Математический анализ. Сборник задач для контрольных работ во втором семестре. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5. Проверьте, являются ли точки

(−1; −1) и

M 2 (1;1) точками

экстремума функции z = 3x

. Если являются,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

908 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y ) в точке, соответствующей точке M ;

3.4. градиент функции z = f (x, y )	в точке M .
Вычислите:
3.5. значение производной по направлению от точки								M
точке N ;
3.6. приближенное значение функции в точке					K .
4. Найдите производную функции f	= xy	2	− 3x	4	y	5	в точке
4. Найдите производную функции f	= xy		− 3x		y		в точке
M (1,1) по направлению l = (2, −1) .

укажите их характер (минимума или максимума).

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Вариант 4

1. Найдите частные производные первого порядка для функций:

а)

z = y ln (x2 + y )

б)

x cos y + y cos z + z cos x =

2. Найдите частные производные второго порядка

y sin 2 y

;

функции z =

x y

3. Известно, что функция

z = f

(x, y ) непрерывно

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки

, при этом:

(M ) = −5;

(N ) = −5;

(M ) = 4;

(M ) = 0;

(M ) = −2;

(M ) = −3;

(M ) = 6.

x y

Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции

z = f (x, y )

в точке M ;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции

z = f (x, y )

в точке

M ;

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y ) в точке, соответствующей точке M ;

3.4. градиент функции

z =

f (x, y )

в точке M .

Вычислите:

3.5.значение производной по направлению от точки точке N ;

3.6. приближенное значение функции в точке

K .

Найдите производную функции

z = f (x, y ), заданной

(

)

уравнением 2x

− y

+ 2z

+ xy + xz = 3

в точке M 1, 2,1 по

(

)

направлению l

= 1, −1 .

Проверьте, являются ли точки M1 (1; 2)

и M 2 (2;1)

точками

локального экстремума функции

z = x

y (4 − x − y )

. Если

являются, укажите их характер (минимума или максимума)

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Вариант 5

1. Найдите частные производные первого порядка для функций:

−

xyz

а)

z = e

б) z = e

2. Найдите частные производные второго порядка

;

функции z = cos xy .

x y

3. Известно, что функция

z =

f (x, y )

непрерывно

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки

M (−1; 0),

N (−1;5),

K (−1, 02; 0, 03) , при этом:

(M ) = 5;

f (N ) = 0;

(M ) = 8;

(M ) = −3;

(M ) = −1;

(M )

= 4;

(M ) = −5.

x y

Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции

z =

f (x, y )

в точке

;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции

z = f (x, y )

в точке M ;

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности

z = f (x, y ) в точке, соответствующей	точке	M ;
3.4. градиент функции z = f (x, y ) в точке	M .

Вычислите:

3.5. значение производной по направлению от точки к точке N ;

3.6. приближенное значение функции в точке

K .

4. Найдите уравнение нормали к поверхности, заданной

уравнением

в точке

0 (−2; 1; −1).

5. Проверьте, являются ли точки

M1 1;

и M 2 (1;1) точками

экстремума функции

z = x

+ 8 y

− 6xy +1. Если являются,

укажите их характер (минимума или максимума).

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Вариант 6

1. Найдите частные производные первого порядка для функций:

а)

z =

cos

б)

− ln

= 0 .

y + 2

2. Найдите частные производные второго порядка

;

функции

z = sin

+ 2xy .

x y

3. Известно, что функция z =

f (x, y )

непрерывно

дифференцируема в некоторой области D , содержащей точки

M (5; −2), N (−1;3),

K (4, 7; − 2, 2)

, при этом:

(M ) = 3;

(N ) = 6;

(M ) = −1;

(M ) = −2;

(M ) = 0;

(M ) = 3;

(M ) = −1.

x y

Запишите:

3.1. выражение полного дифференциала функции

z = f

(x, y )

в точке

;

3.2. выражение дифференциала второго порядка функции

z =

(x, y ) в точке M

;

Дифференциальное исчисление функций многих переменных

3.3. уравнение касательной плоскости к поверхности z = f (x, y ) в точке, соответствующей точке M ;

3.4. градиент функции

z =

f (x, y )

в точке M .

Вычислите:

3.5.значение производной по направлению от точки точке N ;

3.6. приближенное значение функции в точке

K .


4. Найдите производную функции u = y			2	z − 2xyz + z	2
4. Найдите производную функции u = y				z − 2xyz + z
M (3;1; −1)	по направлению	MN , если		N (−2;1; 4).

в точке

Если являются, укажите их характер (минимума или максимума).

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Для успешного выполнения контрольной работы по теме «Кратные интегралы» студенту необходимо

ЗНАТЬ:

•определение и свойства двойного интеграла;

•формулы перехода от двойного интеграла к повторному;

•выражение двойного интеграла через полярные координаты;

•формулы вычисления площади и массы плоской фигуры, объема цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.

УМЕТЬ:

•записывать область интегрирования в виде системы неравенств;

•расставлять пределы интегрирования в повторном интеграле;

•изменять порядок интегрирования в повторном интеграле;

•выбирать способ вычисления двойного интеграла;

•вычислять двойной интеграл в прямоугольной декартовой системе координат и в полярной системе координат;

•применять двойной интеграл при вычислении площади и массы плоской фигуры, объема цилиндрического тела.

Таблица баллов

задача	1	2	3		4	5	6	всего

балл	1	1	1		1	1,25	1,25	6,5

				18

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 1

1. Преобразуйте интеграл f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, интегрирования:

D : y =

в повторный

x + y = 4,

y =

и измените порядок

0 .

2. Вычислите интеграл

0	−x	3

dx		2xydy
−1	−x	2

3. Преобразуйте интеграл

f (x, y )dxdy D

по области

заданной уравнениями границ, в повторный интеграл в полярной системе координат:

D : y	2	− 2x + x	2	= 0,		y	2	− 6x + x	2	= 0	,	y =	x	,	x = 0
	2		2				2		2
													3
													3
						5									D ,
4. Вычислите интеграл								− x dxdy , по области							D ,
					D	4
					D

ограниченной кривой y2 + x2 = 2 y .

5. Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного

поверхностями

x	2	+ y	2	+ z	2	=16,

y	2	+ x	2

3z	2

, x = 0 ,

y= 0 (x, y, z 0), если плотность = z .

6.Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , z = 4 (x 0, y 0).

Интегральное исчисление функций многих переменных. Кратные интегралы

Вариант 2

1. Преобразуйте f (x, y )dxdy по области, заданной

уравнениями границ, в повторный и измените порядок интегрирования:

D : y = x + 2,		y =
	0
2. Вычислите интеграл			dx

	−1		−

x	2	,	y =

	0

1−x	2

0 .

ydy

3. Преобразуйте интеграл

(x,

y )dxdy

по области

заданной неравенствами, в повторный интеграл в полярной системе координат:

D : x	2	+ 2 y + y	2	0	,	x	2	+ y	2	1	(x 0).

Вычислите интеграл

+ y

dxdy , по области

D ,

ограниченной кривыми

+ x

= y,

+ x

= 4 y .

Вычислите массу неоднородного тела, ограниченного

поверхностями x

+ y

= 4,

+ x

= 4z ,

= 0 , x

= 0 ,

y = 0 (x, y 0) , если плотность

= 5 y .

Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

z = 2 −(x2 + y2 ), z = 0 (x 0, y 0).

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]