Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие
.pdfСколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Ответ: 25 %.
85. 15-го января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению
сконцом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 63 тыс. руб.
Какую сумму нужно вернуть банку за весь срок кредитования? Ответ: 567 тыс.
86. 15-го января планируется взять кредит в банке на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению
сконцом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно вернуть банку за весь срок кредитования, на 17 % больше, чем сумма, взятая в кредит.
Найдите r. Ответ: 2 %.
87. 31 декабря Иван взял в банке 1 млн руб. в кредит. Условия погашения кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, а затем Иван переводит в банк очередной транш. Иван выплатил долг за два транша, т. е. за два года. В первый раз было переведено 660 тыс. руб., а во второй – 484 тыс. руб.
Под какой процент банк выдал кредит? Ответ: 10 %.
88. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению
сконцом предыдущего месяца;
51
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 169,5 тыс. руб.
Какую сумму планируется взять в кредит? Ответ: 300 тыс. руб.
89. 31 декабря 2016 года Алексей взял в банке 6,902 млн руб. в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся cумму долга (т. е. увеличивает долг на 12,5 %), а затем Алексей переводит в банк X рублей.
Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т. е. за четыре года)?
Ответ: 2 млн 296 тыс. 350 руб.
90. 31 декабря 2016 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на а %), а затем Пётр переводит в банк очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 руб., то выплатит долг за 4 года. Если по 4,392 млн руб., то за 2 года.
Под какой процент Пётр взял деньги в банке? Ответ: 20 %.
91. В начале 2001 года Алексей пробрел ценную бумагу за 28 тыс. руб. В конце каждого года стоимость бумаги возрастает на 10 тыс. руб.
Вначале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10 % годовых.
В начале какого года Алексею следует продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Ответ: 2009.
92. В начале 2001 года Алексей пробрел ценную бумагу за 5 тыс. руб. В конце каждого года стоимость бумаги возрастает на 4 тыс. руб.
Вначале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет под 10 % годовых.
52
В начале какого года Алексею следует продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Ответ: 2009.
93.31 декабря 2016 года Игорь взял в банке 1 млн руб. в кредит. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на а %), а затем Игорь переводит в банк очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 580 тыс. руб., во второй 621,5 тыс. руб.
Определите процент годовых. Ответ: 13 %.
94.Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы, и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схема с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит.
Найдите r. Ответ: 2 %.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ИЗ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ТЕСТОВ
1. 3 млн 110 тыс. 400 руб.
Решение
Обозначим |
a0 8 052 000 |
– сумма кредита; |
ak |
– долг на начало |
|||
(k 1) -го года, |
k 0,1,2,3,4 ; х – ежегодный платеж; |
q 1 0,01p 1,2 . |
|||||
Долг a4 равен: |
|
|
|
||||
a |
4 |
a |
0 |
q4 x(q3 q2 |
q 1) a q4 x(q4 |
1) / (q 1). |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
53
Так как долг выплачен полностью за 4 года, то a4 0 , откуда
x a |
q4 (q 1) |
|
8 052 000 |
1,24 0,2 |
3110 400 . |
|||||||
|
0 |
|
q4 1 |
|
|
1,24 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. 3,993 млн руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение |
|
|
|
|
|
– сумма кредита; |
|
– долг на начало |
||||
Обозначим |
a0 9 930 000 |
ak |
||||||||||
(k 1) -го года, |
k 0,1,2,3 ; х – ежегодный платеж; q 1 0,01p 1,1. |
|||||||||||
Так как кредит выплачен полностью за 3 года, то |
|
|
||||||||||
a a q3 x(q2 |
q 1) a q3 x q3 1 |
0, |
||||||||||
|
3 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
q |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x a |
|
q3 (q 1) |
|
9 930 000 |
1,13 0,1 |
|
3 993 000 . |
|||||
|
q3 1 |
1,13 1 |
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
3. 4,55 млн руб.
Решение Аналогично предыдущей задаче ежегодный платеж составит
x a0 q3 (q 1) . q3 1
Из условий задачи получаем уравнение
a |
q3 (q 1) |
2,16 |
a 2,16 |
q3 1 |
|
|||
q3 1 |
|
q3 (q 1) |
||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|||
|
2,16 |
|
1,23 1 |
|
2,16 0,728 4,55. |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
1,23 0,2 |
|
1,728 0,2 |
|
|
|||
54
4. 15.
Решение
Иллюстративный чертеж
a0 100000 – сумма кредита, ak |
– долг на начало (k 1) -го года: |
||||||||
k 0,1, 2. |
q 1 0,01p . a1 (1 0,01p)a0 |
55000 a0q 55000, |
|||||||
a2 (1 0,01p)a1 69000 (a0q 55000)q 69000. |
|||||||||
Так как долг выплачен полностью, то a2 |
0 . |
|
|
|
|
||||
Получаем уравнение относительно коэффициента ежегодного по- |
|||||||||
вышения q : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 000q2 55 000q 69 000 0 , |
q2 |
0,55q 0,69 0 , |
|||||||
q |
0,55 |
0,552 4 0,69 |
|
0,55 1,75 |
|
2,3 |
1,15, |
||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,01p q 1 1,15 1 0,15; p 15 .
5. 950 400 руб.
Решение
4 года. Пусть ежегодный платеж составляет x руб. Иллюстративный чертеж
Так как кредит выплачен полностью за 4 года, то
a4 a0q4 x(q3 q2 q 1) a0q4 x q4 1 0. q 1
x a0 q4 (q 1) . Всего выплачено 4x руб. q4 1
55
2 года. Пусть ежегодный платеж составляет у руб. Иллюстративный чертеж
Так как кредит выплачен полностью за 2 года, то
a |
qa y , |
a qa |
y a q2 |
y(q 1) 0 |
, y a |
0 |
q2 |
(q 1) / (q2 1) . |
||||||||||
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего выплачено 2y руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
По условию задачи нужно определить величину |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4x 2 y a |
|
4q4 (q 1) |
|
2q2 (q 1) |
|
2a |
q2 (q 1) |
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
0 |
|
q |
1 |
|
q |
1 |
|
0 |
|
q |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 4026 103 1,44 0,2 950 400. 2,44
6. 576 000 руб.
Решение
3 года. Пусть ежегодный платеж равен x руб. Иллюстративный чертеж
Так как кредит выплачен полностью за 3 года, то
a3 a0q3 x(q2 q 1) a0q3 x q3 1 0, q 1
x a0 q3 (q 1) . Всего выплачено 3x руб. q3 1
56
2 года. Пусть ежегодный платеж равен y руб. Иллюстративный чертеж
|
|
a qa y , |
a |
qa |
y a q2 |
y(q 1) . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
Так как кредит выплачен полностью за 2 |
года, то |
a 0 , откуда |
|||||||||||||||||||
|
q2 (q 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
y a |
. Всего выплачено 2y руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
q2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи нужно определить величину |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3x 2 y a |
|
3q3 |
(q 1) |
|
2q2 (q 1) |
|
a |
q2 (q 1)(q 2) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
q |
1 |
|
|
q |
1 |
|
0 |
(q 1)(1 q q |
) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5005 10 |
3 1, 44 0, 2 3, 2 |
576 000. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2, 2 3,64 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В обозначениях задачи 2 § 3 |
имеем: |
a0 6 млн руб., |
|||||||||||||||||||
p 20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a |
0,01p |
1 . По условию x 1,8 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6(0,2 1/ n) 1,8 , 1/ n 0,1, |
n 10 . Значит, nmin 10. |
|
||||||||||||||||||
8. 13 млн руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение 1 |
(алгебраический способ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
В обозначениях задачи 2 § 3 суммарный платеж составит |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
0,01p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
a0 1 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
57
n |
|
|
5 1 |
|
|
Подставим числовые значения: xk |
10 |
||||
10 1 0,01 |
2 |
13. |
|||
k 1 |
|
|
|
||
Решение 2 (числовой способ) |
|
|
|
|
|
Июльские долги составляют убывающую арифметическую про- |
|||||
грессию с a0 10 и разностью d a0 / n 10 / 5 2 . |
|
|
|||
Последовательность июльских долгов: 10; 8; 6; 4; 2; 0. |
|
||||
Январские долги после начисления |
процентов |
вычисляются по |
|||
|
|
|
|
|
|
формуле ak q ak 1 1,1ak 1. |
|
|
|
|
|
Последовательность январских долгов: 11; 8,8; 6,6; 4,4; 2,2; 0.
Последовательность платежей: 11 – 8 = 3; 8,8 – 6 = 2,8; 6,6 – 4 = 2,6; 4,4 – 2 = 2,4; 2,2 – 0 = 2,2.
Суммарный платеж составит: 3 + 2,8 + 2,6 + 2,4 + 2,2 = 13.
9. 8.
Решение. Аналогично решению задачи 2 § 3 суммарный платеж составит
n |
|
0,01p |
n 1 |
20 |
|
0,3 |
n 1 |
47 n 8. |
||
|
||||||||||
xk a0 1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. 25.
Решение. Максимальный и минимальный платежи равны соответственно x1, xn (см. задачу 2 § 3):
|
x a |
1 |
0,01p , |
x a0 |
(1 0,01p). |
|||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
0,01p) 1,9 |
|
|
|
||
x1 |
1,9 |
6( |
|
|
|
p 25 |
|
|||||
15 |
|
p 25. |
||||||||||
x |
0,5 |
6 |
|
|
|
|
|
p 25 |
||||
n |
|
|
|
|
|
(1 |
0,01p) 0,5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. 11.
Решение. Общая сумма выплат составит (см. задачу 2 § 3)
n |
|
0,01p |
n 1 |
16 |
|
0,25 |
n 1 |
40 n 11. |
||
|
||||||||||
xk a0 1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
58
12. 3 %.
Решение. Общая сумма выплат составит (см. задачу 2 § 3)
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|||
|
|
a0 1 0,01p |
. |
|
||||
|
|
k 1 |
|
|
|
2 |
|
|
Переплата в процентах от кредита равна |
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
xk a0 |
|
|
n 1 |
|
5 1 |
|
|
|
k 1 |
100 % 0,01p |
|
|
||||
|
|
|
2 100 % 0,01 |
2 100 % 3 %. |
||||
|
a |
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
13. 1 488 000 руб. |
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Платежи xk |
составляют арифметическую прогрессию. |
|||||||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x (8 k)d, |
|
|
xk x16 k 2x8. |
||||
|
k |
8 |
|
|
k 1,2,...,7 |
|||
|
x16 k |
x8 (8 k)d, |
|
|
|
|
||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk (x1 x15 ) (x2 x14 ) ... (x7 |
x9 ) x8 |
|
|||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15x8 15 99,2 1 488 000 руб. |
|
|||||
14. 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Решим задачу в общем виде. |
|
|
||||||
Обозначим: a0 1300 – |
сумма кредита (в тыс. руб.); |
ak – долг в |
||||||
k-й год; xk – выплаты в k-й год; |
b 350 – верхняя граница ежегодного |
|||||||
платежа (в тыс. руб.); q 1 0,01p 1,1 |
– коэффициент ежегодного |
|||||||
повышения.
Очевидно, что минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты.
Стратегия выплат: первые n 1 лет выплаты осуществлять равными платежами по максимально возможной сумме, которая равна b . После предпоследней выплаты останется сумма an 1 b , которая
наверняка будет выплачена в последний n-й год, и кредит будет погашен.
59
Последовательно находим:
|
|
a a q b, |
|
|
a |
2 |
(a q b)q b a q2 b(1 q), |
|
|
||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
2 |
q3 b a |
0 |
q3 b(1 q q2 ), ..., |
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
b qn 1 |
|
|
||
a |
|
a qn 1 |
b(1 |
q q2 ... qn 2 ) a qn 1 |
1 . |
||||||||||
n 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
q 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Получаем неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a qn 1 |
b qn 1 1 b , |
|
|
которое |
приводится |
к |
виду |
||||||||
0 |
|
|
q 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn (a (q 1) b) q(q 2)b. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовые значения: |
|
|
|
|
|||||||||||
(1,1)n (1300 0,1 350) 1,1 ( 0,9) 350 , |
(1,1)n ( 220) 315 1,1, |
||||||||||||||
|
|
|
|
(1,1)n 1,1 315 / 220 1,575. |
|
|
|
||||||||
Функция y ax |
при основании a 1 монотонно возрастает. Мето- |
||||||||||||||
дом подбора, |
давая |
|
|
последовательно |
целочисленные |
|
значения |
||||||||
n 1,2,3,4,5,... , находим, что неравенство начинает выполняться при значении nmin 5 .
n 1 1,1 1,575 ; n 2 1,21 1,575 ; n 3 1,331 |
1,575; |
n 4 1,4641 1,575 ; n 5 1,61051 1,575. |
|
Замечание. Неравенство (1,1)n ≥ 1,575 можно решить при помощи логарифмов:
n ln1,575 0,454255... 4,76..., nmin 5. ln1,1 0,095310...
Но здесь возникает другая проблема: без калькулятора вряд ли ученик сможет вычислить значения натуральных логарифмов, а калькулятором на ЕГЭ пользоваться запрещено. Поэтому и применен метод подбора.
60