Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

908 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Интегральное исчисление функций многих переменных. Криволинейные интегралы

Вариант 6

1. Вычислите массу однородной дуги кривой с плотностью

;

x =1−3cos t,
				3/2
l : y = 2(cos t)				3/2	,
l : y = 2(cos t)					,
	z = 5	+	7 cos t,
	z = 5	+	7 cos t,

	t		0;
	t		0;

2. Вычислите криволинейный интеграл , где

AB x2 + y2 + 4

	– отрезок, соединяющий точки A(0; 0)					и		B (1; 2) .
3.	Вычислите криволинейный интеграл						(xy −1)dx + x		2	ydy
									2

					AB
	x = cos t
	дуге AB :	, обходимой в положительном
	y = 2sin t
	направлении от точки		A(1; 0) до точки			B (0; 2) .
4.	Вычислите интеграл по замкнутому контуру L ,
	обходимому в положительном направлении:
	xdy − dx .
	L
		(2;1)
5.	Вычислите интеграл			(2x +1)dx + (2 y			2	+1)dy .
							2

		(1;−1)

по

6. Проверьте, является ли заданное выражение полным

дифференциалом некоторой функции u восстановите эту функцию:

(y2exy2 −1)dx + (2xyexy2 −1)dy

(x,

y )

, и

Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для успешного выполнения контрольных работ по теме «Дифференциальные уравнения» студенту необходимо:

ЗНАТЬ:

•общий вид дифференциального уравнения первого и высших порядков. Понятие общего и частного решения (общего и частного интеграла) дифференциального уравнения;

•теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения;

•общий вид и методы решения дифференциальных уравнений с разделенными и разделяющимися переменными, однородных, линейных, уравнений Бернулли, в полных дифференциалах;

•общий вид и методы решения дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка;

•общий вид и свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков, структуру общего решения линейного однородного дифференциального уравнения;

•общий вид и структуру общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения 1 порядка

УМЕТЬ:

•определять тип дифференциального уравнения первого и высших порядков и выбирать соответствующий метод решения;

•находить частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям;

•находить фундаментальную систему решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами высшего порядка и записывать общее решение;

•решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольной правой частью методом Лагранжа (вариации постоянных);

•находить общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения высшего порядка с правой частью специального вида.

Таблица баллов контрольной работы «Дифференциальные уравнения 1 порядка»

задача	1	2	3	4	5	всего

балл	1	1	1	1	1	5

Таблица баллов контрольной работы «Дифференциальные уравнения высших порядков»

задача	1	2	3	4	5	6	всего

балл	1	1	1	1	1	1,5	6,5

Дифференциальные уравнения 1 порядка

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Вариант 1

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

(1+ y

)dx

+ 2xy dy = 0 .

sin x

cos

+ ln y

dx +

+ ln x

+ 2 y = y

e .

dy

=1. = 0

(y − x) y =

y	2

, y (1) =1.

Вариант 2

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

							2
1.	xy		= 3y − x .

2.	(y +			xy )dx − xdy = 0 .
3.	xy		+ y = y			2	x	2	ln x .


4.	(x	2			+ 2xy					2	= 0	,	y

			−1)y
5.	e− y dx −(3y2 + xe− y )dy

(

= 0 ,

)

= −1.

y (0) =1.

Дифференциальные уравнения 1 порядка

Вариант 3

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

1.		− y =
	xy
2.	(x +1)dy

xtg2

+(y2

	y	.
	x
		)

	−1 dx

y (1) =

−2

(3x		2		− 2

y − y tg
3y	2		y +


x ln y)dx +


x =			1			.
x =				3		.
			cos	3		x
			cos			x
y	3	= x ,			y (0
y		= x ,			y (0

2 y

) =

−x2 y

dy

Вариант 4

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

1.dx + x2 + 4 tg y dy =

2.y = 2x (y + x2 ), y (1)

3.y + 2xy = 4x3 y3e2x2 .


4.	(1+ 2x tg y)dx + 3y2


5.		(2	xy − x)+ y = 0 .
5.	y	(2	xy − x)+ y = 0 .

0 , y (0)

= 0 .

+ x2 cos2 y

=		.
	3

dy = 0 .

Дифференциальные уравнения 1 порядка

Вариант 5

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

+1)dy −

2x (e

+1)dx

−

= 2x .

− y dx + (y − x)dy = 0 .

− y tg x = −

y ( ) =

cos x

− y

4 y

− x

y (1) =

= 0

1 . 2, 5

Вариант 6

Найти общее решение уравнения или частное решение, если заданы начальные условия

1.y − y ctg x = sin2 x .

x (1+ y

)dx + y (1+ x

)dy

= 0 .

− y tg x = y

cos x sin x

y ( )

− y

= y (ln y − ln x) , y (1) = e

sin 2x

sin

+ x dx + y −

= .

1 .

0 .

Дифференциальные уравнения высших порядков

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Вариант 1

1.Найти общее решение уравнения:

2.Найти решение задачи Коши:

( y )2 − 3yy = 0,

y (0) =1, y (0) = 3

xy = y ln

y x

3.Найти общее решение уравнения: y −10 y + 25y = e5x .

Найти общее решение уравнения:

− 4 y

+ 3y = (2x −1)e

Найти общее решение уравнения:

− 6 y

+ 9 y = e

cos x .

2x + y − 2e

Найти общее решение системы

y = 3x + 4 y

Вариант 2

1.Найти общее решение уравнения:

2.Найти решение задачи Коши:

yy	− y	2	= y	4	,	y (0) =1,		(0) =1.

							y

3.Найти общее решение уравнения:

2 + (x −

y + 4 y

2) y =

	= −	2
	= −	sin
		sin

. x

4.Найти общее решение уравнения: y − 4 y = (3 − 4x)e−2x .

5. Найти общее решение уравнения:	y

x =

6. Найти общее решение системы

y =

+4 y +13y

x− y − 5 −4x + 4 y .

20 cos 3x

Дифференциальные уравнения высших порядков

Вариант 3

1. Найти общее решение уравнения:	x ( y		+1)+ y		= 0 .

2.Найти решение задачи Коши:

(y )

(0) = 5 .

, y (0) =1, y

12e

−2x

3. Найти общее решение уравнения:

+ 4 y

+ 4 y =

4.Найти общее решение уравнения:

−2x

+ y

− 2 y = (7

− 3x)e .

5. Найти общее решение уравнения:

− 4 y

+ 4 y = e

sin x

x = y

6. Найти общее решение системы

−t

y = x + 2e

Вариант 4

1.Найти общее решение уравнения:

2.Найти решение задачи Коши:

yy − y	2	= y	2	ln y,	y (0) =1,	y (0)

2 =

−

xy +

y =

3. Найти общее решение уравнения:	y	+ y =	1	.
			sin x

4.Найти общее решение уравнения:

y + 3y + 2 y =	(	5 − 4x	)	e	−x	.
					−x

5. Найти общее решение уравнения:							y	+16 y = 65e		x


									−t
						x = x + 2 y + 2e

6. Найти общее решение системы

y = 3x + 6 y − e−t

cos 4x

Дифференциальные уравнения высших порядков

Вариант 5

1. Найти общее решение уравнения:

2. Найти решение задачи Коши:

	(y )
	2
y −	7 y	= 0,	y (0) = −1, y (0) = 7
	7 y

3. Найти общее решение уравнения:

4. Найти общее решение уравнения:

xy = y +

y + 4 y =

x	2	.

4
sin	2	x

			2x
	y	− 3y	+ 2 y = (8x −3)e .
	y	− 3y	+ 2 y = (8x −3)e .
5.	Найти общее решение уравнения:

6.	Найти общее решение системы
6.	Найти общее решение системы
				y

y x=

+4 y =17e

=x + 4 y

x + y − e	3t

sin 2x

Вариант 6

Найти общее решение уравнения:

1− (x + 3) y

= y

Найти решение задачи Коши:

ln y = y

y (0) =1,

(0) =1 .

− 2 yy

Найти общее решение уравнения:

− 4 y

+ 4 y =

+ 9

Найти общее решение уравнения:

2 y

−5 y

+ 2 y = (3x −1)e .

5.Найти общее решение уравнения: y + 6 y + 9 y = e−3x sin x .

x = x − 5y −8
6. Найти общее решение системы	y = −x − 3y	.
	y = −x − 3y
39

Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ

Для успешного выполнения контрольной работы студенту необходимо:

ЗНАТЬ:

•определение сходящегося ряда; необходимый признак сходимости ряда;

•достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (признаки сравнения, Даламбера и Коши);

•понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременных числовых рядов, признак абсолютной сходимости знакопеременного ряда, признак сходимости знакочередующегося ряда (теорема Лейбница);

•определение области сходимости функционального ряда, интервала сходимости степенного ряда; теорему Абеля об интервале сходимости степенного ряда;

•общий вид рядов Тейлора и Маклорена; ряды Маклорена и их интервалы сходимости для некоторых элементарных функций;

•определение ряда Фурье, общий вид ряда Фурье по основной тригонометрической системе в действительной и комплексной формах, теорема Дирихле о представлении функций рядом Фурье и сходимости полученного ряда.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]