Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

Выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание

X Y X Y

Выражение эквиваленции через дизъюнкцию и отрицание

X Y XY XY .

Некоторые законы алгебры логики

1.X X – закон тождества.

2.X X 0 – закон противоречия.

3.X X 1 – закон исключенного третьего.

4.X X – закон снятия двойного отрицания.

5.X X X , X X X – законы идемпотентности.

Законы двойственности

6.X Y X Y .

7.X Y X Y .

Задачи

1.В кафе встретились три друга: математик Белов, физик Рыжов, химик Чернов.

–Замечательно, что один из нас имеет чёрные, один белые и один рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того цвета, на которые указывает его фамилия, – заметил черноволосый.

–Ты прав, – сказал Белов.

Какой цвет волос у каждого из друзей?

2.Математик попал в плен к дикарям и был заключён в пещеру, имеющую два выхода. Вождь дикарей предложил математику следующий шанс на спасение: «Один выход ведёт на свободу, другой – на верную смерть. Ты можешь выбрать любой. Сделать твой выбор тебе помогут два моих воина, одному из которых ты можешь задать единственный вопрос. Но предупреждаю тебя, что один из этих воинов всегда говорит правду, а другой лжёт». После некоторого размышления математик задал вопрос, ответ на который позволил ему выйти на свободу. Что это был за вопрос?

3.Обвиняемые А, В, С дали показания:

А: «В виновен, а С невиновен»; В: «А невиновен, или С виновен»;

С: «Я невиновен, но хотя бы один из А или В виновен».

11

Совместимы ли эти показания, т. е. могут ли они быть истинными одновременно? Предполагая, что эти показания правдивы, определите, кто виновен.

4.На вопрос, кто из трёх студентов изучал логику, был получен ответ: если изучал первый, то изучал и третий, но не верно, что если изучал второй студент, то изучал и третий. Кто изучал логику?

5.Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

1) Сергей – первый, Роман – второй;

2) Сергей – второй, Виктор – третий;

3) Юрий – второй, Виктор – четвёртый.

Как распределились места, если в каждом из ответов только одно утверждение истинно?

6.В школе четырём старшеклассникам: Андрееву, Костину, Савельеву и Давыдову поручили убрать 7-й, 8-й, 9-й, 10-й классы. При проверке оказалось, что 10-й класс убран плохо. Не ушедшие домой ученики сообщили следующее:

1) Андреев: «Я убирал 9-й класс, а Савельев – 7-й». 2) Костин: «Я убирал 9-й класс, а Андреев – 8-й». 3) Савельев: «Я убирал 7-й класс, а Костин – 10-й».

Давыдов уже ушёл домой. В дальнейшем выяснилось, что каждый ученик в одном из двух высказываний говорил правду, а во втором – ложь. Какой класс убирал каждый ученик?

7.Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике», Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что был «Форд», но ни в коем случае не синий. Стало известно, что желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо марку машины, либо только её цвет. Какого цвета и какой марки был автомобиль?

8.Полиция задержала четырёх гангстеров, подозреваемых в краже автомобиля: Анри, Луи, Тома и Жоржа. При допросе они показали:

Анри: «Это был Луи». Луи: «Это сделал Том». Жорж: «Это не я». Том: «Луи лжет, говоря, что это сделал я».

Дополнительное расследование показало, что правду сказал один из них. Кто украл машину?

12

9.В некотором царстве-государстве повадился Змей Горыныч разбойничать. Послал царь четырёх богатырей погубить Змея, а награду за то обещал великую. Вернулись богатыри с победой, и спрашивает их царь: «Так кто же из вас главный победитель, кому достанется царёва дочь и полцарства?» Засмущались добры молодцы и ответы дали туманные.

Сказал Илья Муромец: «Это все Алёша Попович, царь-батюшка». Алёша Попович возразил: «То был Микула Селянинович». Микула Селянинович: «Не прав Алёша, не я это».

Добрыня Никитич: «И не я, батюшка».

Подвернулась тут баба Яга и говорит царю: «А прав-то лишь один из богатырей, видела я всю битву своими глазами».

Кто же из богатырей победил Змея Горыныча?

10.«Моя твоя не понимать». На конгрессе встретились четверо учёных: физик, биолог, историк и математик. Национальности их были различны, и хотя каждый из учёных владел двумя языками из четырёх (русский, английский, французский, итальянский), не было такого языка, на котором они могли бы разговаривать вчетвером. Был только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из учёных не владел русским и французским языками одновременно. Хотя физик не говорит по-английски, он может быть переводчиком, если биолог и историк захотят поговорить друг с другом. Историк говорит по-русски

иможет говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик не могут беседовать втроём на одном языке.

Какими двумя языками владеет каждый из учёных?

11.В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов:

Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что:

1)Смит самый высокий;

2)играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

3)играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

4)когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

5)Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

12. Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал вра-

13

чом, другой – физиком, а третий – юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего – регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

13. Три дочери писательницы Дорис Кей – Джуди, Айрис и Линда тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств: пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

1)Джуди живет не в Париже, а Линда – не в Риме;

2)парижанка не снимается в кино;

3)та, что живет в Риме, певица;

4)Линда равнодушна к балету.

Определите профессию и место проживания каждой дочери.

14.При составлении расписания уроков на понедельник были высказаны следующие пожелания: чтобы математика была первым или вторым уроком, физика – первым или третьим уроком, литература – вторым или третьим уроком. Можно ли удовлетворить одновременно всем высказанным пожеланиям?

15.Заполняя бланк ответов одной из задач ЕГЭ, ученик обнаружил, что если верен ответ A , то верен ответ B . Если ответ C не верен, то

не верен ответ B . Если ответ B не верен, то не верны ответы D и E . Как обычно, верным является только один из ответов. Какой именно? (Решение обоснуйте.)

16. Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

–Вот увидишь, Шумахер не придёт первым, – сказал Джон. Первым будет Хилл.

–Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, – воскликнул Ник. – А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

–Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались не верны. Кто выиграл этап гонки?

14

17.На берегу реки находятся три хозяина, у каждого из которых имеется по одному слуге-людоеду. В отсутствие слуги хозяина съедают другие людоеды. Как им следует действовать, чтобы всем перебраться на другой берег, имея в распоряжении лодку вместимостью не более двух человек? (Указать схему перевозок.)

18.У Винни-Пуха было 4 запечатанных горшочка с мёдом. На каждом была написана масса горшочка вместе с мёдом: 1 кг, 3 кг, 6 кг и 8 кг. На день рождения ему принесли килограмм орехов. Винни-Пух распечатал один из горшочков, засыпал туда орехи, снова запечатал, а отметить этот горшочек забыл. Не распечатывая горшочков, помогите Винни-Пуху найти горшочек с орехами за два взвешивания на чашечных весах без гирь.

2.2. ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ

Функцией проводимости называется логическая переменная, равная единице, если схема проводит ток, и равная нулю, если не проводит. Она зависит от логических переменных, соответствующим переключателям схемы.

Таблица функций проводимости простейших переключательных схем

Задачи

1.Напишите функцию проводимости цепи F(x, y, z) и упростите переключательную схему (x – включено, x – выключено).

х у

у х

2. Построите схему с четырьмя переключателями, которая проводит ток в том и только в том случае, когда замкнуты ровно три из этих переключателей.

16

3. Спроектируйте электрическую схему для спальни с одной лампочкой, позволяющей включать верхний свет любым из двух выключателей, один из которых находится при входе в комнату, а другой – над постелью. При этом поворот каждого выключателя независимо от состояния второго размыкает цепь, если она была замкнута, и замыкает цепь, если она была разомкнута.

2.3. КВАНТОРЫ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА

Для сокращения записи математических выражений используются кванторы.

x( (x)) означает «для любого x Ф(х) истинно».

x( (x)) означает «существует x такое, что (x) истинно».x( (x)) равносильна x( (x)) .

x( (x)) равносильна x( (x)) .

Правило: для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора ( ) , достаточно заменить его на ( )

и взять отрицание предложения, стоящего за квантором.

Задачи

1. Запишите утверждения и определения, используя кванторы и математические символы:

1)«Функция y 2x положительна при любом значении аргумен-

та»;

2)«Функция y 2x принимает любое положительное значение»;

3)«Последовательность an ограниченна»;

4)«Последовательность an неограниченна»;

5) «Функция f (x) называется непрерывной в точке x x0 , если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех x из -окрестности точки x0 выполнено неравен-

ство | f (x) f (x0 ) | »;

6) «Функция f (x) имеет максимум в точке x x0 , если найдётся

положительное число такое, что для всех x из -окрестности точки x0 выполнено неравенство f (x) f (x0 ) »;

17

7) «Функция f (x) имеет минимум в точке x x0 , если найдётся

положительное число такое, что для всех x из -окрестности точки x0 выполнено неравенство f (x) f (x0 ) »;

8) «Функция f (x) называется чётной, если область её определения

симметрична относительно начала координат и для каждого x из области определения выполняется равенство f (x) f ( x) »;

9) «Функция f (x) называется периодической, если существует та-

кое положительное число Т, что для любого числа х из области определения f (x) числа x T и x T входят в область определения и вы-

полняется равенство f (x T ) f (x) ».

2. Сформулируйте и запишите с помощью кванторов и математических символов определение минимума функции f (x) , монотонно

возрастающей функции на множестве М; 3. Постройте отрицание утверждений:

а) x(P(x) Q(x)) ;

б) x(Q(x) P(x)) .

4. Выясните смысл записи:

а) ( x R)( y R)(x y 0) ; б) ( y R)( x R)(x y 0) .

2.4. КЛАССИФИКАЦИЯ МНОЖЕСТВ ПО ОСНОВАНИЯМ

Пусть U – множество, элементы которого классифицируются.

P(x), Q(x), ..., R(x) свойства (основания), по которым происхо-

дит классификация.

Примеры.

U P(x) P(x) – классификация по одному основанию.

U PQ PQ PQ PQ – классификация по двум основаниям.

Правильная классификация по n основаниям обладает свойствами:

1)пересечение любых двух классов пусто;

2)объединение всех классов равно множеству, элементы которого классифицируются.

Правильная классификация даёт 2n классов (некоторые классы могут быть пустыми).

18

число x делится на 5, R(x) – число x делится на 6. Классифицируйте множество U по основаниям P, Q, R .

3.Классифицируйте множество треугольников по основаниям: «быть прямоугольным треугольником» и «быть равнобедренным треугольником».

4.Сколько пустых классов получится при классификации множества треугольников по основаниям: «прямоугольный треугольник», «тупоугольный треугольник», «остроугольный треугольник»?

5.В олимпиаде участвовали 50 человек: 30 человек решили арифметическую задачу; 10 человек – геометрическую задачу; 9 человек – логическую задачу; 7 человек решили арифметическую и логическую задачи; 3 человека решили арифметическую и геометрическую задачи; 4 человека решили логическую и геометрическую задачи; 2 человека решили все три задачи. Сколько человек решили:

1) только арифметическую задачу;

2) только геометрическую задачу;

3) только логическую задачу;

4) арифметическую или геометрическую задачу; 5) арифметическую и логическую задачи, но не решили геометри-

ческую задачу; 6) арифметическую задачу, если решили логическую задачу;

7) логическую задачу тогда и только тогда, когда решили геометрическую задачу;

8) не решили ни одной задачи?

19

ГЛАВА 3

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Теория чисел – раздел математики, в котором изучаются свойства чисел. Основной объект теории чисел – натуральные числа. Главное их свойство – делимость. В теории чисел используют аналитический, геометрический методы, но классическим является метод сравнений.

3.1. СРАВНЕНИЯ

Каждое целое число a можно разделить на натуральное число n с остатком, т. е. представить его в виде a nq r , где q (частное) и r

(остаток) – целые числа и 0 r n .

Определение. Если два целых числа a и b при делении на натуральное число m дают один и тот же остаток r, так что a mq r ,

b mq1 r, 0 r m , то они называются равноостаточными или

сравнимыми по модулю m, т. е. a b (mod m) .

Например: 57 37 (mod 5) ; 21 0 (mod 3) .

Основные свойства сравнений

1. Соотношение сравнимости:

a) рефлексивно, т. е. из a b следует a b (mod m) (равные числа сравнимы по любому модулю);

б) симметрично, т. е. из a b mod m следует b a (mod m) ;

2. Сравнения с одним и тем же модулем можно почленно склады-