Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
Г.А. КУЗИН
МАТЕМАТИКА
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ ПРОФИЛЬНОГО УРОВНЯ ЕГЭ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
для учащихся Инженерного лицея НГТУ
НОВОСИБИРСК
2017
УДК 51(076.1) К 89
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Чередниченко учитель математики высшей квалификационной категории Н.В. Мордвинова
Работа подготовлена на кафедре инженерной математики
Кузин Г.А.
К 89 Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ: учебное пособие / Г.А. Кузин. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. 72 с.
ISBN 978-5-7782-3146-7
Задачи экономического содержания профильного уровня ЕГЭ требуют знания различных методов их решения. В учебном пособии приведены типовые примеры задач с подробными решениями. Ко всем задачам даны ответы или указания к решению.
Пособие предназначено для учащихся 10 и 11 классов Инженерного лицея НГТУ и может быть использовано на аудиторных занятиях, а также при подготовке к ЕГЭ по математике.
|
УДК 51(076.1) |
ISBN 978-5-7782-3146-7 |
© Кузин Г.А., 2017 |
|
© Новосибирский государственный |
|
технический университет, 2017 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение.................................................................................................................. |
4 |
|
§ 1. Сложные проценты.......................................................................................... |
6 |
|
§ 2. |
Примеры задач с использованием понятия «процент»................................ |
7 |
§ 3. |
Примеры решения задач из тренировочных вариантов ЕГЭ |
|
|
и других источников ..................................................................................... |
15 |
§ 4. |
Задачи из тренировочных тестов ЕГЭ ......................................................... |
32 |
§ 5. |
Задачи для самостоятельного решения........................................................ |
43 |
Ответы, указания к решению задач из тренировочных тестов........................ |
53 |
|
ВВЕДЕНИЕ
В структуре задач ЕГЭ профильного уровня по математике произошли изменения, в частности появилась текстовая задача экономического содержания. В этих заданиях усилена сюжетная, практикоориентированная составляющая условия. В формулировке задач присутствуют такие термины, как кредит, банковский процент, ипотека, дивиденды и другие, экономический смысл которых изучает не математика, а другие дисциплины. Нас же интересует математическая сторона, т. е. как эти экономические понятия влияют на ту или иную величину и как они отражаются при переводе условий задачи на математический язык уравнений, неравенств и т. д.
Необходимый и важнейший этап решения задачи формализация, составление математической модели задачи. Можно отметить следующие этапы:
введение переменных;
перевод условий задачи в уравнения или неравенства;
решение уравнения (системы);
нахождение значения искомой величины и запись ответа. Следует отметить, что одна и та же задача может быть успешно
сведена к различным математическим моделям (вычислительной, числовой, алгебраической, функциональной, геометрической, ...) и доведена до верного решения. Многие задачи сводятся к использованию дискретных моделей (начисление процентов, погашение кредитов, …).
Математическая модель некоторых задач состоит в нахождении максимума линейной целевой функции при различных ограничениях на переменные (обычно линейных). В ряде задач имеется дополнительное требование целочисленности переменных.
При составлении математической модели полезно использовать иллюстрирующий чертеж или таблицы. В некоторых ситуациях выражение для искомой величины удобно довести до конечного ответа
4
в буквенном виде, а затем подставить числовые значения. Это позволит избежать возможной вычислительной ошибки в промежуточных вычислениях, которая может привести к неверному ответу и снижению балла за решение задачи.
В пособии приведены типовые задачи из ЕГЭ прошлых лет, задачи из тренировочных тестов и других источников. Целью рекомендаций является знакомство учащихся с этими задачами, приемами и методами их решения. Разобраны типовые примеры, ко всем задачам даны ответы или пояснения к решению.
Для ознакомления приведем табл. 1 критериев оценки решения таких задач.
Таблица 1 |
|
|
|
Содержание критерия |
Баллы |
|
|
Обоснованно получен верный ответ |
3 |
|
|
Верно построена математическая модель, решение сведено к ис- |
|
следованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычисли- |
|
тельной ошибки |
|
ИЛИ |
|
получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано |
2 |
Верно построена математическая модель и решение сведено |
|
к исследованию этой модели, при этом решение не завершено |
1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечислен- |
|
ных выше |
0 |
Максимальный балл |
3 |
Несколько советов. Стремясь извлечь из своих усилий максимальную пользу, старайтесь подметить в задаче, которую вы решаете, то, что может пригодиться в будущем при решении других задач.
Следует обратить внимание на оформление решения задачи с развернутым ответом. Оформление решения задачи должно быть акку-
ратным, записи разборчивыми, пояснения максимально исчерпывающими и логически обоснованными.
Помните, что решение задачи практическое искусство, которому можно научиться, подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Решайте задачи, решайте как можно больше задач, и удача на экзамене не покинет вас. Успехов вам!
5
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике: учеб. пособие. 6-е изд., испр. и доп. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та: Сиб. унив. изд-во, 2002. 532 с.: ил.
2.Математика. ЕГЭ. Типовые тестовые задания / под ред. И.В. Ящен-
ко. – М.: Изд-во «Экзамен». 2016.
3. ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь / И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, П.И. Захаров; под ред. И.В. Ященко. – М.: Изд-во «Экзамен», 2017. − 295 с.
§1. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
Вэкономических и других задачах часто используется формула сложных процентов. Пусть некоторая величина A подвержена поэтапному изменению. Каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое она имела на предыдущем этапе. Выведем формулу, выражающую значение А в конце n-го этапа.
Пусть процент изменения постоянен и равен p % , а начальное значение A0 .
В конце первого этапа значение А составит
A1 A0 0, 01pA0 A0 (1 0, 01p) .
В конце второго этапа значение А составит
A2 A1 0,01pA1 A1(1 0,01p) A0 (1 0,01p)2 .
В конце n-го этапа значение А составит
An A0 (1 0,01p)n
Полученная формула носит название формулы сложных процен-
тов.
Формулу сложных процентов можно записать в виде
An A0qn , q 1 0,01p ,
где q коэффициент поэтапного повышения.
6
Если начисление процентов m раз за этап из расчета p % в конце этапа, то
A |
A qmn , |
q 1 0,01 |
p |
. |
|
||||
n |
0 |
|
m |
|
|
|
|
||
В задачах, где требуется определить изменение некоторой величины S , выраженное в процентах, можно использовать формулу
S 100 % |
S1 S0 |
100 % |
|
S1 |
1 100 % . |
|
|
|
|||
S0 |
S0 |
S0 |
|
||
|
|
||||
§ 2. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОНЯТИЯ «ПРОЦЕНТ»
Пример 1. Одна сторона прямоугольника увеличилась на p % , а другая уменьшилась на q % .
Определите, на сколько процентов изменилась площадь прямо-
угольника и в какую сторону: |
|
|
|
p 10, |
q 10 . |
|||
1) p 20, |
q 10 ; |
2) p 25, |
q 20 ; 3) |
|||||
Решение. 1. Новые стороны равны: a1 1, 2a , |
b1 0,9b . |
|||||||
|
|
S1 1, 2a 0,9b 1,08ab 1,08S0 . |
|
|||||
S 100 % |
|
S1 S0 |
|
S1 |
|
|
|
|
|
100 % |
|
1 100 % |
(1,08 1)100 % 8 % . |
||||
S0 |
S0 |
|
||||||
S0 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: площадь увеличилась на 8 %.
2. a1 1, 25a ; b1 0,8b ; S1 1, 25a 0,8b 1,000ab S0 .
S 100 % |
S1 S0 |
100 % |
|
S1 |
1 100 % (1 1)100 % 0. |
|
|
|
|
||||
S0 |
S0 |
|
S0 |
|
||
|
|
|
||||
Ответ: площадь не изменилась. |
|
|
||||
3. a1 1,1a ; b1 |
0,9b ; |
S1 1,1a 0,9b 0,99ab 0,99S0 . |
||||
7
S 100 % |
S1 S0 |
100 % |
|
S1 |
1 100 % (0,99 1)100 % 1%. |
|
|
|
|||
S0 |
S0 |
S0 |
|
||
|
|
||||
Ответ: площадь уменьшилась на 1 %.
Пример 2. Кот Васька все лето прожил на даче. В июне была хорошая погода, и он много охотился, в итоге Васька поправился на 10 %. В июле начались дожди и охота была не такой удачной, поэтому кот похудел на 20 %. В августе хозяева стали чаще бывать на даче и привозить много вкусного, поэтому Васька поправился на 15 %.
Похудел или поправился Васька за лето и на сколько процентов? Ответ: поправился на 1,2 %.
Решение. Пусть в начале лета вес кота x кг, конце июня вес кота 1,1x, в конце июля вес составит 0,8·1,1x; в конце августа – 1,15·0,8·1,1x = = 1,012x.
x |
100 % |
1,012x x |
100 % 1,2 %. |
x |
|
x |
|
Пример 3. В начале сезона распродаж цена товара была повышена на 20 %, а в конце сезона была снижена на 20 %, в результате товар был продан за 96 рублей.
Определите первоначальную цену товара. Ответ: 100 руб.
Решение. Цена товара x определяется из уравнения x(1 0,2)(1 0,2) 96 , x 100 .
Пример 4. Стоимость товара, включая 18 % налога на добавленную стоимость (НДС), составила 430 700 руб.
Определите величину НДС. Ответ: 65 700 руб.
Решение. Пусть х – стоимость товара без учета НДС.
НДС = 0,18х = 0,18· 430700 / 1,18 = 65 700 руб.
Пример 5. Зарплата инженера на 25 % больше зарплаты рабочего. На сколько процентов зарплата рабочего меньше зарплаты инже-
нера?
Ответ: меньше на 20 %.
8
Решение. Психологически напрашивается следующий ответ: на 25 % меньше. Однако это не так.
Пусть х зарплата рабочего. Зарплата инженера составит 1,25х. Нужно определить величину
x 1, 25x |
100 % |
0, 25 |
100 % 0, 2 100 % 20 % . |
|
1, 25x |
1, 25 |
|||
|
|
Пример 6. Если удлинить бороду Деду Морозу на 20 %, а косу Снегурочки уменьшить на 10 %, то коса станет длиннее бороды на
50 %.
На сколько процентов борода Деда Мороза короче косы Снегурочки?
Ответ: 75 %.
Решение. Пусть x, y − длина бороды и косы. Отношение x / y определяется из уравнения 1,5 1,2x 0,9 y x / y 0,25.
x y y 100 % (0, 25 1)100 % 75 % .
Пример 7. Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на p %, а на следующий год по сравнению с первоначальным она возросла на 10 %.
Определите, на сколько процентов увеличилась выработка продукции за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59 %.
Ответ: 17 %.
Решение. Процент повышения p определяется из уравнения
(1 0,01p)(1 0,01( p 10)) 1 0,4859 , p = 17 %.
Пример 8. Вклад в 10 000 руб. за два года вырос до 12 100 руб. Определите процент годовых, начисляемых банком.
Ответ: 10 %.
Решение. a2 10 000(1 0,01p)2 12 100 , |
1 0,01p 1,21 , |
0,01p 0,1 , p 10 % .
Пример 9. В одном банке ставка равна 20 % годовых, начисление
процентов по полугодиям, в другом ставка 21 % при одном начислении процентов в год.
9
Куда выгоднее поместить капитал? Ответ: безразлично.
Решение. Накопленная сумма в первом банке (начисление 2 раза) составит
|
a1 |
|
0,01 |
20 |
2 |
2 |
1,21a0 . |
|
a0 1 |
2 |
|
1,1 a0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Во втором банке накопленная сумма (начисление один раз) соста- |
|||||||
вит a |
1, 21a . |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Пример 10. В конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится сумма 1000 руб. под 10 % годовых.
Какова будет накопленная сумма?
Ответ: 4641.
Решение. Первый взнос 1000 руб. находится на банковском счете три года и превратится в величину 1000(1 0,1)3 1331, второй
взнос находится два года и дает 1000 (1 0,1)2 12 100 , третий один
год и дает 1000(1 + 0,1) = 1100, четвертый 1000.
Накопленная сумма составит 1331 + 1210 + 1100 + 1000 = = 4641 (руб.)
Решение в общем виде
Пусть b ежегодный взнос, q 1 0,01p . Сумма на счете через n лет составит
an b(qn 1 qn 2 ... q 1) b qn 1 . q 1
Сумма в скобках найдена по формуле n членов геометрической прогрессии.
В данном случае a4 10001,14 1 10 000 0,4641 4641 . 0,1
Пример 11. Семья хочет накопить $16 000 на покупку квартиры, внося ежегодно в банк $2000 под 5 % годовых.
Как долго придется вносить деньги?
10