Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Решение. an b(qn 1) / (q 1) . Накопленная сумма должна быть не меньше, чем цена квартиры, т. е. an 16 000.

Подставляя числовые значения и разрешая неравенство относи-

6,8..., nmin 7 .

Ответ: 7 лет.

Пример 12. Вам предложено инвестировать 100 000 руб. сроком на пять лет при условии возврата этой суммы частями ежегодно по 20 000 руб. По истечении срока выплачивается вознаграждение

40 000 руб.

Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» положить деньги на счет в банк под 10 % годовых?

Решение. По первому варианту при инвестировании через пять лет получим

5 · 20 000 + 40 000 = 140 000 руб.

По второму варианту по формуле сложных процентов через пять лет получим

a5 b(1 0,01p)5 100 000 1,15 161 051 > 140 000.

Ответ: выгоднее деньги положить в банк. Пример 13. Годовая ставка в банке 8 %.

Какую минимальную сумму должен положить в начале года дед в банк, чтобы его внук всю свою жизнь получал ежегодно под Новый год по $500?

Ответ: $ 6250.

Решение. Накопленная сумма к концу года составит a1 bq . Получаем неравенство: bq 500 b , b 500 / 0,08 6250 .

(В финансовой математике это явление называется вечной рентой.)

11

Пример 14. Цех производит детали вида А и В в соотношении 7 : 5 соответственно, идущие на сборку других изделий. После того как 75 % от общего числа деталей поступило на сборку, оставшиеся детали распределены в соотношении 2 : 1 соответственно (в том же порядке).

Сколько процентов деталей вида В ушло на сборку? Ответ: 80 %.

Решение в общем виде

Пусть k – коэффициент пропорциональности в пропорции a : b произведенных деталей. При этом деталей А будет ak , деталей В бу-

дет bk , а всего будет (a b)k деталей. После поступления p % от всех деталей на сборку всего останется (a b)k(1 0,01p) деталей.

Пусть k − новый коэффициент пропорциональности в пропорции

Проценты поступивших на сборку деталей:

Пример 15. Цех производит детали вида А и В в соотношении 1 : 2 соответственно, идущие на сборку других изделий.

Определите процент всех оставшихся деталей, если известно, что 70 % деталей А и 40 % деталей В ушло на сборку.

Ответ: 50 %.

12

Решение. Искомый процент r % равен

Пример 15. На автостоянке находятся автомобили двух марок А и В в соотношении 7 : 5 соответственно. После того как со стоянки уехало 65 % всех машин, количество оставшихся машин оказалось распределено в соотношении 2 : 3 (в том же порядке).

Сколько процентов автомобилей марки А уехало со стоянки? Ответ: 76 %.

Пример 16. На автостоянке стояли «Мерседесы», «Запорожцы» и прочие иномарки в количественном соотношении 2 : 3 : 6. После того как на стоянку подъехало некоторое количество «Мерседесов» и 33 «Запорожца», а 40 % прочих иномарок уехало, количественное соотношение стало 5 : 7 : 4.

Сколько «Мерседесов» стало на стоянке? Ответ: 45.

Пример 17. В магазине «Мойдодыр» в продаже имеются стиральные порошки в пачках трех сортов: обычный, необычный и превосходный в количественном соотношении 3 : 4 : 6. В результате продаж и поставок со склада это соотношение изменилось и стало 2 : 5 : 8. Известно, что число пачек необычного порошка возросло на 55, а обычного порошка – уменьшилось на 10 %.

Сколько всего пачек порошка стало в магазине? Ответ: 405.

Пример 18. В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник.

На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Ответ: 20 %.

13

Пример 19. Боб подарил другу Биллу несколько акций нефтяной компании. Часть акций Билл продал в тот же день, а остальные через неделю, когда их стоимость уменьшилась из-за финансового кризиса, выручив в итоге этих операций некоторую сумму денег. Если бы Билл продал все акции сразу, то выручил бы на 25 % больше, а если бы, наоборот, продал все акции через неделю, то выручил бы за них на 37,5 % меньше, чем ему удалось получить на самом деле. Во сколько раз уменьшилась стоимость каждой акции за неделю?

Ответ: в 2 раза.

Пример 20. Банковский вклад, не тронутый в течение года, увеличивается на 10 %.

На сколько процентов увеличивается вклад, не тронутый в течение трех лет?

Ответ: 33,1 %.

Пример 21. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала (3 месяца) повышать зарплату на 2 %. Однако в связи с финансовыми трудностями фирма повышала зарплату каждые полгода (в начале каждого полугодия).

На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы зарплата сотрудника была равна той, которую он получил бы в размере, предусмотренным прежним договором?

Ответ: 4,04 %.

Указание. Процент p определяется из уравнения

x(1 0,02)4 x(1 0,01p)2 p 4,04 %.

Пример 22. В магазине в продажу поступили конфеты сорта А и В. К концу дня после продажи конфет сорта А уменьшилось на 40 %, а сорта В − на 20 %. В целом количество конфет уменьшилось на 25 %.

Сколько процентов от общего количества конфет составляли конфеты сорта В в начале дня?

Ответ: 75 %.

14

§ 3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИЗ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ВАРИАНТОВ ЕГЭ

ИДРУГИХ ИСТОЧНИКОВ

Взадачах о кредите можно выделить следующие параметры:

a0 – сумма кредита, p % – ставка банковского процента, n – срок, на который выдается кредит, xk – платеж в k-м периоде.

Платежи в погашение кредита определяются договором между кредитором (банком) и заемщиком. Некоторые способы погашения кредита отражены и в задачах ЕГЭ, например, погашение равными платежами, дифференцированными платежами. Заметим, что зная три параметра, можно определить четвертый.

Рассмотрим примеры таких задач.

Задача 1

8 марта Лёня Голубков взял в банке 53 680 руб. на 4 года под 20 % годовых, чтобы купить своей жене Рите новую шубу. Схема выплаты кредита следующая: утром 8 марта следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 20 %), а вечером того же дня Лёня переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа (все четыре года эта сумма одинакова).

Какую сумму сверх взятых 53 680 руб. должен выплатить банку Лёня Голубков за все эти четыре года?

Решение

Пусть a0 53 680 сумма кредита (руб.); ak сумма долга на начало (k 1) -го года; x ежегодная сумма платежа (она одинакова для всех периодов), q 1 0,01p 1,2 ежегодный повышающий коэффициент.

Иллюстративный чертеж

15

Последовательно вычисляем:

Нужно определить сумму переплат, т. е. величину

4x a0 4 20 736 53 780 29 264.

Ответ: 29 264 руб.

Примечание. Лёня Голубков телевизионный персонаж 90-х годов, рекламирующий ОАО МММ, известный знаменитой фразой: «Я не халявщик, я партнер!»

В следующем примере рассмотрена задача в общей постановке с дифференцированными платежами, когда долг каждого текущего периода меньше долга предшествующего периода на одну и ту же величину.

Задача 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму a0 руб. на n

лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на p % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

16

Определите:

а) наибольший и наименьший платежи; б) суммарный платеж; в) переплату в процентах к кредиту.

Решение

Обозначим: a0 – сумма кредита; ak – долг на начало (k + 1)-го года, k 0,1,...,n ; xk – ежегодный платеж в k-м году; q 1 0,01p.

Иллюстративный чертеж

17

xk qak 1 ak an0 (1 0,01p(n k 1));

xn qan 1 an an0 (1 0,01p).

б) Вычислим суммарный платеж:

18

Задача 3

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5 %, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля.

На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение

Пусть 15-го числа текущего месяца долг равен ak , а 15-го числа предыдущего месяца долг равен ak 1 . Тогда в конце предыдущего месяца после начисления процентов долг равен 1,05ak 1 и поэтому выплата в первой половине текущего месяца равна 1,05ak 1 ak .

Значит, в процентах от суммы кредита выплаты составили:

вфеврале 1,05·100 % – 90 % = 15 %,

вмарте 1,05·90 % – 80 % = 14,5 %,

вапреле – 14 %, в мае – 13,5 %, в июне – 13 %,

виюле −1,05·50 % – 0 % = 52,5 %.

Следовательно, общая сумма выплат в процентах составила

(15 + 14,5 + 14 + 13,5 + 13 + 52,5) % = 122,5 %.

Переплата составила 122,5 % – 100 % = 22,5 %.

Ответ: 22,5 %.

Задача 4

В одной стране в обращении находились 1 млн долл., 20 % из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100 тыс. долл. в месяц, 10 % из которых были фальши-

19

выми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 тыс. долл. ежемесячно, из которых 30 % оказывались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5 %?

Решение

Структура долларов:

исходная: 1 000 000 = 200 000(false) + 800 000(true); ввозимые: 100 000 = 10 000(false) + 90 000(true); вывозимые: 50 000 = 15 000(false) + 35 000(true);

фактически ввозятся: 50 000 = 5 000(false) + 55 000(true).

Через n месяцев в обращении будет находиться количество долларов:

1 000 000 + 50 000n = (200 000 5 000n)(false) +

+ (800 000 + 55 000n)(true).

Получаем уравнение для определения числа месяцев n :

Ответ: 20.

Задача 5

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» со-

ставляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года у % годовых, причем известно, что x + y = 30 %. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года по прошествии года вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x, при котором сумма на счете вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение

Пусть ak сумма на счете на начало соответствующего года.

20