Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.А. КУЗИН, О.В. МЕДВЕДЕВА, Е.В. ПОДОЛЯН

МАТЕМАТИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ШКОЛЫ РАЗВИТИЯ НГТУ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2016

1

УДК 51(076.1) К 89

Рецензенты:

канд. пед. наук, доцент О.Е. Рощенко;

учитель высшей квалификационной категории Инженерного лицея НГТУ Н.В. Мордвинова

Работа выполнена на кафедре инженерной математики для учащихся Школы развития НГТУ первого года обучения

Кузин Г.А.

К 89 Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ: учеб. пособие / Г.А. Кузин, О.В. Медведева, Е.В. Подолян. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. – 71 с.

ISBN 978-5-7782-3026-2

Пособие включает задачи и теоретические положения по различным разделам математики для углубленного изучения в старших классах школы.

Предназначено для учащихся Школы развития НГТУ первого года обучения и может быть использовано на аудиторных занятиях в специализированных классах средних учебных заведений.

ВВЕДЕНИЕ

Увлечение математикой часто начинается с размышления над задачей. В настоящем сборнике собраны не только задачи, которые являются упражнениями на проверку знаний и применение стандартных школьных приёмов, но и задачи, требующие исследования, умения логически рассуждать, способности перевести условие задачи на математический язык.

Предлагаемое пособие адресовано учащимся Школы развития НГТУ первого года обучения. Главное внимание уделено обсуждению понятий, имеющих важное значение в организации успешного изучения курса высшей математики в вузе.

4

ГЛАВА 1

МНОЖЕСТВА

1.1. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие множество является одним из основных понятий математики. В школе изучают множество натуральных чисел, множество решений уравнения, множество точек плоскости (геометрическая фигура) и т. д. Примерами множеств могут служить множество студентов в аудитории, преподавателей в классе. К сожалению, нельзя дать строгого определения понятию множества, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Множество – исходное понятие. Под множеством понимают совокупность (семейство, класс) некоторых объектов, называемых элементами этого множества. Множества обозначают большими буквами ла-

тинского алфавита A, B, C, X , Y , а их элементы малыми a, b, c, x, y .

Для того чтобы указать, что данное множество A состоит из элементов a, b, c, d, обычно пишут A {a, b, c, d} . Фигурные скобки в обо-

значении множества показывают, что элементы объединены в одно целое множество.

Само понятие «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много элементов. Но это не так. Запись A

5

обозначает пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента.

Способы задания множеств

1.A {x, y, z, ...}перечисление элементов множества.

2.A {x : P(x)} элементы x , обладающие свойством P(x) .

Операции над множествами

1.Равенство множеств A B A B и B A .

2.Объединение множеств A B {x A или x B}(рис. 2).

3.Пересечение множеств A B {x A и x B} (рис. 3).

4.Разность множеств A \ B {x A и x B}(рис. 4).

5.Симметрическая разность A B (A \ B) (B \ A) (рис. 5).

6.Дополнение A U \ A (рис. 6).

Свойства дополнения: а) A A U ; б) A A .

Законы двойственности: а) A B A B ; б) A B A B .

Задачи

1. Пусть a – элемент множества A . Можно ли писать: a A,

{a} A, {a} A, a {a}, a {a}, { }, { } ?

2.Укажите все подмножества множества {a, b, c}.

3.Даны множества А, В, С. Запишите и изобразите на плоскости диаграммами Эйлера–Венна множество элементов, которые принадлежат:

а) всем трём множествам; б) по крайней мере, двум из этих трёх множеств;

в) любым двум, но не всем трём множествам; г) по крайней мере, одному из этих множеств; д) любому одному, но не двум оставшимся.

4.Пусть U – множество треугольников на плоскости, A U –

множество равнобедренных треугольников, B U – множество пря-

6

7. Пусть U {1, 2, 3, ..., 30} , A {n U : n делится на 4} , B {n U :

n делится на 6} . Найдите A; B; A; B; A B; A B; A \ B; B \ A; A B . 8. Найдите все элементы множеств A; B; A B; A B; A \ B; B \ A;

1) A x R : x2 3x 2 0 , B 0;2 ;

1.2. ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ

Пусть N(A) обозначает число элементов множества А. Количество

элементов множества вычисляется по формулам включений и исключе-

ний:

1) N(A B) N(A) N (B) N(A B) ;

7

2)N(A B C) N(A) N(B) N(C) N(A B) N( A C)

N(B C) N(A B C).

Число элементов множества U и его дополнения вычисляют по формулам:

3)N(U ) N (A) N(A) ;

4)N(U ) N(A B) N(A B) ;

5)N(U ) N (A B C) N (A B C) .

n делится на 6} , C {n U : n делится на 5}. Проверьте формулы включений и исключений на примере этих множеств.

2.Задача Льюиса Кэрролла. В одном ожесточённом бою не менее 70 % бойцов потеряли один глаз; не менее 75 % – одно ухо; не менее 80 % – одну руку; не менее 85 % – одну ногу. Каково минимальное число потерявших глаз, ухо, руку, ногу?

3.В классе 20 учеников. Из них 15 человек посещают кружок по информатике; 10 человек – по математике.

Сколько учеников посещают оба кружка, если каждый ученик посещает хотя бы один кружок?

4. Покажите, что следующие данные несовместны: N 1000 ,

5. Среди 150 школьников марки собирают только мальчики:

67 человек собирают марки народов России;

48 человек собирают марки Африки;

34 человека собирают марки Америки;

11 человек собирают марки только России:

7 человек собирают марки только Африки;

2 человека собирают марки только Америки.

Один только Максим Галкин собирает марки России, Америки и Африки. Каково минимальное число девочек может быть среди

150школьников?

6.В классе 35 учеников. Из них 20 посещают факультатив по математике, 11 – по информатике, 10 не посещают ни один из кружков.

8

Сколько человек посещают оба кружка? Сколько человек посещают только факультатив по математике?

7.Обследование учащихся лицеев и гимназий показало, что:51 % посещают факультатив по математике;49 % посещают факультатив по информатике;42,7 % посещают факультатив по физике;

18,9 % посещают факультатив по математике и физике;14 % посещают факультатив по физике и информатике;

8,5 % посещают факультатив по математике и информатике. Покажите, что эта информация недостоверна.

8.В олимпиаде участвовали 50 человек: 30 решили арифметическую задачу, 10 человек – геометрическую задачу, 9 человек – логическую задачу; 2 человека решили все три задачи, 7 человек решили арифметическую и логическую задачи, 3 человека решили арифметическую и геометрическую задачи, 4 человека решили логическую и геометрическую задачи. Сколько человек решили:

1) арифметическую или геометрическую задачу;

2) только арифметическую задачу;

3) только логическую задачу;

4) только геометрическую задачу; 5) арифметическую и логическую задачи, но не решили геометри-

ческую задачу; 6) не решили ни одной задачи?

9.Выясните, сколько среди первой тысячи натуральных чисел будет чисел, не делящихся на: а) 2, 3, 5; б) 6, 10, 15.

9