Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной теория и задачи. Учебное пособие для студентов 1 курса университетов

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

Найти производные показательно-степенных функций:

1

1.7. y = xx (x > 0);

1.8. y = xxa + xax + axx (a > 0, x > 0);

1.9. y = (sin x)cos x (sin x > 0).

1.10. y = x√x x (x > 0).

Дифференцирование произведения трех и более функций.

Если дифференцируемая функция имеет вид произведения нескольких сомножителей u = u1 ·u2 ·...·un, то либо применяют формулу дифференцирования произведения

(u1u2...un)′ = u′1u2...un + u1u′2...un + ... + u1u2...u′n

(доказывается индукцией), либо, если сомножители ui положительны, используют предварительное логарифмирование:

ln(u1u2...un) = ln u1 + ln u2 + ... + ln un,

после чего дифференцируют (сумму дифференцировать проще, чем произведение):

и в конце умножают на y.

Пример 6. Используя формулу производной произведения, найти y′, если

71

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Найти производную функции, вначале упростив ее:

2 th x

1.13. y = 1 + th2 x;

1.14. y = 4 sh3 x + 3 sh x;

1.15. y = (arcsin x + arccos x)x;

1.16. y = logx(x + 1) · logx+1(x + 2) · logx+2(x + 3) · ...

· logx+2014(x + 2015), x > 1.

√

1.17.y = 1 + x4 + sin2 x + 2x2 + 2 sin x + 2x2 sin x.

1.18.Доказать формулу для производной дробно-линейной

Введение промежуточной переменной и сведение к сложной функции. Если переменная x в записи функции присутствует только в составе некоторого повторяющегося выражения, то его целесообразно заменить новой переменной, и затем воспользоваться формулой для дифференцирования сложных функций.

Пример 11. Найти производную функции, вводя промежуточную переменную и используя правило дифференцирования

Решение. а) Введем промежуточную переменную t = sin x и получим суперпозицию функций y = u(t(x)), где u(t) =

(здесь всего лишь один раз в самом конце осуществляется умножение на t′(x)).

74

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Найти производную функции, вводя промежуточную пе-

ременную и используя правило дифференцирования сложной

Вычисление производных и дифференциалов при помощи определений и свойств дифференцируемых функций:

Пример 12. Для функции f(x) = x3 − 2x + 1 определить в точке x = 1:

1) приращение функции ∆f(1); 2) дифференциал df(1).

Решение. 1) По определению приращения функции в точке,

∆f(1) = f(1 + ∆x) − f(1) = (1 + ∆x)3 − 2(1 + ∆x) + 1 =

=∆x + 3(∆x)2 + (∆x)3.

2)По определению дифференциала функции в точке, главная, линейная относительно x, часть приращения функции есть дифференциал, т.е. df(1) = ∆x.

С другой стороны, для нахождения дифференциала в точке x = 1 можно было воспользоваться известной формулой для дифференциала первого порядка. Найдя предварительно f′(x) = (3x2 − 2)|x=1 = 1, получаем тот же результат:

df(1) = f′(1) · x = x.

75

Пример 14. Найти dy и d2y, если

y(x) = (u(x) − 2) ln(1 + v(x)),

где u(x), v(x) – дважды дифференцируемые функции независи-

Пример 15. Найти dy и d2y, если y = f(u) – дважды дифференцируемая функция, u(x) = e4x cos 2x.

Решение. По формулам для первого и второго дифференциалов имеем:

dy = f′(u)du, d2y = f′′(u)du2 + f′(u)d2u,

где du = u′(x)dx =

= (4e4x cos 2x + e4x(−2 sin 2x))dx = 2e4x(2 cos 2x − sin 2x)dx,

d2u = u′′(x)dx2 = 4e4x(3 cos 2x − 4 sin 2x)dx2.

76

Подставляя, окончательно получим:

dy = f′(u) · 2e4x(2 cos 2x − sin 2x)dx, d2y = f′′(u)(2e4x(2 cos 2x − sin 2x)dx)2+ +f′(u) · 4e4x(3 cos 2x − 4 sin 2x)dx2.

Пример 16. Показать, что функция

{

x2, если x – рационально;

f(x) =

0, если x – иррационально, имеет производную лишь при x = 0.

Решение. 1) Покажем, что в точке x = 0 функция диффе-

Докажем, что этот предел существует и равен нулю. Действительно, возьмем произвольно малое ε > 0 и рассмотрим

2) Покажем, что при x ̸= 0не существует f′(x). От противного. Предположим, что производная f′(x) существует и конечна. Но тогда функция f(x) должна быть непрерывна при этом x. Однако рассматриваемая функция разрывна в каждой такой точке. Противоречие.

Пример 17. Пусть{

x2, если x 6 x0; ax + b, если x > x0.

Как следует подобрать коэффициенты a и b так, чтобы функция f(x) была непрерывной и дифференцируемой в точке x = x0?

Решение. 1) Запишем в точке x = x0 условие непрерывности:

77

2) Выпишем условие дифференцируемости в точке x = x0: f−′ (x0) = f+′ (x0). Найдем, по определению, односторонние производные:

Решая систему (1)-(2), находим a = 2x0, b = −x20.

Замечание. Дифференцируемость функции при x = x0 означает, что в точке (x0, f(x0)), где парабола "переходит" в пря-

в) непрерывно дифференцируема (имеет непрерывную производную) при x = 0?

Решение. а) Согласно определению непрерывности функции

Очевидно, что данный предел существует и равен нулю лишь при α > 0. Поэтому функция f(x) непрерывна в нуле при α > 0.

б) Найдем производную в точке x = 0 по определению:

Этот предел существует лишь при α > 1 и равен нулю. Итак, функция f(x) дифференцируема в нуле при α > 1.

78

в) Найдем в окрестности точки x = 0 производную:

Для непрерывности f′(x) в нуле необходимо и достаточно, чтобы

Пределы обоих слагаемых существуют лишь при α > 2 и при этом равны 0. Поэтому функция f(x) непрерывно дифференцируема в нуле при α > 2.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.22.Пусть f(x) = |π2 − x2| sin2 x. Во всех ли точках дифференцируема эта функция? Найти f′(π) и f′(−π) в случае утвердительного ответа.

1.23.При каком значении параметра a существует f′(0),

1.24. При каких значениях параметров a и b функция диф-

ференцируема на всей числовой прямой:

{

Объяснить, почему функция не дифференцируема ни в од-

ной точке:

√

1.25.y = log2(sin x);

1.26.y = sin(arccos(ch(x2))) · cos(arcsin(ch(x2)));

( )

1.27. y = arcsin sh4(x + 4 sin(xeπx)) + 2x2+1 .

1.28. Если функция f(x) дифференцируема в ограничен-

ном интервале (a, b) и lim f′(x) = ∞, то обязательно ли

x→a

lim f(x) = ∞?

x→a

79

Задачи на вычисление производных и дифференциалов функций, заданных неявно:

и еще раз:

y′′ + y′′y − (y′)2 + 6x = 0. y2

Выражая из полученного равенства вторую производную, получим:

Замечание 1. Если подставить в выражение для второй производной найденное выше выражение для y′, то получим y′′ через x и y:

y′′ = 9x4y − 6xy(y + 1)2 .

(y + 1)3

Замечание 2. Можно было для нахождения y′′ продифференцировать вычисленную перед этим первую производную:

Для нахождения дифференциалов dy и d2y в случае, когда производные известны и x – независимая переменная, восполь-

80