Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (x, y ) в точке M0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

908 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Итоговая контрольная работа

Вариант 3

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1.Найти выражение для полного дифференциала функции

1.2. Вычислить частные производные

= yx +1,

z и zu v

M	0	(4; 0; )
	0

сложной

функции

M	0	(u; v)
	0

z =


= arctg 1					+ x


M		−		;
M	0	−	2	;
			2		4

1 y

  

, если

x = cos u

y = tg v

, в точке

2. Двойные и криволинейные интегралы

2.1. Вычислить двойной интеграл

D : x = 0; y =1; x + y = 2 .

2 y (1+ D

x)dxdy

, по области

2.2.Вычислить кривая y =

				x	2	dl
криволинейный интеграл							, где


			L	1+		9x	4

x	3	, соединяющая точки A(0; 0)			и B (2;8).

3.Дифференциальные уравнения

3.1.Найти решение линейного уравнения 1-го порядка:

y −	y	= x
	x + 2

3.2. Решить задачу Коши: y +

2	+ 2x .

y = 4ex , y (0) = 4, y (0) = −3.

Итоговая контрольная работа

4.Ряды

4.1.Исследовать числовой ряд на сходимость

		1

		n
	n=1

	cos	1
	cos	n
		n

	sin	1
	sin	n
		n

(x − 2)n

4.2. Найти область сходимости ряда .

n=1 n2 +1

4.3. Представить функцию

f (x), заданную графически на

интервале

− ;

рядом Фурье.

2π

–π

Вариант 4

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные

функции

z = xy

− y

+ x

+1.

1.2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

z = z (x, y ), заданной уравнением	y	+	z	+	x	=	1	в точке
	x		y		z		2

M 0 (−2; 1; −1).

Итоговая контрольная работа

2.Двойные и криволинейные интегралы

2.1.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

1	y	2	2−y
dy		f (x, y )dx + dy
0	0	1	0

(x,

y )dx

2.2. Вычислить криволинейный интеграл

					M (0;
где	L	кривая y = 2 x от точки			M (0;

(xy − x)dx +			x2	dy ,

L		2

0)	до точки	N (1; 2)

3. Дифференциальные уравнения

3.1. Найти решение уравнения 1-го порядка:

x	3 + y	2	dx + y	2 + x	2	dy	= 0 .
x	3 + y		dx + y	2 + x		dy	= 0 .
								=		2
3.2. Найти общее решение уравнения 2xy y								=	(y )

4.Ряды

4.1.Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

	n	n		n
(−1)	n	n
			.
			.
n=1		2n +1			(x − 2)
					(x − 2)						n
											n
4.2. Найти область сходимости ряда							2
				n=1 n (ln			2	n +
				n=1 n (ln				n +
4.3. Разложить функцию в ряд Маклорена:						f		(	x	)
4.3. Разложить функцию в ряд Маклорена:								(		)

)	.

1
= 5		x+2

Итоговая контрольная работа

Вариант 5

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные					z	и	z	функции
					x		y
z = x	3	+ y	3	− 9x	+ 27 .
z = x		+ y		− 9x	+ 27 .

1.2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности

z = z (x, y ), заданной уравнением		x − y tg	z	= 0	в точке
z = z (x, y ), заданной уравнением		x − y tg	3	= 0	в точке
			3
	3

M0 .

2.Двойные и криволинейные интегралы43;3;

2.1. Вычислить двойной интеграл		(2 y	2	x + 3)dxdy , по
			2

	D
области D : y = 0; y = x; x + y = 2 .
2.2. Вычислить криволинейный интеграл					−xdx + ydy , где
2.2. Вычислить криволинейный интеграл					−xdx + ydy , где
				L

часть эллипса	x2 +	y2		=1, лежащая в первой четверти,

			9
соединяющая точки			M (1; 0) и N (0; 3).

3. Дифференциальные уравнения

3.1. Найти решение уравнения 1-го порядка:

y (e	x	+ 4)dy − e	x	dx = 0 .

3.2. Найти общее решение уравнения: x3 y + x2 y =1.

Итоговая контрольная работа

4. Ряды

4.1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

		(x −1)		2

4.2. Найти область сходимости ряда		n 9	n
	n=1

4.3. Разложить функцию в ряд Маклорена:

f (x) = (x +1)ln (1+ x).

			n
		3
	n	2	2	n
n=1	n		2
n=1
n
.

Вариант 6

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти выражение для полного дифференциала функции

z =

f (x, y ) в точке

M0 : e

xyz

− xyz

= −zy

M0 (0;1; −1) .

1.2. Вычислить частные производные

сложной

функции z = sin (xe y )

, если x =

y = v , в точке

(u; v) = M0

−

; 0

2. Двойные и криволинейные интегралы

2.1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Итоговая контрольная работа

2.2. Вычислить криволинейный интеграл

кривая

y = sin x , соединяющая точки

sin xdl
1+ cos	2

0; 0) и

x B

, где

		; 1
	2	; 1
	2

.

3. Дифференциальные уравнения

							y	2
3.1. Найти решение уравнения 1-го порядка:					+			= x .
				y			2x

3.2. Решить задачу Коши: y	− y	= x,	y (0) =1,			(0) = −1.
				y

4. Ряды

4.1. Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

		n		3		n
(−1)		n				n	.
(−1)			n	3			.
n=1				3	n +1
					n +1
								(x −1)
								(x −1)		3n
										3n
4.2. Найти область сходимости ряда								n 8	n		.
							n=1	n 8
							n=1
4.3. Представить функцию	f		(x), заданную графически на
интервале −; рядом Фурье.

			π	х
– π		0

Итоговая контрольная работа

Вариант 7

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные z

z = xy (4 − x − y ) .

	и	z
	и	y
		y

функции

1.2.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z = z (x, y ), заданной уравнением

9x	2	+ y	2	+ z	2	− 6 y + 4z + 9	= 0

в точке

M 0

(0;3; −4)

2. Двойные и криволинейные интегралы

						2		1
2.1. Вычислить двойной интеграл					3y		−	2	x dxdy , по
2.1. Вычислить двойной интеграл					3y		−		x dxdy , по
			D
			D
области, заданной уравнением границ
		D : x = 0; y = −1;	x − y = 2 .
2.2. Вычислить криволинейный интеграл								−ydx + xdy , где
2.2. Вычислить криволинейный интеграл								−ydx + xdy , где
							L
кривая y = x	3	от точки M (0; 0)		до точки					N (2; 8).
кривая y = x		от точки M (0; 0)		до точки					N (2; 8).

3.Дифференциальные уравнения

3.1.Найти решение линейного уравнения 1-го порядка:

	− y	2x	−5	= 5 .

y		x	2
			2

3.2. Найти общее решение уравнения xy = y .

Итоговая контрольная работа

4. Ряды

				n	5		2	n
4.1. Исследовать числовой ряд на сходимость:				n			2		.
4.1. Исследовать числовой ряд на сходимость:				5		n+1			.
			n=1	5
			n=1

	n 3 n + 2									n
4.2. Найти область степенного ряда (−1)					(x − 2)						.
4.2. Найти область степенного ряда (−1)		n +1			(x − 2)						.
n=1		n +1
n=1

4.3. Представить функцию

f (x), заданную графически на

интервале

− ;

рядом Фурье.

				х
– π		0	π	х

Вариант 8

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти выражение для полного дифференциала функции

z = f (x, y ), заданной уравнением				z	3	− 3ln (x + y + z ) = z		в
z = f (x, y ), заданной уравнением				z		− 3ln (x + y + z ) = z		в
точке M0 (0;1; 0).
1.2. Вычислить частные производные				z		и z сложной
				u		v
функции z = arctg x +	1	, если	x = u2 − v2 , y =				v , в точке
функции z = arctg x +	y	, если	x = u2 − v2 , y =				v , в точке
	y
M 0 (u; v) = M 0 (−1; 1).
		58

Итоговая контрольная работа

2.Двойные и криволинейные интегралы

2.1.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

	1		1		3		2−y
		dy		f (x, y )dx +		dy		f	(x, y )dx .
	0		2−( y+1)	2	1		−2
				2
2.2. Вычислить криволинейный интеграл									dl
										4

								L	1+ cos		x
								L	1+ cos		x
кривая	y = tg x , соединяющая точки							A(0; 0) и
кривая	y = tg x , соединяющая точки							A(0; 0) и		B

3. Дифференциальные уравнения

, где

3.1.Найти общее решение уравнения:

3.2.Решить задачу Коши: y + y = x, y

(ex (0)

+8)

=1,

dy − y (0

ye	x	dx

) = 2 .

4.Ряды

4.1.Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

		n				1
	(−1)	n	n ln	1	+	1		.
	(−1)		n ln	1	+	n	2	.
n=1							2

4.2. Найти область сходимости ряда (−1)n

n=1

4.3. Разложить функцию в ряд Маклорена:

3n + 2

+1)(x −

) =	1
) =
	1−

2)n .

x	2

Итоговая контрольная работа

Вариант 9

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Вычислить частные производные							z	и	z	сложной
1.1. Вычислить частные производные							u	и	v	сложной
							u		v
функции z = 2 cos		x		, если x =	u	, y = u − v , в точке
функции z = 2 cos		y		, если x =	v	, y = u − v , в точке
		y			v
3			6
M0 (u; v) = M0	;			.

1.2.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z = z (x, y ), заданной уравнением sin (zy )− exy + z2 x = 0

точке

M 0 (1; 0; −1).

2.Двойные и криволинейные интегралы

2.1.Вычислить двойной интеграл (3x2 − 4xy3 )dxdy , по

	D
области	D : x = 0; y =1; x + y = 0 .

2.2. Вычислить криволинейный интеграл (x2 −1)dl , где

–

кривая

B (3; ln

y = ln (x2 −1), соединяющая точки

7).

A(2; ln 3)

3.Дифференциальные уравнения

3.1.Найти решение уравнения 1-го порядка xy − y = x2 − y2 .

3.2. Решить задачу Коши: 2 yy = y 2 , y (0) =1,	y (0) =1 .
60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]