Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

Задачи

1.Решите системы уравнений методом Гаусса:

5.4. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы – выяснить, определенна она или нет. При исследовании систем используют понятие ранга матрицы.

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Обозначают r(A) или rang(A) .

51

Один из способов вычисления ранга матрицы основан на том, что при выполнении элементарных преобразований ранг матрицы не изменяется. Чтобы найти ранг матрицы A с помощью элементарных преобразований, строки приводят к ступенчатому (треугольному) виду. Количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы и есть искомый ранг матрицы A .

Исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы уравнений дает теорема Кронекера–Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен

рангу расширенной матрицы системы: r( A) r( A) . При этом возможны три варианта.

1.Еслиr( A) r( A) , то система несовместна.

2.Если r( A) r( A) n (где n – число неизвестных), то система совместна и определённа (имеет единственное решение).

3.Если r( A) r( A) n , то система совместна и неопределённа, т. е.

имеет бесконечное множество решений.

Примеры. Исследовать систему на совместность и решить ее, если она совместна.

х1 2x2 2х3 3,

1)5х1 2х2 1,6х1 2х3 2,

Число ненулевых строк матрицы А равно 2, а расширенной матрицы А равно 3.

Так как r( A) r( A) , то система несовместна.

52

х1 х2 2х3 х4 х5 1,

2)3х1 х2 х3 4х4 3х5 4,х1 5х2 9х3 8х4 х5 0,

решений бесконечное множество.

53

Задачи

1.Исследуйте систему и в случае совместности найдите решение.

x 2 y z 4,

1)2x y 3z 3,3x z 2;

2x1 7x2 3x3 x4 6,

2)3x1 5x2 x3 2x4 4,9x1 4x2 x3 7x4 2;

3x1 5x2 2x3 4x4 2,

3)7x1 4x2 x3 3x4 5,5x1 7x2 4x3 6x4 3.

54

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

ГЛАВА 1

1.1

3. Ответы на рисунках 2 (а–г).

а) X1 A B C ;

б) X2 (A B) (A C) (B C) (A B C) ;

в) X3 (A B) ( A C) (B C) \ ( A B C) ;

г) X4 A B C ;

д) X5 (A \ (B C)) (B \ (A C)) (C \ (A B)) .

Рис. 2, г Рис. 2, д

4. A – множество неравнобедренных треугольников;

B – множество непрямоугольных треугольников;

A B – множествопрямоугольных равнобедренных треугольников; A \ B – множествопрямоугольных неравнобедренныхтреугольников; B \ A – множествонепрямоугольныхравнобедренныхтреугольников.

55

1.2

2. 10 %. 3. 5. 4. Указание. Оценить N ( A B C) . 5. 66. 6. 6; 14.

7. Покажите, что N (A B C) 0 . 8. 1) 37, 2) 22, 3) 0, 4) 5, 5) 27,

6)13.

9.а) 266. б) 734.

Решение пункта а).

Пусть A, B, C – множества чисел, делящихся соответственно на 2, 3, 5.

где x обозначает целую часть числа x . По формуле включений и исключений

N(A B C) 500 333 200 166 100 66 33 734 .

N ( A B C) N N ( A B C) 1000 734 266 .

ГЛАВА 2

2.1

1. Последовательно строим таблицы истинности в виде матрицы, где в левом столбце отметим цвет волос, а в верхней строке – фамилии друзей.

1) Цвет волос не соответствует фамилии, следовательно, на главной диагонали ставим нули. 2) Белов – не черноволосый, поэтому на пересечении букв «Б» и «ч» ставим нуль. 3) В первом столбце, соответствующем фамилии Белов, остаётся свободной одна клетка, в ней ставим единицу. Значит, у Белова – рыжие волосы. 4) В каждой строке

56

и столбце должна стоять одна единица, заполняем таблицу. Итак, у Белова – рыжие, у Рыжова – чёрные, у Чернова – белые волосы.

2. Пусть X означает «Выход ведёт на свободу», а Y – «Ты правдив». Искомый вопрос F должен быть таков, чтобы на него был дан ответ «да» в том и только том случае, когда выход ведёт на свободу.

Составим таблицу.

Столбцу F таблицы соответствует формула XY XY , равносиль-

ная X Y . Искомый вопрос: «Правда ли, что этот выход ведет на свободу тогда и только тогда, когда ты правдив?».

3. Решение. Пусть высказывания А, В, С означают, что виновен со-

4. Введём высказывания: x – {первый студент изучал логику}, y – {второй студент изучал логику}, z – {третий студент изучал логику}.

Условия задачи запишутся в виде:

конъюнкцию высказываний:

(x z)( y z) 1 (x z)( y z) (x z) yz xyz zyz xyz .

студент.

5. Поскольку в каждом из ответов одно утверждение истинное, истинной будет их дизъюнкция:

C1 P2 1, C2 B1 1, Ю2 B4 1 .

Составим конъюнкцию высказываний и выполним равносильные преобразования:

(C1 P2 )(C2 B1)(Ю2 B4 ) 1 .

(C1 P2 )(C2 B1)(Ю2 B4 ) 1

(С1С2 P2C2 C1B3 P2B3 )(Ю 2 B4 ) С1С2Ю2

P2C2Ю2 C1B3Ю2 P2B3Ю2 С1С2B 4 P2C2B 4

C1B3B 4 P2B3B4 C1B3Ю2 1.

Отсюда P4 1 , и места распределились так: Сергей – первый, Юрий –

второй, Виктор – третий, Роман – четвертый.

6. Обозначим фамилию ученика с индексом внизу, равным номеру убранного класса. Сообщения учеников с учетом ложности одного и истинности другого высказывания будут иметь вид

(К9 С7 )(К9 А8 )(С8 К10 ) 1

(А9К9 С7К9 А9А8 С7А8 )(С8 К10 )

N7 N8К9 С7С8А8 С7К9К10 С7А8К10 С7А8К10 1 .

Следовательно, Д9 1. Андреев убирал 8-й класс, Костин – 10-й, Савельев – 7-й, Давыдов – 9-й.

58

7. Обозначим высказывания: p = {машина синего цвета}, q = {машина марки «Бьюик»}, r = {машина чёрного цвета}, s = {машина марки «Крайслер»}, t = {машина марки «Форд»}.

Из показаний Брауна, Джонса и Смита следует, что высказывания

Конъюнкция этих высказываний также будет истинной, т. е. ( p q)(r s)( p t) 1

prp prt psp pst qrp qrt qsp qst .

Однако все конъюнкции, кроме qrp , ложны. Следовательно, qrp 1 , q 1, r 1 , т. е. преступники скрылись на черном «Бьюике».

8. Пусть высказывание N означает, что машину украл человек, имя которого начинается с N. Результат допроса и дополнительного расследования можно выразить так: дизъюнкция показаний будет истин-

ной: Л Т Ж Т ≡1.

Поскольку истинно только одно показание, то ложны все осталь-

ные. Высказывания Т или Т истинны, и значит Л – ложно и Ж – ложно, следовательно, Ж – истинно.

Ответ: машину украл Жорж.

9.Добрыня Никитич.

10.Ответ представлен в таблице истинности.

Результат упрощений приводит к равносильной дизъюнкции М1Л2Ф3 Ф1М2 Л3 . Члены дизъюнкции показывают, что можно со-

ставить даже два различных расписания уроков по предметам, отвечающих высказанным пожеланиям.

15. Верным является ответ C.

Решение. Конъюнкция ( A B)(C B)(B DE) 1. Выражая им-

пликацию через дизъюнкцию и отрицание и выполнив равносильные преобразования, получим

( A B)(C B)(B DE) ADE(C B) 1.

ADE 1,

Следовательно, A 0, B 0, C 1, D 0, E 0 , иначе,

C B 1,

если C 0 , то B 1 и B 0 , и все ответы будут неверными.

16. Пусть высказывание N означает, что победил гонщик, фамилия которого начинается с N.

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание:

(SX )(SA) X (SX )(SA) X (SX )(SA)X (S X )SAX SAX 1.

60