Математическая обработка результатов измерений. Ч.2. Уравнительные вычисления. Практикум

Для приведения системы к каноническому виду необходимо перегруппировать ее члены таким образом, чтобы поправочные коэффициенты с одноименным индексом находились друг под другом.

Таким образом, уравнения составляют непосредственно по схеме сети; каждому полигону соответствует одно уравнение, или количество уравнений равно количеству полигонов; в левую часть уравнения входят со знаком «+» член Niki, со знаком «–» члены nijkj (условие уничтожения невязки i-го полигона с учетом его смежности с другими j-ми полигонами системы) и свободный член Wi в виде угловой невязки со знаком, полученным при ее вычислении:

Для практического решения задачи рекомендуется на основе схемы нивелирной сети (см. рисунок  3.1) составить сводную таблицу данных (таблица  3.1).

Таблица  3.1 – Сводная таблица данных для составления системы уравнений поправок

Для данной схемы (см. рисунок  3.1) представлена следующая система линейных уравнений:

21

3  Решают систему нормальных уравнений.

Решение может быть выполнено любым из способов, рассмотренных на лекции (способом последовательной подстановки, с помощью алгоритма Гаусса, способом краковян/ краковянов, матричным способом).

Рекомендуется решение системы нормальных уравнений выполнить путем обращения их матриц с помощью соответствующих инструментов Мастера функций MS Office Excel [5]: МОБР(массив); МУМНОЖ(массив1;массив2) и др.

Из теоретического курса известно, что матричная запись системы линейных уравнений может быть представлена следующим образом.

Пусть задана система n линейных уравнений относительно неизвестных k1, k2, …, kn. В общем случае такую систему можно записать в виде

Коэффициенты при неизвестных в данной системе образуют квадратную матрицу n-го порядка, которая называется матрицей системы:

22

Используя понятия произведения и равенства матриц, систему уравнений можно кратко записать в матричной форме:

где K и W – соответственно матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов:

Порядок действий при решении системы нормальных уравнений путем обращения их матриц следующий:

составляют матрицу системы N и матрицу свободных членов W;

строят матрицу N–1, т.е. матрицу, обратную матрице системы N;

умножая слева на N–1 матрицу-столбец свободных членов,получаютискомоерешениесистемынормальныхуравнений:

Следовательно, в результате решения системы нормальных уравнений путем обращения их матриц вычислены значения неизвестных k1, k2, …, kn.

Контролем правильности вычислений является выполнение условия (3.5).

4  Вычисляют поправки в превышения для каждого звена, руководствуясь следующим алгоритмом: если в полигоне I звено принадлежит только полигону I, то суммарная поправка ni в это звено равна niki; если звено системы принадлежит двум полигонам I и J, то суммарная поправка ni,j в это звено равна ni,j(ki – kj).

23

Суммарные поправки n в превышения по звеньям вычисляют следующим образом:

Для вычисления поправок в звенья системы рекомендуется создать и заполнить таблицу  3.2.

Таблица  3.2 – Поправочные коэффициенты

5  Вычисленные поправки выписывают на схему около соответствующих звеньев системы каждого полигона. На рисунке  3.1 обозначено (*).

6  Выполняют контроль уравнивания сети: сумма поправок по звеньям системы в каждом полигоне равна значению невязки с обратным знаком:

7  Вычисляют исправленные/уравненные значения превышений по звеньям системы:

8  Вычисляют значения высотных отметок узловых пунктов системы по формуле

24

Практическаяработа  4.  Уравниваниеполигонометрическогохода параметрическимспособом(4часа)

Задание  4.1

На местности проложен одиночный полигонометрический ход между исходными пунктами А и N. Схема полигонометрического хода представлена на рисунке  4.1. Значения координат исходных пунктов, дирекционных углов aнач, aкон, измеренных горизонтальных углов bi и горизонтальных проложений si приведены в ведомости координат (таблица  4.1).

Значения средних квадратических погрешностей mb угловых и ms линейных измерений не превысили соответственно mb = 2,0″; ms = 20 мм.

Требуется вычислить уравненные значения координат определяемых пунктов B, S, T, F, V, R и выполнить оценку точности результатов измерений и их функций.

Примечания

1  Вычисления рекомендуется выполнять в среде MS Office Excel путем создания таблицы по форме, приведенной в приложении  Д.

2  Доступ к электронной версии материалов и данным по вариантам будет открыт по ссылке, выданной преподавателем в соответствии с графиком учебного процесса.

С

Рисунок  4.1 – Схема полигонометрического хода

25

Методические указания

Параметрический способ уравнивания является одним из основных способов при обработке маркшейдерско-геодези- ческих построений и является преобладающим в построении алгоритмов, реализованных в программных комплексах [6]. Это связано с тем обстоятельством, что при уравнивании сетей уравнения поправок в этом методе имеют одинаковую структуру. Именно это обстоятельство позволяет составлять для указанных сетей универсальную программу уравнивания.

Как известно, решение задачи параметрическим способом основано на представлении всех измеренных величин в виде функций некоторых выбранных параметров.

Пусть были выполнены измерения n, истинные значения которых Xi неизвестны.

Врезультате измерений получены значения x1′, x2′, …, xn′ с весами p1, p2, …, pn соответственно.

Вобщем числе n измерений содержится r избыточных

иk необходимых измерений (r < n и r + k = n и r = n – k). Выберем независимые параметры Tj (j = 1, 2, …, k).

Число таких параметров должно быть равно k – числу необходимых величин.

Выразим все измеренные величины через функции выбранных параметров и получим параметрические уравнения связи:

X1 =j1 (T1,T2,...,Tk ); X2 =j2 (T1,T2,...,Tk );

...

Xi =ji (T1,T2,...,Tk );

(4.1)

...

Xn =jn (T1,T2,...,Tk ) или

Xi =ji (Tj );

27

i =1,2,...,n;

j=1,2,...,k.

Впроцессе уравнивания определяют их вероятнейшие значения. На основании (4.1) вычисляют уравненные значения хi измеренных величин:

где ni – поправка к результату непосредственного измерения.

Если уравненные значения параметров обозначить tj, то параметрические уравнения (4.1) примут вид

Следовательно:

Вобщем случае ji(tj) имеет нелинейный вид и поэтому

еерешение вызывает определенные трудности. Для приведе-

ния функции к линейному виду вычисляют тем или иным спо-

собом приближенные значения tj0 независимых параметров. Затем уравнения (4.4) разлагают в ряд, пренебрегая членами второго и высших порядков.

Полагая, что

где tj – поправка в приближенное значение tj0, и выполняя соответствующие математические преобразования, получают систему уравнений:

28

Равенства (4.6) называют параметрическими уравнениями поправок или уравнениями поправок. Величины aij

иli называют соответственно коэффициентами и свободными членами этих уравнений.

Система уравнений поправок (4.6) имеет n уравнений

сn + k неизвестными (n – неизвестные поправки ni; k – неизвестные поправки tj).

Так как система (4.6) является неопределенной, то для

ее однозначного решения применяют принцип наименьших квадратов: [pn2] = min. В результате решения получают по-

правки tj, а затем и поправки ni. Уравненные значения измеренных величин хi и значения независимых параметров tj получают путем ввода этих поправок в результаты непосред-

ственных измерений и в приближенные значения tj0 по формулам (4.2) и (4.5).

Следует заметить, что в теоретическом курсе обучения достаточно подробно рассматриваются теория строгих способов уравнивания, основанных на применении метода наименьших квадратов (МНК), и порядок уравнительных вычислений маркшейдерско-геодезических построений, в том числе параметрическим способом, в том числе в терминах

исимволике матричной алгебры.

Впрактикуме рассмотрим пример уравнивания полигонометрического хода как наиболее часто применяемого вида построений в маркшейдерской практике. С этой целью мето-

29

дические указания представлены для решения конкретной поставленной задачи и схемы сети (см. рисунок  4.1). Порядок действий при этом следующий.

1  Анализируют совокупность результатов измерений в сети и устанавливают систему весов измерений.

Анализируя схему полигонометрического хода (см. рисунок  4.1), можно заключить следующее:

общее число измерений n = 15 (nb = 8; ns = 7);

число необходимых измерений k = 12;

число избыточных измерений r = 3.

Для решения данной задачи принимаем условие, что все углы измерены равноточно, т.е. pβi = 1. Значения весов измеренных расстояний вычислим по известной формуле [3], используемой в линейно-угловых построениях, и с учетом принятых значений:

2  Производят выбор независимых между, собой параметров tj. Число параметров должно быть равно числу необходимых измерений.

В качестве параметров tj выберем координаты определяемых пунктов. Следовательно, число параметров tj = 12 (таблица  4.2).

Таблица  4.2 – Выбор и обозначение параметров tj

30