Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

3. Слагаемое из одной части сравнения можно переносить в другую, если изменить его знак, т. е. если a b c (mod m) , то a

c b (mod m) .

4. К любой части сравнения можно прибавить число, кратное моду-

лю, т. е. из a b (mod m) и 0 mk (mod m) следует a b mk (mod m) ,

b1b2 (mod m) .

6.Сравнение можно возводить в любую натуральную степень, т. е.

если он взаимно прост с модулем, т. е. из ad b d (mod m) и (d, m) 1 следует a b (mod m) .

9. Обе части сравнения и модуль можно умножать на одно и то же натуральное число, т. е. из a b (mod m) следует ak bk (mod mk) .

Задачи

1.Шестизначное число делится на 7. Первую цифру стерли и записали после последней цифры. Докажите, что полученное число также делится на 7.

2.Решите уравнение x2 5y2 2 в целых числах.

3.Оказалось, что среди присутствующих на школьной дискотеке юношей и девушек некоторые знакомы между собой, а некоторые – нет. Когда заиграла музыка, каждая девушка мечтательно посмотрела на каждого из знакомых ей юношей, а каждый юноша мечтательно посмотрел на каждую из незнакомых ему девушек. Всего было 117 мечтательных взглядов. Сколько человек присутствовали на дискотеке, если всего их было не более 40 человек?

4.Решите уравнение в натуральных числах m1 1n 251 , если m n .

21

5.Один мастер делает на длинной ленте пометки синим карандашом от ее начала через каждые 36 см. Другой мастер делает отметки красным карандашом через каждые 25 см. Может ли синяя пометка оказаться на расстоянии 1 см от какой-нибудь красной?

6.Решите сравнение 8x 13 (mod 5).

7.Решите уравнение в целых числах 8x 5y 13 .

3.2. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Метод доказательства некоторого утверждения для любого натурального n основан на следующем принципе: если утверждение верно для n 1 и из справедливости его для n k вытекает справедливость

этого утверждения для n k 1 , то оно верно для всех n (принцип ма-

тематической индукции).

Метод доказательства по индукции состоит из двух этапов:

1)проверить высказанное утверждение для наименьшего значения n, для которого оно имеет место (база индукции);

2)доказать, что если оно верно для k, то оно справедливо и для следующего значения k + 1 (индукционный переход).

Задачи

1. Докажите методом математической индукции: 1) 1 3 5 ... (2n 1) n2 ;

2) 12 22 32 ... n2 n(n 1)(2n 1) ; 6

3) 13 23 33 .... n2 n(n 1)(2n 1) ; 6

4)9n 1(mod8);

5)2n 1 32n 1 0(mod 7);

6)4n 15n 1 0(mod9);

2. Пусть 1, 1, 2,3,5,…, Fn – последовательность чисел Фибоначчи, определяемая рекуррентной формулой Fn 2 Fn 1 Fn , F1 1, F2 1 . Докажите, что F4n делится на 3.

22

ся на 19.

6. В некоторой стране имеется N городов, соединённых друг с другом дорогами с односторонним движением. Докажите, что найдется маршрут, позволяющий объехать все города, начиная с некоторого, не нарушая правил дорожного движения.

3.3. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Позиционная запись числа в системе счисления с основанием p:

anan 1...a1a0 p an pn an 1 pn 1 ... a1 p a0 , 0 ak p 1.

Правило перевода (основание p)

Делим заданное число на основание p; полученный остаток даёт первую цифру первого разряда записи числа в новой системе счисления. Затем делим полученное частное на основание p, возьмём второй остаток; это будет цифра, стоящая во втором разряде, и т. д. Процесс продолжается до тех пор, пока не получим частное, меньшее основания системы. Это частное будет цифрой старшего разряда.

Пример. Перевести число 13 в двоичную систему. 13 = 6 · 2 + 1 – частное 6, остаток 1.

6 = 3 · 2 + 0 – частное 3, остаток 0. 3 = 1 · 2 + 1 – частное 1, остаток 1.

13 (1101)2 . Проверка: 13 23 22 1.

Процедуру удобно представить делением «уголком»:

132

16 2

0 3 2

1 1

23

Задачи

1.Учитель математики на вопрос, много ли у него учеников в классе, ответил: «У меня в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки». Ответ удивил, но потом стало понятно, что учитель пользовался не десятичной системой. Какой?

2.Составьте таблицы сложения и умножения чисел в системе счисления с основанием 2; 5.

3.Переведите число 3287 в систему счисления с основанием 7.

4.Выполните действия: (1101)2 (1011)2 , (101)2 (11)2 , (23651)8

(17043)8 , (423)6 (1341)6 , (352)6 (245)6

5.Запишите в двоичной системе числа 100; 125.

6.Верны ли равенства: (103)5 (11100) 2 , (123)10 (1111011)2 ?

24

ГЛАВА 4

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Число – одно из основных понятий математики. Новые запросы практики и науки постоянно требовали расширения понятия числа. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 году для решения этой задачи предложил ввести числа новой природы. Он называл такие величины «чисто отрицательными», правда, считал их бесполезными и старался не употреблять. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Термин «комплексные числа» был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений, образующих единое целое.

Определение. Комплексным числом z называется пара действительных чисел (x; y) , которую принято записывать в виде x i y , где

i – символ (мнимая единица), который служит для отделения первой компоненты пары от второй.

Запись комплексного числа в виде x i y называется алгебраиче-

ской формой комплексного числа.

Число x – действительная часть комплексного числа z x iy обозначается x Re z ; число y – мнимая часть комплексного числа, обозначается y Im z .

25

равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мни-

мые части, т. е. x1 x2 , y1 y2 .

В частности, комплексное число z x iy равно нулю тогда и

только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю,

т. е. x y 0.

Операции сложения, вычитания, умножения комплексных чисел

определяются из правил сложения и умножения многочленов по формулам:

Примеры

1. Найти сумму и разность чисел z1 2 3i, z2 1 4i.

26

Числа x iy и x iy , отличающиеся знаком перед мнимой частью,

Примеры

1. Вычислить (2 3i)2 .

Решение. (2 3i)2 4 2 2 3i 9 5 12i , так как

3. Разложить на множители b 2 4a2 .

Решение. Применим формулу для вычисления суммы квадратов

двух чисел, получим b2 4a2 (b 2ai)(b 2ai).

4. Представить число 25 в виде произведения двух комплексносопряженных чисел.

Решение. Решение этой задачи неоднозначно. Число 25 можно представить в виде двух слагаемых несколькими способами. Рассмотрим их:

25 16 9 (4 3i)(4 3i); 25 9 16 (3 4i)(3 4i);

Правило деления комплексных чисел: чтобы разделить комплексное число z1 на комплексное число z2 0 , нужно числитель и знамена-

тель дроби z1 умножить на число, сопряжённое знаменателю, т. е. z2

Пример. Выполнить деление 32 43ii .

Решение.

Задачи

1.Найдите значения выражений и запишите ответ в алгебраической форме: