/ i , если отношение подвижностей электронов и дырок n / p b .

Считать, что все акцепторы находятся в ионизированном состоянии. Решение. В соответствии с законом действующих масс для но-

сителей заряда np ni2 . Из условия электронейтральности следует, что p n N А . Отсюда для концентрации основных носителей заряда получаем уравнение

p2 2ni p ni2 0.

Единственное решение этого уравнения (второй корень не имеет физического смысла):

Тогда концентрация неосновных носителей заряда равна n 1 ni 2 .

Удельные проводимости примесного и собственного полупроводника при одинаковых температурах равны соответственно:

qn n qp p qni p (0,414b 2,414),

i qni ( n p ) qni p (b 1).

Таким образом, отношение удельных проводимостей определяется выражением

Очевидно, что отношение удельных проводимостей легированного и собственного полупроводника определяется только отношением по-

движностей. Например, при b = 100 / i = 0,434.

18

ЗАДАЧИ

1.1. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при температуре T, если известно, что эффективные массы электронов и

1.2. Найти положение уровня Ферми и температурную зависимость концентрации в собственном полупроводнике в невырожденном случае. Как изменится концентрация электронов при изменении температуры от 200 до 300 К, если ширина запрещенной зоны зависит от тем-

пературы согласно выражению E (0,785 T )?

19

1.3. Концентрация электронов в собственном полупроводнике при температуре T равна ni . Определить величину произведения эффек-

тивных масс электрона и дырки, если известно, что ширина запрещенной зоны меняется по закону E (0,785 4 10 4T ).

1.4. В исследуемом полупроводнике по данным измерения эффекта Холла концентрация электронов при температуре T1 равна n1, а при

T2 равна n2 . Найти ширину запрещенной зоны материала, считая, что она меняется с температурой по линейному закону.

20