Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

2.F (x, y, z,t) xyzt xyzt xyzt xyzt .

Схема имеет вид

3.F(x, y) xy x y .

Схема имеет вид

2.3

1.1) ( x R )(2x 0) . 2) ( y 0)( x R)(2x y) .

3)( M 0) n(| an | M ) . 4) M n(| an | M ) .

5)( 0)( 0)( x)(| x x0 | | f (x) f (x0 ) | ) .

6)( 0)( x)(0 | x x0 | f (x) f (x0 )) .

7)( 0)( x)(0 | x x0 | f (x) f (x0 )) .

2.8) ( x1 M )( x2 M )(x1 x2 f (x1) f (x2 )) .

9)( x D( f ))( x D( f ) ( f (x) f ( x))) .

13)( T 0)( x D( f ))(x T D( f ) x T D( f ) f (x T ) f (x))

3.а) x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x)) ; б) x(Q(x) P(x)) x(Q(x) P(x)) .

4.а) всякое число имеет противоположное; б) существует число, противоположное любому числу.

2.4

1.P {2; 3; 5; 7}, P {1; 4; 6; 8; 9} ; Q {2; 4; 6; 8}, Q {1; 3; 5; 7; 9} .

PQ {2}, PQ {3; 5; 7} , PQ {4; 6; 8} , PQ {1; 9}.

2.PQR {30}, PQR {10; 20} , PQR {6;12;18; 24} , PQR ,

62

PQR {2; 4; 8;14;16; 22; 26; 28}, PQR {5;15; 25} , PQR , PQR {1; 3; 7; 9;11;13;17;19; 21; 23; 27; 29} .

3.Прямоугольные и равнобедренные треугольники; прямоугольные

инеравнобедренные треугольники; непрямоугольные и равнобедренные треугольники; непрямоугольные и неравнобедренные треугольники.

1. Пусть ab 105 a b – данное число, ba 10b a – новое число, где a – цифра.

Выясним, какие остатки дают эти числа при делении на 7. 105 a b 5a b (mod 7) .

10b a 3b a (mod7) .

Преобразуем первое сравнение:

5a b 5a b 14b 5(3b a) (mod7) .

63

Если первое число делится на 7, то 5a b 0 (mod7) , следовательно, и второе число делится на 7, поскольку 5(3b a) 0 (mod7) .

2. Указание. Сравнить остатки от деления на 4 правой и левой части.

Ответ. Решений нет.

m n 117, 3. Задача сводится к решению системы

m n 40.

Ответ: 22.

4.(m,n) : (26; 650), (30; 150), (50; 50).

5.Задача сводится к решению уравнения 25x 36y 1 в натураль-

5. Пусть An 52n 1 3n 2 2n 1 . При n = 1 A1 = 152 делится на 19.

64

Предположим, что An делится на 19.

An 1 52n 3 3n 3 2n 25(52n 1 3n 2 2n 1)19 3n 22n 1 25An 19 3n 22n 1

делится на 19.

6. Решение. Проведем индукцию по числу городов. Пусть N 2 . Искомый маршрут (1, 2) или (2, 1). Предположим, что для N k

существует маршрут, позволяющий объехать все k городов, который обозначим через (1, 2, ..., k). При этом числом 1 обозначен город, из которого начинается маршрут, а числом k – город, в котором он заканчивается.

Рассмотрим (k + 1)-й город. Если из города k + 1 можно проехать в 1-й, то маршрут будет (k + 1, 1, 2, ..., k), иначе, если из города k + 1 можно проехать во 2-й, то маршрут будет (1, k + 1, 2, ..., k), иначе, если из города k + 1 можно проехать в 3-й, то маршрут будет (1, 2, k + 1, 3, ..., k), и т. д., наконец, если из города k + 1 можно проехать в k-й, то маршрут будет (1, 2, ..., k + 1, k), в противном случае маршрут будет

(1, 2, ..., k, k + 1).

3.3

3.(12404)7 .

4.(11000)2 ; (1111)2 ; (142714)8 ; (2204)6 ; (125334)6 .

8

5. (1100100)2 ; (1111101)2 . 6. Верны. 7. 11......11 .

9

ГЛАВА 4

4.1

1.1) ( 9,8x y) 2,5i; 2) 3a 3bi.

2.1) 4; 2) x 23 , y 163 .

7.4) 3x2 2x 27 0; 5) x2 (5 3i) x (4 7i) 0;

6)2x2 (3 i)x (4 2i) 0.

66

4.3

2. 1) z1 1 2i; 2) z2 1 2i; 3) z3 1 2i; 4) z4 2 i.

4. 1) (x 3)2 y2 4, окружность; 2) (x 2)2 ( y 1)2 1, окружность; 3) перпендикуляр, проходящийчерезсередину отрезка i,1 i .

1. 1) 2a ; 2) 0; 3) –12; 4) 29; 5) 87; 6) 4a . 2. 1) 4a3 ; 2) (x y)( y z)(x z) ; 3) 1.

3.1) 0; 2) 0.

4.1) 900; 2)100; 3)132; 4) 52.

5.1) { 4; 1}; 2) –2; 3) –3; 4) { 10;2} ; 5) { 3; 2,5} .

6.1) x 3,5 ; 2) ( 6; 4).

5.3

3) несовместная.

69

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бачурин В.А. Сборник задач по математике. – М.: Высшая школа, 1998. – 559 с.

2.Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики. – М.: Высшая школа,1973. – 576 с.

3.Никольская И.Л. Математическая логика: учебник. – М.: Высшая шко-

ла, 1981. 127с., ил.

4.Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических занятий. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 416 с.: ил.

5.Фомин С.В. Системы счисления. 5-е изд. М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1987. 48 с. (Попул. лекции по мат.)

6.Шауцукова Л.З. Информатика, 10–11. М.: Просвещение, 2004. 420 с., ил.

7.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа,

2003.

70