Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной теория и задачи. Учебное пособие для студентов 1 курса университетов

Производные основных элементарных функций.

функции. Перед корнем выбран знак ” + ”, поскольку функция arcsin x при −1 < x < 1 принимает значения на промежутке

(−π/2, π/2), следовательно, cos(arcsin x) > 0.

11

тождество для гиперболических функций: ch2 x − sh2 x ≡ 1).

()

|x| > 1.

12

§2. Дифференциал функции, его свойства и применение.

Определение 2.1. Дифференциалом функции y = f(x)

в точке x0, соответствующим приращению ∆x, называется выражение dy = f′(x0)∆x.

Замечание 2.1. 1) Если точка x0 фиксирована, то дифференциал dy — главная линейная часть приращения функции ∆y — является линейной функцией от аргумента ∆x (если f′(x0) = 0, то dy ≡ 0).

2) Вообще говоря, dy ̸= ∆y. Действительно, рассмотрим график функции y = f(x). Отметим на нем точки M(x0, f(x0)) и N(x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)). Обозначим также через H и P точки на координатной плоскости с координатами

H(x0 + ∆x, f(x0)); P (x0 + ∆x, f′(x0)∆x + f(x0)). Тогда точки

N, P , H лежат на одной прямой; MH NH. Получаем, что

∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0) = NH; dy = f′(x0)∆x = P H. Итак, dy ̸= ∆yв общем случае; кроме того, мы выяснили геометрический смысл дифференциала: дифференциал dy — это ордината приращения касательной, соответствующего приращению аргумента ∆x.

Утверждение 2.1 (инвариантность формы первого дифференциала). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда ее первый дифференциал имеет вид: dy = f′(x0)dx, независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией некоторого аргумента t.

Доказательство. Пусть сначала x — независимая переменная. Тогда dy = f′(x0)∆x = f′(x0)dx.

13

как по определению дифференциал функции x = φ(t) в точке t0 имеет вид: dx = φ′(t0)∆t.

Замечание 2.2. Так как для дифференцируемой функции

y = f(x) всегда dy = f′(x)dx, то выражение dxdy — не просто обозначение для производной; его можно рассматривать как

отношение двух дифференциалов.

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0. Так как ее приращение ∆f = df + o¯(∆x) при ∆x → 0, то

(∆f − df)/(∆x) = o¯(1) при ∆x → 0.

Определение 2.2. Число (∆f − df)/(∆x) называется относительной погрешностью приближенного равенства

f(x0 + ∆x) ≈ f(x0) + f′(x0)∆x.

Эта формула служит для приближенного вычисления значе-

ний функции. Приведем пример.

√

Пример 2.1. Вычислим приближенно 4 1, 02. Обозначим

√

f(x) = 4 x, x0 = 1, ∆x = 0, 02. Тогда

√4 1, 02 = f(x0+∆x) ≈ √4 1+(√4 x)′|x=1·0, 02 = 1+ 14 ·0, 02 = 1, 005.

Сделаем проверку:

1, 0052 = 1, 010025; 1, 0100252 = 1, 020150500625.

Видим, что мы получили ошибку в четвертом знаке.

Заметим, что мы пока не можем оценить точность приближенных вычислений, поскольку не обладаем соответствующим математическим аппаратом. Несколько позже, изучив формулу Тейлора, мы сможем не только вычислять значения функций в точке с любой точностью, но и оценивать погрешность наших приближенных вычислений.

14

§3. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. Дифференцирование параметрически заданной функции.

Определение 3.1. Пусть функция y = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция f′(x) дифференцируема в некоторой точке x0 (a, b), то число

(f′(x))′|x0 называют второй производной (производной второго порядка) функции y = f(x) в точке x0 и обозна-

вают n−ной производной (производной n−ого порядка)

функции y = f(x) в точке x0 и обозначают f(n)(x0) (y(n)|x0 , dnf

dxn x0 , ... ).

Замечание 3.1. 1) Если функция y = f(x) имеет конечную производную n−ого порядка в любой точке множества A, то говорят, что f(x) n раз дифференцируема на множестве

A.

2) Принято считать, что f(0)(x) = f(x).

Производные высших порядков некоторых элементарных функций.

1) (xα)(n) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)xα−n, x > 0.

Доказательство (индукция по n). При n = 1: (xα)′ = αxα−1

— верно. Пусть (xα)(n−1) = α(α −1) . . . (α −n + 2)xα−n+1; тогда

15

2) (ax)(n) = ax lnn a; (ex)(n) = ex.

Пусть y(n−1) = (n − 2)! cosn−1 y · sin ((n − 1) (y + π/2)), тогда y(n) = (n − 2)! (cosn−1 y · sin ((n − 1) (y + π/2)))′ =

(

= (n − 2)! (n − 1) cosn−2 y(− sin y) sin ((n − 1) (y + π/2)) +

16

=(n − 1)! cosn y · cos (n (y + π/2) − π/2) =

=(n − 1)! cosn y · sin (n (y + π/2)) .

Теорема 3.1 (формула Лейбница). Пусть функции u(x), v(x) n раз дифференцируемы в точке x0. Тогда функция u(x) · v(x) n раз дифференцируема в точке x0, причем

∑n

Доказательство. Проведем доказательство методом мате-

=(Cn0−1u(n−1)(x)v(x) + · · · + Cnn−−11u(x)v(n−1)(x))′ =

=Cn0−1u(n)(x)v(x) + Cn0−1u(n−1)(x)v′(x) + Cn1−1u(n−1)(x)v′(x)+ +Cn1−1u(n−2)(x)v′′(x) + · · · + Cnn−−11u′(x)v(n−1)(x)+

+Cnn−−11u(x)v(n)(x) = Cn0u(n)(x)v(x) + (Cn0−1 + Cn1−1)· ·u(n−1)(x)v′(x) + · · · + Cnnu(x)v(n)(x) = Cn0u(n)(x)v(x)+ +Cn1u(n−1)(x)v′(x) + · · · + Cnnu(x)v(n)(x) =

∑n

=Cnku(n−k)(x)v(k)(x).

k=0

17

Определение 3.2. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Зафиксируем приращение аргумента ∆x = h. Тогда dy = f′(x)h — функция аргумента x. Если она дифференцируема в некоторой точке x0 (a, b), то ее дифференциал в точке x0 имеет вид: d(f′(x)h)|x0 = f′′(x0)h∆x. Если выбрать приращение ∆x = h, то полученное выражение d(dy))|x0 = f′′(x0)h2 = f′′(x0)dx2 называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента dx, и обозначается d2y|x0 или d2f(x)|x0 .

Аналогично n-ым дифференциалом (дифференциалом n-ого порядка) функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента dx, называется выражение

dnf(x)|x0 = d(dn−1f(x))|x0 = f(n)(x0)dxn.

Замечание 3.2. При n > 2 n−ый дифференциал уже не обладает, вообще говоря, свойством инвариантности: пусть x = φ(t). Тогда

d2f(x) = d(df(x)) = d(f′(x)φ′(t)dt) = (f′(x)φ′(t)dt)′dt =

=f′′(x)φ′(t)φ′(t)dt2 + f′(x)φ′′(t)dt2 =

=f′′(x)(φ′(t)dt)2 + f′(x)(φ′′(t)dt2) = f′′(x)dx2 + f′(x)d2x.

Если x — независимая переменная (или линейная функция), то dnx = 0, n = 2, 3, . . . .

Определение 3.3. Говорят, что функция y = f(x) задана параметрически на множестве X, если на некотором множестве T заданы функции x = φ(t) и y = ψ(t), причем функция φ(t) имеет своим множеством значений X и на этом множестве определена обратная функция t = φ−1(x). Тогда для любого x X: y = ψ(φ−1(x)).