Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

15. 1.

Решение. Аналогично задаче 2 § 3 находим суммарный платеж:

n

По условию xk 1,2a0.

k 1

Уравнение относительно r :

a0 (1 0,2r) 1,2a0 0,2r 0,2 r 1.

16. 4.

Решение 1 Минимизировать время выплат можно, только максимизировав са-

ми выплаты. В обозначениях задачи 14 получаем неравенство

По условию a0 900 , b 300 , q 1,01 . Подставим числовые значения:

1,0309..., (1,01)3 1,030301 1,0309..., (1, 01)4 1, 04060401 1, 0309...,

nmin 4 .

Решение 2 Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть

за 900/300 = 3 месяца. Банк за 3 месяца возьмет меньше, чем 3 % от первоначальной суммы в 900 тыс., т. е. меньше 900 · 0,03 = 27 тыс. руб. Поэтому то, что забирает банк, точно можно будет оплатить в 4-й месяц, потратив меньше 300 тыс. руб.

Комментарий. В чем причина такого простого решения? Дело в том, что верхняя оценка в 3 % от суммы кредита меньше, чем величина

61

максимального платежа, равного 300 тыс. руб., и этот платеж заведомо можно внести в 4-й месяц.

Ачто будет, если банковский процент равен, например, 12 %?

Вэтом случае рассуждая аналогично, получим, что за 3 месяца банк забирает меньше, чем 36 % от суммы кредита, т. е. 900 · 0,36 = 324 тыс. руб. Верхняя оценка превышает максимальный платеж, и в этом случае уже нет однозначного ответа: 4 или 5 месяцев. Неравенство из ре-

шения 1 дает n 4 , что предлагается проверить самостоятельно.

17. 12,5 %.

Решение. Цену Р, доход D, затраты S измеряем в тысячах рублей:

Q 15 P,

1 P 15.

Прибыль W ( p) D S (15 p) p (3Q 5) p2 18 p 50.

После снижения цены на 20 % новая цена составит 0,8 p , а прибыль составит

W (0,8 p) 0, 64 p2 14, 4 p 50.

18. 10.

Решение. Прибыль (млн руб.) за 3 года составит f (x) 3 px 3(0,5x2 2x 6) 78.

Прибыль должна быть наибольшей:

f (x) 0 3 p 3(x 2) 0 p x 2.

62

Подставим значение р в неравенство, получим неравенство относительно х:

0,5x2 6 26 x2 64 xmin 8 . Значит, pmin xmin 2 8 2 10 .

19. 220 руб.

Решение. Пусть a0 – первоначальный вклад, q 1 0,1 1,1. Накопленная сумма a3 с учетом операций через 3 года составит

a3 ((a0q 2000)q 2000)q a0q3 2000q(q 1).

Накопленная сумма a без учета операций через три года составит

3

a3 a0q3.

Разность составит

a3 a3 a0q3 a0q3 2000q(q 1) 2000q(q 1) 2000 1,1 0,1 220.

20. 20 %.

Решение. Пусть x – сумма имеющихся сбережений Кузнецова. Если бы она была вложена в банк «Навроде» под 500 % годовых, то через год сумма возросла бы до A 6x . В банку из-под макарон Куз-

63

21. 5 %, 20 %.

Решение. Пусть p1, p2 – прибыль в процентах от i -го проекта, i 1,2 ; p3 – оговоренная ставка в процентах по дивидендам. Чистая

предложение 36 (1 1/ 3) 36 4 / 3 48 .

Общееколичество акций n 15 000 /1,2 15 000 15 000 1,2 45 500.

23. 96 %.

Решение. Пусть a0 – сумма денег на пополнение запасов нефти,

c – цена барреля нефти на 1 сентября. Тогда объем закупки составит V0 a0 / c . Спустя два месяца на 1 ноября сумма денег составит

a0 (1, 26)2 , цена барреля нефти равна c (0,9)2 . Объем закупки составит

24. 0,125.

Решение. Уравнение для определения годового процента в Сбербанке:

12 a0 (1 0,01p)(1 32 0,01p) 1,04 12 a0 (1 0,01p) , 1 0,32 p 1,04 , p 0,125.

25. 210 тыс. руб.

Решение. Пусть a0 3900, q 1 0,01p 1,5 , x – вносимая сум-

ма.

64

Последовательно находим:

По условию a5 a0 7, 25a0 . Получаем уравнение для определения x :

через год после начисления процентов составит a0q. Долг на следующий год составитa0q 0,75a0q 0, 25a0q .

Уравнение для определения q:

p (q 1)100 % (2,2 1)100 % 120 %.

27. 10 %.

Решение. a0 5200, q 1 0,01p .

Клиент А: по формуле сложных процентов накопленная сумма через 2 года составит a0 q2 .

65

Клиент В: накопленная сумма через 1 год составит a0q . Уравнение для определения q:

28. 60 %.

Решение. Пусть a0 – принятая банком сумма, q 1 0,01p . Уравнение для определения q:

p (q 1)100 % 20 % – прежний банковский процент. Новый процент годовых равен: p1 p 40 20 40 60 .

29. 5 %.

Решение. Пусть q 1 0,01p ежегодный повышающий коэффициент. Уравнение для определения коэффициента q:

p (q 1)100 % (1,05 1)100 % 5 % .

30. 10 %, 20 %.

Решение. Уравнение для определения процента повышения p:

31. 8.

Решение. Будем измерять стоимость ценных бумаг в тысячах рублей. Допустим, что бумаги продали через n лет. К этому моменту их стоимость стала равной 11 4n . После продажи и вложения полу-

ченных денег в банк под 10 % годовых накопленная сумма к концу

66

тонно возрастает до значения a8 , а затем монотонно убывает. Наибольшим членом последовательности будет a8 .

Следовательно, наилучшим моментом продажи ценных бумаг является n 8 .

32. 21.

Решение. ak k 2 (1,1)25 k тыс. руб. сумма на счете на конец 25-

го года, если бумаги проданы в конце k-го года, поскольку осталось 25 k лет нахождения денег на счете в банке.

Сравним ak и ak 1 . Составим разность:

Наибольшим членом последовательности будет a21 , т. е. продать

следует в конце 21-го года.

33. 2 096 875 руб.

Решение. Пусть b 810 000 ежегодный платеж, q 1,2 . Сумма кредита a0 определяется из уравнения:

34. 6 лет.

Решение (числовая модель).

1) В конце первого года долг составит:

1 500 000 · 1,1 – 350 000 = 1 300 000 (руб.).

67

2)В конце второго года долг составит:

1300 000 · 1,1 – 350 000 = 1 080 000 (руб.).

3)В конце третьего года долг составит:

1080 000 · 1,1 – 350 000 = 838 000 (руб.).

4)В конце четвертого года долг составит:

838 000 · 1,1 – 350 000 = 571 800 (руб.). 5) В конце пятого года долг составит:

571 800 · 1,1 – 350 000 = 278 980 (руб.).

6) В конце шестого года долг составит: 278 900 · 1,1 =306 878 (руб.). Эта сумма менее 350 000 руб. Значит, кредит будет погашен за

6 лет.

35. 10 %.

Решение. Пусть p – процентная ставка, кредит и долг выражаем

втысячах рублей.

1)В конце первого года долг составит:

1000 (1 + 0,01p) – 660 = 340 + 10p. 2) В конце второго года долг составит:

(340 + 10p) (1 + 0,01p) – 484.

По условию задачи кредит погашен за два года. Составляем уравнение:

(340 + 10p) (1 + 0,01p) – 484 = 0, p2 + 134p – 1440 = 0.

Решая уравнение, получаем, что p = 10.

36. 9 282 000 руб.

Решение. Пусть x – сумма кредита (руб.).

1) В конце первого года долг (в рублях) составит

(1,1х – 2 928 200) руб.

2) В конце второго года долг (в рублях) составит:

(1,1х – 2 928 200)1,1 – 2 928 200 = 1,21х – 6 149 220.

68

3) В конце третьего года долг (в рублях) составит:

(1,21х – 6 149 220)1,1 – 2 928 200 = 1,331х – 9 692 342.

4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит:

(1,331х – 9 692 342)1,1 = 2 928 200; х = 9281999,8.

Значит, сумма кредита равна 9 282 000 руб.

37. 3 703 860 руб.

38. 1 066 500 руб.

Указание. По схеме дифференцированных платежей (задача 2 § 3)

39.13 %.

40.822 000 руб.

41.1 066 500 руб.

42.5 800 000 руб.

43.576 000 руб.

44.6.

45.5.

46.3 993 000 руб.

47.10 %.

Решение. По данным задачи составим табл. 7.

69

48. 8 лет.

Решение. По схеме дифференцируемых платежей (задача 2 § 3) имеем:

49. 130.

Решение. Кредит погашается на сумму 100/5 = 20 сольдо. Составим расчетную табл. 8.

70