Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

908 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

УМЕТЬ:

•исследовать на сходимость знакоположительные, знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды;

•определять абсолютную или условную сходимость знакопеременного числового ряда;

•находить область сходимости функционального и степенного ряда;

•составлять ряды Тейлора и Маклорена для функции в окрестности заданной точки и определять их область сходимости;

•определять возможность разложения заданной функции в ряд Фурье, составлять ряды Фурье для заданных функций в действительной и комплексной форме.

Таблица баллов

задача		1		2		3		4	5	6	всего

	а	б	в		а		б
	а	б	в		а		б

балл	0,5	0,5	0,5	1	0,5		0,5	1,25	1,25	1,5	7,5

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 1

1. Исследовать сходимость рядов:

sin

1 4

...

(

3n − 2

)

а)

; б)

; в)

n=1

	1

n
n=1	3

		−n	2
	n	−n
	n

n +1

2. Исследовать ряд

	n		1
(−1)		tg
			n
n=1

на сходимость. Установить вид

сходимости (абсолютная или условная). 3. Найти области сходимости рядов:

(x − 6)

(ln x)

а)

;

б)

(

)

n=1

n + 2

n=0 2

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

число слагаемых ряда, достаточное для достижения точности:

)	.
)
1

, указать заданной

1		;
e	3

5. Выразить первообразную в виде степенного ряда и вычислить интеграл, взяв первые три ненулевые слагаемые ряда. Оценить абсолютную погрешность:

0,5		(
	ln	(
	ln	1	+
0

x	3	)dx

6. Разложить функцию в ряд Фурье в действительной и комплексной формах, построить график суммы полученного ряда:

−x −1, −1 x 0
f (x) =	0,	0 x 1	.
	0,	0 x 1

	42

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 2

1. Исследовать сходимость рядов:

(

)

n + 2

а)

sin

; б)

n +1 !

;

в)

n=1

2n +1

n=1

3n +1

n 2n −1

2. Исследовать ряд

(−1)

на сходимость. Установить

n=1

вид сходимости (абсолютная или условная).

3. Найти области сходимости рядов:

(x − 3)

а)

(x − 2)

;

б)

n=1

n=0

− n

+ 2

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

, указать

число слагаемых ряда, достаточное для достижения заданной точности:

4	90;	= 0 .

0,5
	xe	−x	dx
	xe		dx
0

−2,		− x 0
f (x) =	0,	0 x	.
	0,	0 x
	43

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 3

1. Исследовать сходимость рядов:

а)

	arctg		2	n
	arctg			n
	n	3
n=1	n
n=1

;

б)


n!sin
n!sin	2	n
n=1	2
n=1

;

в)

	3		n
n	3	arctg	n
n		arctg
n=1

2. Исследовать ряд

	n n +1
(−1)
	n	3
n=1

на сходимость. Установить вид

сходимости (абсолютная или условная).

3. Найти области сходимости рядов:

(−1)

n! (x +1)

а)

n (x + 4)

;

б)

(4n +1)

n=1

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

, указать

число слагаемых ряда, достаточное для достижения заданной точности:

arctg 14 ; = , .

0,5		dx
		dx		.
	1	+ x	5	.
0	1	+ x
0

0, − x 0
f (x) =	2x,	0 x	.
	2x,	0 x
	44

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 4

1. Исследовать сходимость рядов:

1+ sin n

5 8 ...

(

3n −1

а)

;

б)

)

;

(n + 2)

5 7 ... (

2n +1)

n=1

sin n

2. Исследовать ряд

на сходимость.

n (n +1)

n=1

сходимости (абсолютная или условная).

3. Найти области сходимости рядов:

	n	n	n
в) 5

n=1	n +1

Установить вид

(−1)

(sin x)

а)

(x + 3)

;

б)

(3n −1)

n +

n=1

n=0

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

, указать

число слагаемых ряда, достаточное для достижения заданной точности:

1 ; = .

1
sin x	2	dx
sin x		dx
0

6. Разложить функцию в ряд Фурье в действительной и комплексной формах, построить график суммы полученного

ряда:

f (x) = e−2x , − 2 x 2 .

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 5

1. Исследовать сходимость рядов:

а)

n sin

;

б)

;

в)

n=1

n+1

2. Исследовать ряд

(−1)

на сходимость.

2n +1

n=1

Установить вид сходимости (абсолютная или условная).

3. Найти области сходимости рядов:

(

x + 2

)

а)

;

б)

3 .

n=1

(2n +1)3

n=1

3 n

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

, указать

число слагаемых ряда, достаточное для достижения заданной точности:

ln1,3;

0,5

arctg x2dx .

− − x,
f (x) =	− x,

−
0	x



Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

Вариант 6

1. Исследовать сходимость рядов:

−n

n +1

а)

;

б)

;

в)

n +1

n=1

3 n!

n=1

n+1

2n +1

2. Исследовать ряд

(−1)

на сходимость. Установить

n (n +1)

n=1

вид сходимости (абсолютная или условная).

3. Найти области сходимости рядов:

(−1)

а)

(x − 3)

;

б)

(

n +1 5

(

n +1

n=1

n=0

)

4. Вычислить приближенно с заданной точностью

, указать

число слагаемых ряда, достаточное для достижения заданной точности:

330; = 0, 0001 .

0,2
	x
0

cos

xdx

f (x) = − x ,

−

Итоговая контрольная работа

ИТОГОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

задание		1		2			3			4		итог
	1.1		1.2	2.1	2.2	3.1		3.2	4.1	4.2	4.3

балл	0,5		1	1	1	0,5		1	0,5	1	1	5

Вариант 1

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные					z	и	z	функции
					x		y

z = x	2	− 2 y	2	− 4 yx		+ 2x − 5 .

1.2. Найти выражение для полного дифференциала функции

z =	f (x, y ) в точке M0 :
	cos (xz )+ sin (yz ) = xyz −	2	−1, M0	( , , ).
	cos (xz )+ sin (yz ) = xyz −		−1, M0	( , , ).

2. Двойные и криволинейные интегралы

2.1. Вычислить двойной интеграл				(4x	3	+ 6xy		2	)dxdy
					3			2

			D
области	D : x = 0; y =1; x − y = 0 .
2.2. Вычислить криволинейный интеграл							sin x				dl ,
										2

						L	1+ x
						L	1+ x
	2					A(0; 0)
кривая x	2	= 2 y , соединяющая точки							и		B
кривая x		= 2 y , соединяющая точки							и		B

, по

где L −

2 8

Итоговая контрольная работа

3.Дифференциальные уравнения

3.1.Найти решение уравнения первого порядка:

x	1+ y	2	+ yy	1	+ x	2	= 0 .

3.2. Решить задачу Коши для ЛНДУ со СПЧ:

y (0) =1,

(0)

+ 4 y = x,

= .

4. Ряды

4.1. Исследовать числовой ряд на сходимость:

arctg

n=1

(−1)

(x − 2)

4.2. Найти область сходимости ряда

(n +1)ln (n +1)

n=1

4.3. Разложить функцию в ряд Маклорена:

(x) =

(1− x)

Вариант 2

1.Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1.1. Вычислить частные производные

функции z = 2ctg	y	, если	x =	u	,
	x			v

M0 (u; v) = M0 (1; −1) .

y =


и		z		сложной
		v

e	u+v		, в точке

1.2.Найти уравнение касательной плоскости к поверхности z = z (x, y ), заданной уравнением (z2 − x2 )xyz − y5 = 5 в

точке

M	0	(1;1;	2)
	0

Итоговая контрольная работа

2.Двойные и криволинейные интегралы

2.1.Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

1		0		2		0
dy	−		f (x, y )dx +	dy	−
0	−	y		1	−	2−y
						2

2.2. Вычислить криволинейный интеграл
2.2. Вычислить криволинейный интеграл
		L
отрезок MN , M (1; 0),	N (0;1).

f (x,

xdx +

y )dx .

ydy , где

L −

3.Дифференциальные уравнения

3.1.Найти решение уравнения 1-го порядка: y − xy = x2 .

3.2. Найти общее решение уравнения:

y tg x =

4.Ряды

4.1.Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость:

				n	2
	n	n		n
(−1)	n	n
(−1)			.
n=1	n +1
n=1

4.2. Найти область сходимости ряда
					n=1
4.3. Представить функцию	f	(x),
заданную графически на интервале
−; рядом Фурье.

(−1)	n	(x − 2)			n
	n				n
(n +1)ln			2	(n +1)
(n +1)ln				(n +1)
					4π

–π 0			х
	π

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]