Математика. Сборник задач для учащихся школы развития НГТУ. Учебное пособие

Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы a11, a22 составляют главную

диагональ определителя, а элементы a21, a12 – его побочную диаго-

наль. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое равенством

a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12a21a33 .

Чтобы запомнить правило вычисления определителя, используем правило треугольников:

Если в определителе вычеркнуть строку и столбец, на пересечении которых находится некоторый элемент aij , то полученный в результа-

те определитель называется минором и обозначается Mij . Алгебраическим дополнением Aij любого элемента определителя

называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элементaij ,

43

есть число чётное, и с противоположным знаком, если это число нечётное. Следовательно,

Aij ( 1)i j Mij .

Основные свойства определителей третьего порядка

1.Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причём каждую строку заменить столбцом с тем же номером. Это свойство выражает равноправность строк и столбцов.

2.При перестановке двух строк (или столбцов) местами, определитель меняет знак на противоположный, сохраняя абсолютное значение.

3.Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4.Если все элементы какого-либо столбца (или строки) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5.Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

6.Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.

1( 1 6) 2( 2 9) 0 19 .

44

б) Вычислим определитель по правилу треугольников:

0 2 2 0 1 3 1 2( 3) ( 1)( 2) 2 1 18 0 0 6 4 19.

Задачи

1.Вычислите определители:

45

ных; x , y , z – получены из заменой столбцов коэффициентов при х, у, z соответственно на столбец свободных членов. При этом, если:

1)0, система имеет единственное решение:

xx ; y y ; z z – формулы Крамера;

2)x y z 0 , система не имеет решений или имеет бес-

конечное множество решений;

3) = 0 и хотя бы один из x , y , z отличен от нуля, то система

решений не имеет.

Пример. Решить систему линейных уравнений

3x 2 y z 5,x y z 0,

4x y 5z 3.

Решение. Вычислим определитель системы, используя правило треугольника:

Так как 0 , то система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера.

Ответ: x 1, y 3, z 2.

Задачи

1.Решите системы уравнений, используя формулы Крамера:

2. Определите, при каких значениях a и b система

3x 2 y z b,5x 8y 9z 3 ,

2x y az 1:

1)имеет единственное решение;

2)не имеет решений;

3)имеет бесконечно много решений.

Метод Гаусса. Одним из наиболее универсальных методов решения линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных. Этот метод может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Рассмотрим процесс решения на примере.

48

Практически удобно приводить к ступенчатому виду не саму систему, а матрицу (таблицу чисел), составленную из коэффициентов при неизвестных и свободных членах (расширенную матрицу), обо-

значаемую A . Для этого применяют элементарные преобразования.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следую-

щие операции.

1.Перестановка строк местами.

2.Умножение всех элементов какой-либо строки матрицы на одно

ито же число, отличное от нуля.

3.Прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

4.Отбрасывание строк матрицы, все элементы которых равны ну-

лю.

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А (обозначение

В ~ А).

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса