Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

AE E A A .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Выполним проверку:

z2 (3 2i) 2 9 4 12i 5 12i.

Замечание.

Корень

квадратный

из

комплексного

числа, т. е.

a bi , имеет два взаимно противоположных значения.

Перейдем к решению квадратных уравнений.

Уравнение

вида a z2 b z c 0 ,

где

a 0, a, b, c

как действи-

тельные, так и комплексные числа, решается по формулам:

4ac

(1)

1,2

где b2 4ac D – дискриминант;

(2)

1,2

где b 2k.

z k

k 2 c ,

(3)

1,2

еслиa 1, b 2k.

Корни уравнения a z2 b z c 0

могут быть как действительны-

ми, так и комплексными. Для комплексных корней также справедлива теорема Виета и формула разложения левой части на множители.

Если z	и	z	2	– корни уравнения a z2 b z c 0 , то:
1			2
1) z z	2	b ;			2) z z			2	c	;
1) z z		b ;			2) z z					;
1				a	1				a
3) a z2 b z c a (z z )(z z						2	) .
					1	2
Примеры. Решить уравнения.
1. z2 4 0 .
Решение.				Разложим левую часть уравнения на множители, по-

лучим (z 2i)(z 2i) 0 , откуда z1 2i, z2 2i .

Ответ: 2i.

2. z2 3 4i 0 .

Решение.

Представим уравнение следующим

образом:

z2 3 4i,

откуда z

3 4i. Пусть

z x i y, где

x, y R , тогда

x i y

3 4i. Возведём обе части уравнения в квадрат и приме-

ним условие равенства двух комплексных чисел

(x i y)2

3 4i,

x2 y2 2ixy 3 4i. Составим систему уравнений:

x2 y2 3,

4 0.

2xy

2 ;

Решив уравнение, найдем x2 1, x2 4. Второе значение не под-

ходит, так как x R. Итак, x1 1, тогда y1 2, x2 1, тогда y2 2 .

Получим z1 1 2i, z2 (1 2i).

Проверим: z2 (1 2i) 2 1 4 4i 3 4i.

Ответ: (1 2i).

		Задачи
1.	Выполните действия:
1)	i; 2) 40 ; 3)	3 4i; 4)	7 i 15 .
2.	Решите уравнения:

1)3x2 11 x 11 0 ;

2)4x2 4x 17 0 ;

3)2z2 (5 i) z 6 0 ;

4)z2 8z 3i z 13 13i 0 .

3. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни:

1) x 2 5i ; 2) x 1 4i 5				; 3) z 3 2i,		z	2	2 3i ;
	1	1	3		1		2
	1 4i		3	2 i
4)	1 4i	5 ; 5) 2 i, 3 2i; 6)		2 i	, 1 i .
	2			1 i
			32

4.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Всякое	комплексное	число z x i y
можно изобразить точкой		M (x; y) на плос-
кости Oxy	такой, что	x Re z, y Im z.

И, наоборот, каждую точку M (x; y) коорди-

натной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z x i y .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс

называется действительной осью, так как на ней расположены действительные числа z x 0i x. Ось ординат называется мнимой осью, на

ней расположены чисто мнимые комплексные числа z 0 i y.

Комплексное число		z x i y можно задавать с помощью радиуса-
					называется модулем ком-
вектора r OM (x; y) . Длина вектора r
плексного	числа и	обозначается	z	.	По	теореме	Пифагора

z x2	y2 , т. е. z	– расстояние от точки				z (x i y)	до начала

координат. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r называется аргументом комплексного числа и обозначается Arg z или .

Аргумент комплексного числа z 0 – величина многозначная и определяетсясточностьюдо слагаемого 2 k, k Z : Arg z arg z 2 k ,

где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке

; или 0; 2 .

Задачи

1.Изобразите комплексные числа: 2i, 5 3i, 2 i, 4 0,5i.

2.Пусть z 1 2i . Запишите и постройте следующие точки:

1)z1 – симметричную относительно точки O;

2)z2 – симметричную относительно оси Ox;

3)z3 – симметричную относительно оси Oy;

4)z4 – симметричную относительно прямой y x.

3. Выясните геометрический смысл и постройте заданные множества точек на комплексной плоскости. Запишите уравнения в декартовой прямоугольной системе координат:

3; 2)

z 3

2 ; 3)

z 2 i

1 ; 4)

z 1

z 1 i

4. Изобразите на комплексной плоскости множество точек, заданных уравнением или неравенством:

z 2 i

3 ;

z 1 i

3 ;

z 2

2 z

;

z 1

0 arg z

;

2 Im z .

z 1

4.4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ И ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМЫ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Положение точки z x i y на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x, y , но и поляр-

ными r, , где r z , – угол между дей-

ствительной осью и вектором z .

Так как x r cos , y r sin , tg xy , то любое комплексное число z 0 можно пред-

ставить в виде z r(cos isin ).

Запись комплексного числа z в виде z r(cos isin ) , где r 0 , называется тригонометрической фор-

мой комплексного числа.

Так как комплексное число может быть расположено в любой из координатных четвертей, то главное значение аргумента находят по правилу:

	y	, если x 0, (I, IV четверти);
arctg
	x

	y

arg z arctg		, если x 0,		y 0, (II четверть);
	x

	y	, если x	0,	y 0, (III четверть).
arctg
	x

		34

Если

1, arg z ,

то

имеем z cos isin . Комплексное число

cos isin обозначается символом

ei , т. е.

ei cos i sin . То-

гда любое комплексное число z 0

можно представить в виде z r ei .

Запись комплексного числа в виде z r ei ,

где r

, называется

показательной формой комплексного числа.

Рассмотрим операции с комплексными числами в тригонометриче-

ской форме.

z1 r1(cos 1 i sin 1) ,

Пусть даны два

комплексных

числа

z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) , тогда

z1 z2 r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) ,

(4)

cos(

) isin(

) ,

(5)

zn rn (cos n i sin n )

– формула Муавра.

(6)

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w , n-я степень которого равна z , т. е.

wn z , где n – натуральное число.

Для любого натурального числа n и любого комплексного числа z r(cos isin ) , где z 0 , существует n различных значений кор-

ня n-й степени, которые находятся по формуле

	2 k	i sin	2 k		(7)
n z n r cos	n		n	,

где k 0,1, 2, ..., n 1, n N.
Можно показать, что все	n z значения являются вершинами пра-
вильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса					n r , значе-

ния аргументов соседних точек отличаются на 2n .

Правило вычисления n z

1. Изобразить в некоторой декартовой прямоугольной системе координат окружность радиуса n r .

2.Провести луч 0 n (построить угол 0 ).

3.Разделить окружность на n равных частей, начиная от точки пе-

ресечения луча n с окружностью.

4. Найти абсциссы и ординаты полученных точек. Они будут соответственно действительной и мнимой частями значений n z .

Пример. Вычислить w 3 1 .

Решение. 1, 0, 0 0, n 3, 2 2 , аргументы двух «со- n 3

седских» чисел отличаются 23 .

w 1 0i 1, w 1			i	3	, w 1		i	3	.

0	1	2	2		2	2	2

Изобразим полученные числа на комплексной плоскости. Очевидно, что все они будут лежать на окружности радиуса 1 и образовывать правильный треугольник.

Ответ: Вычислить w 3 1 .

Задачи

1. Изобразите комплексное число на плоскости, найдите модуль и аргумент. Запишите его в тригонометрической и показательной форме.

1) z 1 3 i ; 2) z 1 i ; 3) z 3 3 3 i ; 4) z i 2 ; 5) z 5i .

2. Изобразите комплексное число на плоскости, найдите модуль и аргумент. Запишите его в алгебраической и показательной форме.

1)	z 3		2	isin	2	; 2)	z 2			isin		;
1)	z 3	cos	3	isin	3	; 2)	z 2	cos	3	isin	3	;
			3		3				3		3
							36

3)	z	2			3	i sin		3
3)	z	2	cos		4	i sin		4	.
					4			4
3. Выполните действия:
1)	3	cos150 isin150								3 cos120 isin120 ;
1)	2	cos150 isin150								3 cos120 isin120 ;
	2			11			11				3		3
2)	2			11	isin		11		8		3	isin	3	;
2)	2	cos		4	isin		4		8	cos	8	isin	8	;
				4			4				8		8

3)3 cos120 isin120 : cos15 isin15 ;

4)4 cos310 isin 310 : 2 cos105 isin105 ;

			3 i		6	i			3	6
5)										;
5)										;
			2					2
			2					2
6)			i 1				.
6)		cos		isin			.
			3			3
4. Выполните действия и результат изобразите геометрически:
1)	3 1;				2) 4 7 24i;					3) 6 1; 4) 2 2 3 i.

5. Решите уравнения:

1)x3 1 0 ;

2)(x2 x 1)(x2 x 2) 12 ;

3)z2 (8 3i) z 13(1 i) 0 .

6. Используя формулу Муавра, выведите формулы двойного и тройного угла для синуса и косинуса.

ГЛАВА 5

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей.

5.1. МАТРИЦЫ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

a11		a12	a1n
a		a	a		,
A	21	22	2n

a		a	a
	m1	m2	mn
aij – элемент матрицы; i – номер строки;			j	– номер столбца; m n –

размер матрицы.

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n n .

Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица

C того же размера, причем cij aij bij

1		2	0		1	1		1
Пример.	3	4		3	2		0	6	.

Произведением матрицы A на число называется матрица, у ко-

торой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы A на число .

1		5	3		15
Пример. 3	2	4		6	12	.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда

число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матриц A и B (размеров m n и n k соответ-

ственно) называется матрица C размера m k , у которой элемент cij

равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A и j -го столбца матрицы B .

	a11	a12	b11		b12
	a	a	b		b
	21	22		21	22
a11b11 a12b21		a11b12		a12b22		с11

	a22b21	a21b12		a22b22			с21
a21b11	a22b21	a21b12		a22b22			с21

с12 .

Пример. Найти произведения матриц AB и BA, если
1		2		0		2		4
				0		2		4
A	3	4	, B		1	3		.
	5	6			1	3		2
	5	6
Решение
		1	2	0	2		4
AB				0	2		4
AB		3	4			3	2
		5	6	1		3	2
		5	6

1 0 2 1			1 ( 2) 2 3		1 4 2 2				2 4		8
	3 0	4 1	3 ( 2) 4 3		3 4 4			2		4 6	20	;
	3 0	4 1	3 ( 2) 4 3		3 4 4			2		4 6	20	;
	5 0	6 1	5 ( 2) 6 3		5 4 6			2		6 8	32
	5 0	6 1	5 ( 2) 6 3		5 4 6			2		6 8	32
			0	2	4	1		2
			0	2	4		3	4
			BA	3	2		3	4
			1	3	2		5	6
							5	6
				39

0 1 ( 2) 3 4 5		0 2 ( 2) 4 4 6	14		16
	1 1 3 3 2 5	1 2 3 4 2 6		20	26	.

Заметим, что AB BA , т. е. умножение матриц не обладает перестановочным свойством.

Единичной матрицей называется такая квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули.

Транспонированной к матрице A называется матрица AT , у которой все строки заменены соответствующими столбцами.

								2		5
Пример.			Матрица				T		1	0		является транспонированной к
Пример.			Матрица			A			1	0		является транспонированной к
									3	7
									3	7
матрице A 2				1	3	.
			5	0	7
									Задачи
1. Даны матрицы					A		0 3			3			2 1 1
1. Даны матрицы					A			2		1	,	B	.
							5	2		1			3 2 1
Найдите: 1)				3A 2B;			2)	A B ;			3) 2A 4B ; 4) матрицу X в уравне-
нии 3A 2X B .
2. Найдите выражение								A E ,				где	E – единичная матрица,
2		1	2
	5	3	3
A	5	3	3	.
	1	0
	1	0	2
										40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]