Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Иллюстративный чертеж

Подсчитаем последовательно суммы на вкладе на начало каждого года:

a1 a0 0,01xa0 0, 2a0 a0 (0,8 0,01x);

a2 a1 a10,01(30 x) a1(1,3 0,01x) a0 (0,8 0,01x)(1,3 0,01x) .

Сумма a2 (x) является функцией ставки x % по депозитам. По усло-

вию задачи нужно найти максимально возможное значение этой суммы.

Вычислим производную a (x) :

2

Смена знаков у производной с плюса на минус при переходе через точку х = 25 свидетельствует о наличии максимума функции a2 (x) .

Ответ: 25 %.

Задача 6

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 руб. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму

3927 руб. Первый брокер продал 75 % своих акций, а второй 80 %. При этом сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140 % превысила сумму, полученную первым брокером.

На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение

Обозначим: x1, x2 – количество акций, купленных первым и вторым брокером соответственно; p0 , p1 – цена одной акции до и после

повышения.

Составим иллюстративную табл. 3.

21

22

Определим процент повышения одной акции:

Ответ: 37,5 %.

Задача 7

Статистика знает все. В городе Урюпинске 47,7 % всех детей счи-

тают, что их нашли в капусте, 15,1 % что их принес аист, а оставшиеся 37,2 % детей вообще не знают, откуда взялись. Аналогичная статистика среди мальчиков такова: 33 %, 20 % и 47 %.

Сколько процентов урюпинских девочек считают, что их принес аист, если 63 % из них полагают, что были найдены в капусте?

Используя данные столбца по «капусте», получим: 0,477(x y) 0,33x 0,63y,

0,147x 0,153y , или 49x 51y .

Так как x, y натуральные числа и числа 49 и 51 взаимно простые, то

23

Используя данные столбца «аист», запишем разность:

0,151(x y) 0,2x 0,151 100n 0,2 51n 15,1n 1,02n 4,9n .

Эта разность дает число девочек, которые считают, что их принес аист. Разделив разность на y и умножив на 100 %, получим искомый

результат:

4,9y n100 % 4,949nn100 % 10 % .

Ответ: 10 %.

Задача 8

Первичная информация разделяется по серверам № 1 и 2 и обрабатывается на них. С сервера № 1 при объеме t2 Гбайт входящей в него

информации выходит 20t Гбайт, а с сервера № 2 при объеме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 21t Гбайт обработанной информации; 25 t 55 . Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гбайт?

Решение 1 (математический анализ)

Пусть на сервере № 1 обрабатывается x2 , а на сервере № 2 обрабатывается y2 Гбайт из всей первичной информации. Тогда x2 y2 3364 , а обработано будет 20x 21y Гбайт информации.

Требуется найти наибольшее значение функции

Смена знаков с плюса на минус у производной при переходе через точку x 40 показывает, что будет максимум. Значит, fmax 1682 .

Ответ: 1682.

24

Решение 2 (алгебра, метод вспомогательного аргумента)

При этом вспомогательный угол определяется из системы равенств

25

Уравнение x2 y2 3364 задает окружность ω радиуса 58 с цен-

тром в начале координат. Проведем целевой вектор N (20; 21) и перпендикулярную ему прямую l : 20x 21y 0 , проходящую через

начало координат. Луч, коллинеарный вектору N (20; 21) , пересечет окружность ω в точке А(40; 42). Прямая m, проходящая через точку А(40;42) и перпендикулярная вектору N (20; 21) , будет касаться окружности ω и задаваться уравнением 20x 21y C со значением C,

наибольшим среди всех прямых, параллельных l и пересекающих ω

(рис. 2).

Условия 25 x 55 , 25 y 55 для точки А(40; 42) выполнены.

Cmax 1682.

Рис. 2

Решение 4 (векторная алгебра)

20x 21y max,x2 y2 3364,

x, y [25; 55].

26

Введем на плоскости декартову систему

N и R :

С другой стороны, скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними:

Следовательно, N R 29 58cos 1682cos .

Поскольку требуется найти максимум, должно быть cos 1,

0 .

Следовательно, векторы N и R являются коллинеарными, и поэтому их координаты пропорциональны x / 20 y / 21 , где коэффициент пропорциональности.

Получаем систему для определения координат x2 y2 3364,

x / 20 y / 21 .

Находим 2 . Поскольку x, y – положительные числа, следова-

тельно, 2 , откуда x 40 [25; 55] , y 42 [25; 55] .

Остается записать ответ: 1682.

Комментарий. Предложено 4 принципиально различных способа решения задачи:

средствами математического анализа с использованием производной;

методом вспомогательного аргумента с использованием тригонометрических функций;

геометрическое решение с нахождением максимума целевой функции;

27

средствами векторной алгебры.

Возникает вопрос: «А зачем четыре решения?» Ведь в условиях ЕГЭ достаточно одного решения. Конечно, это справедливо. Однако чем более обширными и разнообразными знаниями обладает выпускник, чем больше приемов и методов решения той или иной задачи он знает, тем больше у него шансов решить задачу тем или иным способом. Знание особенностей и методов решения подобных задач полезно выпускнику при написании работы ЕГЭ по математике.

Задача 9

В двух областях живут по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия (Al) или никеля (Ni). В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг Al или 0,1 кг Ni. Во второй области для добычи х кг Al в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг Ni в день требуется у2 человекочасов.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг Al приходится 1 кг Ni. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение

Пусть z рабочих в первой области заняты добычей алюминия, а вторая область добывает x кг алюминия и y кг никеля.

Составим иллюстративную табл. 5.

28

Функция выпуска сплава S(x, y, z) 100 2z x y max. Так

как в промышленности для сплава алюминия требуется в 2 раза больше, чем никеля, то

3z + x = 2(100 – z + y), z 40 0,5(2 y x) .

Подставляя z в выражение для S(x, y, z), получим

S(x, y) 180 0,6(x 3y) max.

Ограничения на переменные:

Функция f 0,6x 3y возраста- ет в направлении целевого вектора

N (1; 3) (рис. 4).

Получаем систему для определения координат оптимальной точки:

При этом z = 40 + (2 · 30 – 10)/5 = 50 удовлетворяет ограничению. fmax 0,6(10 3 30) 60.

Smax 180 fmax 180 60 240.

Ответ: 240.

Задача 10

На каждом из двух заводов изготовляют детали А и В. На первом заводе работают 40 человек, и один рабочий изготовляет за смену 15 деталей А или 5 деталей В. На втором заводе работают 100 человек, и один рабочий изготовляет за смену 5 деталей А или 15 деталей В.

Оба этих завода поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которого нужны две детали А и одна

29

деталь В. При этом заводы договариваются между собой изготовлять детали так, чтобы комбинат смог собрать наибольшее количество изделий.

Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Решение

Пусть x, у количество рабочих, занятых изготовлением детали А на первом и втором заводах соответственно. Составим иллюстративную табл. 6.

Функция выпуска количества деталей

S(x, y) 1700 10x 10 y max .

Из условий задачи получаем ограничения по численности рабочих:

Так как для изделия деталей А требуется в 2 раза больше, чем дета-

лей В, то 15x + 5y = 2(1700 – 5x – 15y), 25x + 35y = 3400, 5x + 7y = 680.

Известно, что целочисленные решения линейного уравнения ax + by = c с целыми коэффициентами можно записать в виде

найти, например, методом подбора.

30