Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

908 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 3

1. Преобразуйте интеграл f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, интегрирования:

D : y =

в повторный

x + y = 4,

и измените порядок

0 .

2. Вычислите интеграл

1	x
dx			9x	2	y	2	dy
dx		2	9x		y		dy
0	−x	2
0	−x

3. Преобразуйте интеграл

(x,

y )dxdy

по области

заданной уравнениями границ, в повторный интеграл в полярной системе координат:

D : y

− 2x + x

= 0,

− 3x

+ x

= 0

y =

3x, y = x .

4. Вычислите двойной интеграл

(10 − y)dxdy , по области D ,

ограниченной кривой

y	2	+ x	2

= 4x .

5. Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями 36(x2 + y2 )= z2 , y2 + x2 =1 , x = 0 ,

z = 0

(x, z

, если плотность

5	(x	2	+
5

6

y	2	)
	2

6. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 , z = 0, x + y − 6 = 0 (x 0, y 0).

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 4

1. Преобразуйте f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, в повторный и измените порядок интегрирования:

D : y = x,

y = x

(x 0) .

Вычислите интеграл

2xy

dy .

Преобразуйте интеграл

(x, y )dxdy

по области D ,

заданной уравнениями границ, в повторный интеграл в

полярной системе координат:

D : x

− 2 y

+ y

Вычислите двойной интеграл

+ y

dxdy

, по области

, ограниченной кривыми

+ x

=10x,

+ x

= x .

5. Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного

поверхностями

+ y

+ z

= 4, y

+ x

= z

, x

= 0 ,

y= 0 (x, y, z 0), если плотность = 6z .

6.Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

z = 2x2 + 3y2 , z = 0, y = x2 , y = x .

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 5

1. Преобразуйте интеграл f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, в повторный и измените порядок интегрирования:

D : y + x = 2,
	1
2. Вычислите интеграл
2. Вычислите интеграл
	0


y = x				3	,	y	= 0
y = x					,	y	= 0
x		3
x
dx				25x			4	y	4
dx				25x				y
−	3		x
	3

3. Преобразуйте интеграл f (x, y )dxdy по области

заданной уравнениями границ, в повторный интеграл в полярной системе координат:

D : y	2	+ 2x + x	2	= 0, y	2	+ 4x + x	2	= 0	,	y = x,	y = −x .

4. Вычислите интеграл		(6	− x)dxdy , по области	D ,

ограниченной кривой

D
y	2	+ x	2
y		+ x

4 y

5. Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного

поверхностями x2 + y2 =1, y2 + x2 = 2z	,	z = 0	,	x = 0	,
y = 0 (x, y 0), если плотность =10x .

6. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

z = 2x	2	+ y	2	,	z = 0,	y = x,	y = 3x,	x = 2 .

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 6

1. Преобразуйте интеграл f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, в повторный и измените порядок интегрирования:

D : y + x = 2,
	1
2. Вычислите интеграл
2. Вычислите интеграл
	0

y = x	3	,	x
y = x		,	x
y
dy 9x			2	y
dy 9x				y
− y

= 0 .
2	dx .

3. Преобразуйте интеграл

f (x, y )dxdy D

по области

заданной уравнениями границ, в повторный интеграл в полярной системе координат:

D : y

− 2 y + x

0, y

− y + x

= 0 ,

y x .

Вычислите интеграл (x2 + y2 )dxdy , по области D ,

ограниченной кривыми

+ x

= y,

+ x

= 3y .

Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного

поверхностями

64(x

+ y

)= z

, y

+ x

= 4

, x = 0 ,

z = 0

(x, z

, если плотность

5	(x	2	+
5

4

y	2	)
	2

6. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

z = x,	z =10,	x =	25 − y	2

(x 0,

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Для выполнения контрольной работы по теме «Криволинейные интегралы» студенту необходимо

ЗНАТЬ:

•определения криволинейных интегралов I-го и II-го рода;

•способы задания кривых на плоскости и в пространстве;

•формулы перехода от криволинейных к определенным интегралам;

•формулы вычисления длины и массы дуги, работы переменной силы по перемещению материальной точки вдоль кривой;

•формулу Грина и условия ее применения;

•условия независимости криволинейного интеграла II-го рода от пути интегрирования.

УМЕТЬ:

•вычислять криволинейные интегралы I-го и II-го рода;

•вычислять криволинейные интегралы II-го рода по замкнутому контуру;

•вычислять длину и массу дуги, работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль кривой;

•восстанавливать функцию по ее полному дифференциалу.

Таблица баллов

задача	1	2	3		4	5	6	всего

балл	1	1	1		1	1	1	6

				25

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 1

1. Вычислите массу дуги кривой с переменной плотностью

=			1
=	x	2	+ y	2
		2		2

	x = et cos t,
		t
:		t		sin t, t [0; ln 4] .
:	l : y = e			sin t, t [0; ln 4] .

			2et ,
	z =		2et ,

2. Вычислите криволинейный интеграл xydl , L – контур

прямоугольника OABC , O (0; 0), A(4;

3. Вычислите криволинейный интеграл отрезок, A(1; 2), B (3; 6).

L
0), B (4;
	ydx +
	x	2	+
AB

2), C
xdy		,
	2
y

(0; 2 AB

–

4.Вычислите интеграл по замкнутому контуру L , обходимому в положительном направлении:

	(2x − y) dx	− 2xdy .
	(2x − y) dx	− 2xdy .
L
		(1;−1)
5. Вычислите интеграл			(2x	2	− y)dx + ( 2 y	2	− x)dy
				2		2

		(2;1)

6. Проверьте, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции u (x, y ), и

восстановите эту функцию:

1		−	y			1	−
				2	dx +
	y		x
					x

x
y	2

dy

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 2

Вычислите массу первой арки циклоиды

= t −sin t

=1− cos t

с плотностью распределенного вещества

= y

Вычислите криволинейный интеграл

, по

8 − x

− y

отрезку AB

, соединяющему точки A(0; 0) и

B (2; 2) .

dx − y

Вычислите интеграл

, по контуру

x = 2 cos

, соединяющему точки A(2; 0), B (0; 2), и

AB :

y = 2 sin3 t

обходимому в положительном направлении.

4. Вычислите интеграл по замкнутому контуру

обходимому в положительном направлении:

(x + y)dx − xdy .

5. Вычислите интеграл

	( )


	6	;−1
	6

y cos xdx + sin xdy

6.Проверьте, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции u (x, y ), и восстановите

эту функцию:

y			x
	+ ln y + 2x dx + ln x +			+1 dy .
	+ ln y + 2x dx + ln x +			+1 dy .
x			y
		27

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 3

x = 3t	2	,
x = 3t		,
			3
	− 2t		3		,
1. Вычислите массу однородной дуги кривой l : y = 6	− 2t				,
				2
z =12 − 3t				2		,
z =12 − 3t						,

t	2;	7	, с	плотностью	=1.

2.	Вычислите криволинейный интеграл				(4	3	x −3			y )dl , где
						3

				AB
	AB – отрезок, A(−1; 0), B (0;1) .
3.	Вычислите криволинейный интеграл				(x	2	+ y	2	)dx + 2xydy
						2		2

				AB
	AB : y = x	3	, A(0;0), B (1;1) .
	AB : y = x		, A(0;0), B (1;1) .

4.Вычислите интеграл по замкнутому контуру обходимому в положительном направлении:

(0,5cos(x +

y	2	) − x +1)dx +y cos(x +

y	2	)dy

L (1;2)

5.	Вычислите интеграл		(2xy2 − 3y)dx + (2x2 y − 3x)dy .
	(		)
		2;−1
6.	Проверьте, является ли заданное выражение полным

дифференциалом некоторой функции u (x, y

восстановите эту функцию:

+ x

dx +

− x

), и

y dy

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 4

1. Вычислите массу дуги кривой

с переменной плотностью

x = −sin 3t,

;

l :

t [0, 2] .

y = cos 3t,

4z −19

z = t

+ 7,

2. Вычислите криволинейный интеграл

, где

(x + y)

– отрезок,

A(4; 0), B (0; 4).

3. Вычислите интеграл		(x + 2 y)dx + (x − y )dy , по дуге

	AB
x = 2 cos t	, соединяющей точки	A(0; 2
AB :	, соединяющей точки	A(0; 2
y = 2sin t

обходимой в положительном направлении.

4.Вычислите интеграл по замкнутому контуру обходимому в положительном направлении:

)

L ,

B (0; −2)

	(2 − xy)dx + ( y		3	− 2 y)dy .
			3

L
		(2;2)
5. Вычислите интеграл				xy	2	dx + x	2	ydy .
					2		2

		(−1;−1)

6. Проверьте, является ли заданное выражение полным дифференциалом некоторой функции u (x, y ), и восстановите эту функцию:


		x					y
				+ 2x dx +					− 2 y dy .
	2		2	+ 2x dx +		2		2	− 2 y dy .
	2	+ y	2			2	+ y	2
x		+ y			x		+ y

, и

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 5

1. Вычислите массу однородной дуги кривой

с плотностью

	x = 2 − t			2	,
	x = 2 − t				,
		3
=1		3	,					t [0; 1] .
=1	; l : y = t		,					t [0; 1] .
						2
	z = 3 +			3t		2	,
	z = 3 +			3t			,

2. Вычислите интеграл											dl			, по контуру
											2		2

							AB		4	x		+ y
							AB			x		+ y
AB : = (1+ cos ), лежащему в верхней полуплоскости.

3. Вычислите криволинейный интеграл		xydx + (y − x)dy , где

AB : y = x	3	,

A(0;0),

B (1;1)

4.Вычислите интеграл по замкнутому контуру L , обходимому в положительном направлении:

	( ye	xy	− y)dx +		(xe	xy	+ x)dy .
		xy				xy

L
				(1;1)
5. Вычислите интеграл					(2xy			2	+ 3y)dx + (2x	2	y + 3x)dy
								2		2

				(2;−1)

y					x
				−1 dx +					−10 dy.
	2		2	−1 dx +		2		2	−10 dy.
1+ x	2	y	2		1+ x	2	y	2
1+ x		y			1+ x		y

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]