Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной теория и задачи. Учебное пособие для студентов 1 курса университетов

Приравнивая соответствующие производные к нулю и пользуясь достаточными условиями монотонности функции, существования локальных экстремумов, а также перегибов графи-

ка функции, находим, что y′ (t) обращается в нуль при t = 0

√ x

и при t = 3 2. При этом yxx′′ (0) = 32a > 0, поэтому в точке

Очевидно, что x(t) → 0 и y(t) → 0 при t → ±∞. Поэтому кривая приближается при этих условиях к точке с координатами (0; 0).

довательно, исследуемая кривая имеет двухстороннюю асимптоту при t → −1 ± 0. Уравнение этой асимптоты: y = −x − a.

По вычисленным данным несложно построить эскиз заданной кривой. Он прилагается на Рис.9. Заданная кривая носит название "декартов лист".

4. Однородный тонкий стержень длины l > 2a опустили в чашу, которая имеет форму полушара радиуса a (Рис.10). Требуется найти положение равновесия этого стержня в чаше. Трением пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Ясно, что под действием силы тяжести стержень стремится занять положение (оно и будет положением равновесия), при котором его центр масс опустится как можно ниже. Рассмотрим плоский чертеж (Рис.11), где начало координат совмещено с точкой касания чаши с плоскостью.

Обозначим массу стержня через m, координаты конца стержня M, находящегося в чаше, через M(x0, y0), угол между

121

Рис. 9:

стержнем и осью OX - через φ, высоту центра масс стержня C - через h. Используя эти обозначения, можно записать следующие очевидные соотношения: потенциальная энергия стержня

E = mgh, h = 2l sin φ + y0. Из треугольника ∆ABM имеем:

ка M(x0, y0) лежит на окружности (задаваемой формой чаши) с центром в точке O(0; a), то ее координаты удовлетво-

Рис. 10:

122

Рис. 11:

ряют уравнению этой окружности: O : x2 + (y − a)2 = a2,

Теперь, используя равенство x0 = a cos 2φ, из уравнения окружности можно найти y0. Получаем: y02 −2ay0 + a2 cos 2φ = 0,

a − a sin 2φ.

Подставим теперь полученное выражение y0 = a − a sin 2φ в выражение для h и затем в выражение для потенциаль-

ной энергии. Имеем: E = mgh = mg(2l sin φ + a − a sin 2φ). Легко видеть, что минимизация потенциальной энергии

значения на отрезке [0; π4 ] (что соответствует реальным по-

ложениям стержня в чаше). Итак, получена математическая формулировка задачи на отыскание наименьшего значения функции одной переменной на заданном интервале. Зай-

123

мемся ее решением. Вычислим производную функции f(φ).

Теперь по поведению производной несложно определить, что t0 - единственная точка локального минимума функции f(φ). В самом деле, f′(t) является многочленом, имеющим 2 корня: отрицательный и положительный, причем первый коэффициент этого многочлена отрицательный. Это означает, что его график - парабола, выпуклая вверх. Сле-

Следовательно, в точке t0 (значение большего корня) квадратный трехчлен f′(t) меняет знак с плюса на минус при возрастании t. Но так как t = cos φ является убывающей функцией на промежутке [0; π4 ], то возрастанию t соответствует убывание φ. Значит, при переходе через соответствующую точку φ0 при возрастании φ, происходит изменение знака f′(cos φ) с минуса на плюс, а это означает, что точка φ0, соответствующая t0 (то есть cos φ0 = t0), является точкой локального (а значит, и

124

глобального на промежутке [0; π4 ]) минимума функции f(φ).

ЗАМЕЧАНИЕ. В данной задаче не производилось сравнение значений функции в точке t0 и на концах отрезка [0; π4 ], поскольку технически проще определить точку глобального минимума именно предложенным способом.

Итак, наименьшее значение функции f(t)√на промежутке

[0; π4 ] достигается в точке t0 = cos φ0 = 161a ·(l+√l2 + 128a2). Так

как cos φ 6 1, то имеем неравенство: 1 · (l + l2 + 128a2) 6 1,

√ 16a

откуда получаем: l + l2 + 128a2 < 16a = l < 4a. При этом в положении равновесия координаты конца стержня принима-

рианты значений l удовлетворяют неравенству: 2a < l 6 4a.

5. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса R.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим чертеж сечения шара с вписанным цилиндром (Рис.12). Обозначим через r радиус цилиндра, а че-

Рис. 12:

125

рез h - его высоту. Легко видеть, что согласно условию вписан-

Следовательно, объем цилиндра выражается через h по фор-

2R

Следовательно, h0 = √ (0; 2R) - единственная критическая

3

точка функции f(h) на указанном промежутке. Сравним значения функции f(h) в точках 0, h0, 2R.

Итак, наибольший объем вписанного в шар цилиндра дости-

2R

гается при его высоте, равной h0 = √ .

3

2R

ОТВЕТ: h0 = √ .

3

Задачи для самостоятельного решения.

I. Исследовать поведение функции (кривой), заданной соотношением декартовых координат, и построить ее график (эскиз этой кривой):

I.1. y = arctg(x) − 12 · ln(x2 + 1);

I.2. y = (x + 1)4 · ex;

√

I.3. y = x · ln x при x > 0, y(0) = 1;

x3

I.4. y = x2 + 3 ;

126

I.5. y = √ x .

3 x2 − 1

II. Исследовать поведение и построить эскиз кривой или графика функции, заданных параметрически:

II.1. x = t + e−t, y = 2t + e−2t;

III. Исследовать поведение и построить эскиз кривой или графика функции, заданных в полярных координатах:

III.1. r = a sin 3φ;

III.3. r = a · φth−φ1 , где φ > 1, a > o;

III.4. φ = arccos rr−21 ;

IV. Решить задачи на максимум (минимум):

IV.1. Из всех круговых секторов с данным периметром 2P найти тот, у которого наибольшая площадь.

IV.2. Найти наибольшую полную поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса R;

IV.3. Найти высоту конуса с наименьшим объемом, описанного вокруг шара радиуса R;

IV.4. Дождевая капля массой m0 падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени (коэффициент пропорциональности равен k). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей (сопротивлением воздуха пренебречь)?

IV.5. Картина высотой 1.4m повешена вертикально на стену так, что ее нижний край на 1.8m выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы видеть картину под наибольшим углом?

IV.6. Сосуд с вертикальной стенкой высоты h заполнен

127

жидкостью до края. Из отверстия в стенке бьет струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи в

начальный момент будет максимальной (скорость струи равна

√

2gx, где x - глубина отверстия, то есть расстояние отверстия от верхнего края сосуда, g - ускорение свободного падения).

IV.7. Канал поворачивает под прямым углом. Ширина участков канала до и после поворота равна соответственно a и b.По этому каналу производится сплав леса (бревен). Найти максимальную длину бревна, которое может пройти по каналу (толщиной бревна пренебречь).

128