Математический анализ. Дифференцирование функции одной переменной теория и задачи. Учебное пособие для студентов 1 курса университетов

Рис. 4: Окончательный эскиз графика

рически. Найдем точки пересечения ее графика с осями координат: x(−1) = 0, y(−1) = −2, y(1) = 0, x(1) = 2. Итак, график проходит через точки (0; −2) (при t = −1) и (2; 0) (при t = 1). Далее, несложно заметить, что x(±∞) = 1, y(±∞) = 0. Это означает, что при t → ±∞ график приближается к точке (1; 0).

61

Замечаем, что yx′ (2) = 0, yxx′′ (2) = −2 < 0. Это означает, что при t = 2 наблюдается локальный максимум исследуемой функции. Соответствующая точка графика ( 32 ; 14 ), так как x(2) = 32 , y(2) = 14 . Кроме того, функция y(x) возрастает при t (2; +∞) (−∞; 0) и убывает при t (0; 2).

По второй производной yxx′′ (t) определяем промежутки выпуклости функции y(x): она имеет выпуклость вверх при любых значениях t R \ {0}.

Отметим также, что если t → ±0, то x(t) → ±∞, а y(t) → −∞ . Отсюда следует, что у графика исследуемой функции нет вертикальных асимптот, и его ветви уходят в бесконечность в III и IV четвертях координатной плоскости.

Выясним, имеются ли у данной функции наклонные асимптоты. Найдём соответствующие пределы k± = lim и

ясно, что наклонных асимптот у данной функции нет.

Рис. 5:

Для более точного построения графика укажем еще про-

62

изводные (то есть направления касательных) и координаты

некоторых дополнительных точек: yx′ (±∞) = 1, yx′ (1) = −1; yx′ ( 0) = ±∞, x(−2) = 12 , y(−2) = −34 .

На основании полученных данных несложно изобразить эскиз графика параметрически заданной функции (Рис.5).

§2. Отыскание наибольшего или наименьшего значения функции на множестве.

Рассмотрим задачу: найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на данном замкнутом множестве A R.

Отметим, что по определению замкнутого множества, оно содержит все свои предельные точки. Важным частным случаем замкнутого множества на вещественной прямой является замкнутый отрезок (сегмент). Часто ставится задача об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом отрезке. Рассмотрим ниже этот частный случай.

Пусть функция f(x) задана на отрезке [a; b]. Требуется найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на [a; b]. Будем предполагать, что выполнены следующие условия:

1)заданная функция f(x) непрерывна на [a; b];

2)функция f(x) дифференцируема всюду на (a; b), за исключением не более чем конечного числа точек;

3)производная функции f′(x) обращается в нуль на интервале (a; b) не более чем в конечном числе точек .

Тогда, в силу второй теоремы Вейерштрасса, функция f(x) достигает своих наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке [a; b]. Они могут достигаться либо на концах отрезка [a; b] (краевые экстремумы), либо во внутренних точках. Если экстремальное значение функции достигается во внутренней точке c отрезка [a; b], и функция f(x) дифференцируема в точке c, то имеем равенство: f′(c) = 0 (необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции). Либо в точке c функция f(x) не является дифференцируемой. Кстати, точки, где либо производная функции f(x) равна нулю, либо не существует, называют ее критическими точками.

63

В силу условий 1)-3), множество точек, где функция может достигать своих наибольшего и наименьшего значений, не более чем конечно.

Если найдены все эти точки: a, b, c1, ...cm, то для решения поставленной задачи остаётся лишь вычислить значения функции f(a), f(b), f(c1), ..., f(cm), сравнить их по величине и выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

Если вычисление значений функции в найденных точках затруднительно, то можно проверить достаточные условия для существования локального минимума или максимума в каждой из них.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если требуется решить прикладную задачу о нахождении наибольшего и/или наименьшего значения некоторой величины, то следует подобрать (по возможности, простейшую) функцию одной переменной так, чтобы решение поставленной задачи было эквивалентно нахождению наибольшего и/или наименьшего значения этой функции на некотором множестве (обычно на отрезке или интервале), который тоже, конечно, определяется из условий исходной задачи. Тем самым ставится формальная математическая задача на отыскание наибольшего и/или наименьшего значения функции одной переменной. Следует решить эту формальную задачу, пользуясь необходимым теоретическим материалом. Затем из ответа этой формальной задачи следует получить ответ поставленной прикладной задачи.

ПРИМЕР 1. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна (Рис.6) с полукруглым поперечным сечением будет вмещать наибольшую массу раствора, если внешняя поверхность ванны равна S = 7m2 ? Толщина стенок ванны предполагается малой срванительно с ее размерами, и при решении задачи ею можно пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Введем следующие обозначения: M - масса раствора, вмещающегося в ванну, ρ - плотность раствора, V - внутренний объем ванны, l - длина ванны, h - высота ванны (равная радиусу ее поперечного сечения).

ШАГ 1 (подбор функции и множества). Из условия задачи

64

мулу для объема ванны и подставляя туда выражение для ее

из выражения внешней поверхности ванны S = π · h2 + π · h · l легко видеть, что высота ванны может изменяться от нуля до

Пользуясь этим, формулируем следующую математическую задачу:

найти наибольшее значение функции f(h) = S · h − π · h3

√

на отрезке [0; H], где H = Sπ .

ШАГ 2. Найдем критические точки данной функции f(h) на указанном отрезке. Функция f(h) дифференцируема во всей области определения. Вычислим и приравняем нулю ее производную : f′(h) = S − 3π · h2 = 0. Отсюда имеем:

Таким образом, все точки, где функция f(h) может достиг-

65

нуть своего наибольшего (наименьшего) значения, найдены.

большего значения на отрезке [0; H] функция f(h) достигает в

ШАГ 3. Поскольку величина массы раствора в ванне выражается через f(h) по формуле M = ρ · 12 f(h), то очевидно, что наибольшее возможное значение массы раствора в ванне равно

Окончательно, считая плотность раствора равной ρ = 1t/m3 (одна тонна на кубический метр) и подставляя заданное значение внешней поверхности ванны S = 7m2 в формулу для ее объема, получаем численный ответ.

l0 = 2h0 ≈ 1.724m

66

Глава 3. ЗАДАЧИ

§1. Задачи к главе 1

Рассмотрим вначале задачи на технику дифференцирования функций, включая некоторые полезные приемы вычисления производных.

Задачи на дифференцирование суммы, произведения, частного функций и сложной функции

Пример 1. Найти производные функций, указав их обла-

67

( √ )

при условии cos sin x5 + x ̸=,0x5 + x > 0.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Найти производные сложных функций с указанием их об-

ласти дифференцируемости (ответ можно не упрощать):

1.1. y = sin5(cos2 x);

68

1.3.y = ln(ln2(ln3 x));

1.4.y = arccos(cos2 x);

1.5.y = arccos ( 1 );

√ch x

1.6.y = 3 x + √3 x + √3 x + 3x2.

Обратимся, далее, к специальным случаям дифференцирования и рассмотрим несколько приемов, используемых при дифференцировании показательно-степенных1 функций, произведений нескольких функций и в ряде других ситуаций.

Дифференцирование показательно-степенных функций.

Пусть требуется найти производную функции y = uv (u > 0) в предположении, что функции u(x), v(x) дифференцируемы. Обратимся к приему, состоящему в предварительном логарифмировании функции. А именно, прологарифмируем это равенство по основанию e:

Пример 4. Найти производные показательно-степенных функций, используя предварительное логарифмирование:

а) y = xx; б) y = (1 + 4x)ctg x в) y = xax , a > 0.

Решение. а) Прологарифмируем равенство y = xx при x > 0 по основанию e: ln y = ln(xx) = x ln x. Теперь продифференцируем по x полученное равенство:

1Показательно-степенной называется функция uv, где u(x); v(x) – элементарные функции, u(x) > 0.

69

Рассмотрим другой прием дифференцирования показатель- но-степенных функций, состоящий в переходе к экспоненте в основании степени:

y = uv = eln(uv) = ev ln u.

Тогда, дифференцируя последнее равенство как сложную функцию, получаем тот же результат, что и выше:

y′ = (ev ln u)′ = ev ln u(v ln u)′ = uv (v′ ln u + vuu′ ).

Пример 5. Найти y′, переходя к экспоненте в основании: а) y = xx; б) y = (1 + 4x)ctg x.

( )

= (1 + 4x)ctg x −sin2 x · ln(1 + 4x) + ctg x · 1 + 4x · 4 .

70