Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной теория и задачи. Учебное пособие для студентов 1 курса университетов

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.29. Найти производную неявно заданной функции, опре-

√

делив ее явный вид y = y(x): 3 xy = sin(log5 x).

1.31.Найти производную yx′ от функции, заданной в неявном виде: x2 + 2xy − y2 = 2x. Чему равно y′ при x = 2 и y = 4?

1.32.Найти dy и d2y, если y + ln y + x3 = 0.

1.33. Функция y = y(x) определяется из уравнения x3 + y3 − y5 = x. Написать уравнения касательной и нормали к графику этой функции в точке x = 1, если y(1) = 1.

Задачи на вычисление производных функций, заданных параметрически:

( )

Пример 21. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x = 2t − t2, y = 3t − t3 в точке t = 0.

Решение. Уравнение касательной в точке (x0, y(x0)) к графику функции y = y(x):

y= y(x0) + y′(x0)(x − x0),

ауравнение нормали:

1

y = y(x0) − y′(x0) (x − x0).

81

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

y= arccos t,

1.35.Найти производные y′ , y′′ , y′′′ функции y = f(x),

{x x2 x3

Задачи на нахождение обратных функций и их производных:

arcsin y = arcsin(sin x). В силу периодичности синуса имеем arcsin y = arcsin(sin(x − πn)). Для упрощения этого равенства

arcsin(sin(x − πn)) = x − πn и получаем: arcsin y = x − πn, откуда x = arcsin y + πn, n Z. Переобозначив x на y, а y на x, имеем обратную функцию: y = arcsin x + πn, n Z.

82

y = − arcsin x + πn, n Z. Ответ можно записать в единой форме: y = (−1)n arcsin x + πn, n Z.

Пример 23. Найти обратную функцию x = x(y), если y = x + [x].

Решение. На каждом из полуинтервалов n 6 x < n + 1 (n = 0, ±1, ±2, ...) функция y(x) непрерывна и строго монотонна, поэтому у нее существует обратная функция. Найдем ее. Так как при n 6 x < n + 1 имеем [x] = n, то y = x + n, откуда x = y − n, где n 6 y − n < n + 1, т.е 2n 6 y < 2n + 1.

Ответ: x = y − n, где 2n 6 y < 2n + 1, n Z.

Пример 24. Найти x′y и x′′y2 , если y = xex, x > 0.

Решение. По теореме о производной обратной функции име-

Поэтому в данной задаче имеем

x′′ = − 1 y′′ = − 1 (ex(x + 2)) = − x + 2 . yy (y′)3 xx (ex(x + 1))3 e2x(x + 1)3

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.36. Может ли немонотонная функция y = f(x) (−∞ < x < +∞) иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:{

x, если x – рационально;

y =

−x, если x – иррационально.

1.37.Определить однозначные непрерывные ветви обратной функции для функции y = tg x.

1.38.Найти производную функции, имеющей название ареасинус и являющейся обратной к гиперболическому синусу y = sh x, двумя способами:

а) найдя ареасинус и затем продифференцировав его;

б) не находя обратной функции (по теореме о производной обратной функции).

83

новить ее знак.

Задачи на вычисление производных и дифференциалов высших порядков (n > 2):

Пример 25. Найти y(20)(x) и d20y(x), если y = x2e2x.

Решение. Положим u = x2, v = e2x, тогда u′ = 2x, u′′ = 2,

u′′′ = ... = u(20) = 0, v′ = 2e2x, v′′ = 22e2x,..., v(20) = 220e2x.

Вычислив коэффициенты C200 = 1, C201 = 20, C202 = 2!18!20! = 190, подставим в формулу Лейбница1:

(x2e2x)(20) = C200 u(0)v(20) + C201 u′v(19) + C202 u′′v(18) =

= x2·220·e2x+20·2x·219·e2x+190·2·218·e2x = 220e2x(x2+20x+95).

Тогда, умножая обе части полученного равенства на dx20, получим выражение для дифференциала соответствующего порядка (x – независимая переменная):

d20y(x) = 220e2x(x2 + 20x + 95)dx20.

Пример 26. Найти y(n)(x), если y = sin ax · sin bx.

Решение. Известно, что cos(n) x = cos (x + πn2 ). Представим функцию в виде y = 12 (cos(a − b)x − cos(a + b)x), тогда

y(n)(x) = 12 ((a − b)n cos ((a − b)x + πn2 )− − (a + b)n cos ((a + b)x + πn2 )).

Пример 27. Найти y(n)(0), если y = arctg x.

Решение. Записать общую формулу для y(n)(x) – дело трудное. Однако прием, при помощи которого можно вычислить y(n)(0), заслуживает упоминания.

1Формула Лейбница особенно эффективна, когда одна из функций имеет только конечное число ненулевых производных (например, является многочленом).

84

формулу Лейбница к произведению y′(1 + x2), положив u = y′, v = 1 + x2:

(1 + x2)y(n+1) + 2nxy(n) + n(n − 1)y(n−1) = 0.

Подставляя x = 0, получим y(n+1)(0) = −n(n − 1)y(n−1)(0). Отсюда, учитывая, что y′(0) = 1, найдем y′′′(0) = −2, y(5)(0) = 24. Вообще, для производных нечетного порядка имеем: y(2n+1)(0) = −2n(2n − 1)y(2n−1)(0) = (−1)n(2n)! Производные четного порядка равны нулю, т.к. y′′(0) = 0.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. 1.40. Найти y(50)(x) и d50y(x), а также d50y(1), если

Вычисление пределов функций с помощью правила Лопиталя:1:

Решение. Убедимся, что все условия 1-го правила Лопи-

и g′(x) = 1/x существуют в этой окрестности и одновремен-

питаля.

85

Замечание 1. Правила Лопиталя являются лишь достаточным условием для существования предела отношения двух бесконечно малых (бесконечно больших) функций, поэтому если предел отношения производных не существует или нарушается какое-либо другое условие применимости этих правил, то это, вообще говоря, еще не означает, что нет предела отношения исходных величин. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 32. Применимо ли правило Лопиталя для вычис-

ления предела lim x + sin x?

x→∞ x

Решение. Рассмотрим при x → ∞ две бесконечно большие функции: f(x) = x + sin x и g(x) = x. Предел их отношения, очевидно, существует:

86

87

(показательная функция на бесконечности растет быстрее, а логарифмическая – медленнее степенной функции).

Для доказательства применим правило Лопиталя: в приме-