Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

Какую сумму Жанна вернет банку в течение первого года кредитования?

41. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн руб. на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину каждый месяц.

Какую сумму Жанна вернет банку в течение первого года кредитования?

42. Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в

первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2ݐ единиц товара; если рабочие на заводе, располо-

женном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за

эту неделю они производят 5ݐ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 руб. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара.

Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

43. 31 декабря 2010 года Дмитрий взял в банке 5,005 млн руб. в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 20 %), затем Дмитрий переводит в банк платеж. Весь долг Дмитрий выплатил за три равных платежа.

На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы выплатил долг за два равных платежа?

44. Оля хочет взять в кредит 100 тыс. руб. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых.

На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 тыс. руб.?

45. Оля хочет взять в кредит 1,2 млн руб. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых.

На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тыс. руб.?

41

46. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9,93 млн руб. в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10 %), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.

Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

47. Компания планирует увеличить выпуск продукции на 10 %. На сколько процентов увеличится чистая прибыль компании, если

отпускная цена продукции возросла на 15 %, а ее себестоимость для компании, которая до этого составляла 75 % отпускной цены, увеличилась на 20 %?

48.На покупку нового домика для Мальвины Буратино взял кредит

вбанке «Карабас и К» на сумму 200 сольдо под 30 % годовых с погашением платежами в конце года равными частями раз в год после

начисления процентов.

На сколько лет взял кредит Буратино, если общая сумма выплат после его погашения составила 470 сольдо?

49. В банке «Карабас и К» Буратино взял кредит на 100 сольдо на 5 лет под 10 % годовых. Условия возврата:

в начале каждого года банк начисляет проценты на сумму текущего долга;

погашение кредита осуществляется равномерными выплатами раз в год после начисления процентов (долг уменьшается на одну и ту же величину).

Сколько сольдо должен выплатить Буратино?

50. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере S (тыс. руб.), где S целое число. Условия возврата:

каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

42

§5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

51.Радиус шара увеличился на 10 %.

Определите процент увеличения: а) площади поверхности шара; б) объема шара.

Ответ: а) 21 %; б) 33,1 %.

52. Длина и ширина кирпича увеличились на 30 % и 20 % соответственно, а высота уменьшилась на 40 %.

Как изменился объем кирпича? Ответ: уменьшился на 6,4 %.

53. Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов.

На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная возросла на 5 %?

Ответ: 20 %.

54. Налог на доходы физических лиц составляет 13 % от заработной платы. После удержания налога работник получил 13 450 руб.

Определите заработную плату работника. Ответ: 15 500 руб.

55. В стране поставили задачу удвоить ВВП за два года.

Сколько процентов должен составить рост ВВП за год? (Результат округлите до целого числа.)

Ответ: ( 2 1)100 % 41% .

56. Антикварный магазин, купив портсигар и статуэтку, продал их, получив 40 % прибыли.

Во сколько раз дороже портсигар обошелся магазину, если на портсигаре было получено 35 % прибыли, а на статуэтке – 60 %?

Ответ: 4. (Отношение x / y определяется из уравнения

0,4(x y) 0,35x 0,6 y ).

57. Салон модной одежды выставил на продажу новую коллекцию одежды, сделав наценку 80 % от закупочной цены. После продажи 75 % всей коллекции салон продал оставшуюся часть со скидкой 60 % от продажной цены.

Сколько процентов от закупочной цены составила прибыль салона? Ответ: 53 %.

58. Иван Петрович открыл счет в банке на сумму 20 тыс. руб. Через год после начисления процентов он пополнил счет на 30 тыс. руб., а еще через год сумма на счете составила 60 тыс. 950 руб.

Определите банковский процент годовых. Ответ: 15 %.

43

59. Статистика знает все. Опрос взрослых жителей города Урюпинска показал, что 10 % всех мужчин предпочитают пить чай из чашек,

30 % из стаканов, для остальных 60 % мужчин посуда значения не имеет. Аналогичная статистика среди женщин такова: 40 %, 15 % и 45 %.

Сколько процентов всех взрослых жителей Урюпинска предпочитают пить чай из чашек, если для 52,2 % из них посуда значения не имеет?

Ответ: 25,6 %. (Решение аналогично разобранной ранее задаче 7 § 3.)

60.Статистика знает все. В городской думе города Урюпинска 60 % всех депутатов считают секвестр полезной мерой для экономики, 30 % − вредной, а остальные 10 % стесняются произносить это слово вслух. В то же время остальные взрослые жители Урюпинска (не являющиеся депутатами) имеют другое мнение: лишь 10 % из них считают секвестр полезным для экономики, 20 % − вредным, а остальные 70 % думают, что секвестр – это садовые ножницы.

Сколько процентов всех жителей Урюпинска считают секвестр полезной мерой для экономики, если вредным его считают 20,01 % из них?

Ответ: 10 %.

61.Фирма намерена учредить фонд для ежегодной выплаты пособий своим работникам.

Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение 8 тыс. руб. неограниченно долго, если банк начисляет 16 % годовых.

Ответ: 50 тыс. руб.

62.Буратино и папа Карло планировали положить свои капиталы на общий счет в банк «Навроде» под 500 % годовых, рассчитывая через год забрать вклад величиной А. Крах банка изменил их планы. Буратино подарил часть своих золотых папе Карло, а остальные положил

вбанк «Обирон», даже не поинтересовавшись процентной ставкой. Папа Карло присоединил полученные золотые к своему капиталу и сделал вклад в банк «Вампириал» под 50 % годовых. Ровно через год они забрали свои вклады. Оказалось, что папа Карло получил А/6, а Буратино – в три раза меньше.

Сколько процентов годовых выплачивает банк «Обирон»? Ответ: 0 %.

Указание. Пусть x, y, z – количество золотых у папы Карло, Буратино и подаренных соответственно, p − процентная ставка.

44

Найдите p из решения системы

(x y) 6 A,

( y z)(1 0,01p) A / 18, p 0%,(x z) 1,5 A / 6.

63.Инвестировано 10 млн руб. Отдача от них составляет 2 млн руб.

вгод. За какой срок окупятся инвестиции, если процентная ставка рав-

на 10 %?

Ответ: 5. Указание. Решите неравенство: 2(qn 1) / (q 1) 10 ,

1,1n 1,5 .

64.Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2 тыс. руб. в сутки, а номер «люкс» 4 тыс. 500 руб. в сутки.

Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 104 тыс. 500 руб.

65.В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия (Al) или никеля (Ni). В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг Al или 0,1 кг Ni. Во второй области для добычи х кг Al в день требуется х2 человеко-часов, а для добычи у кг Ni в день требуется у2 человекочасов. Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг Al приходится 2 кг Ni. При этом области договариваются между собой вести добычу металла так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава.

Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 90 кг.

66.Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 855 квадрат-

45

ных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2 тыс. руб. в сутки, а номер «люкс» – 3 тыс. руб. в сутки.

Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Ответ: 63 тыс. руб.

67.В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия (Al) или никеля (Ni).

Впервой области один рабочий за час добывает 0,3 кг Al или 0,1 кг Ni. Во второй области для добычи х кг Al в день требуется х2 человекочасов, а для добычи у кг Ni в день требуется у2 человеко-часов. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг Al можно заменить 1 кг Ni.

Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Ответ: 165 кг.

68.У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 тыс. руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 тыс. руб. за центнер.

Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ: 69 млн руб.

69.В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия (Al) или никеля (Ni).

Впервой области один рабочий за час добывает 0,2 кг Al или 0,1 кг Ni. Во второй области для добычи х кг Al в день требуется х2 человекочасов, а для добычи у кг Ni в день требуется у2 человеко-часов. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг Al можно заменить 1 кг Ni.

Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Ответ: 300 кг.

70.У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность

46

свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5 тыс. руб. за центнер, а

свеклу по цене 6 тыс руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Ответ: 44 млн руб.

71.Площади полей А и В относятся как 15 : 14 соответственно. После того как было вспахано 73 % площади всех полей, оказалось, что количество оставшихся невспаханных площадей распределено в соотношении 5 : 4 соответственно (в том же порядке).

Сколько процентов площади поля А было вспахано? Ответ: 71 %.

72.Улов рыбака состоял из рыб двух видов в соотношении 5 : 4 соответственно. После того как на рынке было продано 90 % всего улова, оказалось, что оставшиеся рыбы распределены в соотношении 3 : 2 соответственно (в том же порядке).

Сколько процентов рыбы второго вида было продано на рынке? Ответ: 91 %.

73.На каждом из двух комбинатов работает по 180 человек. На первом комбинате один рабочий изготовляет за смену одну деталь А или 2 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А,

иВ) требуется t2 человеко-смен. Оба этих комбината поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, для изготовления которого необходима одна деталь А и одна деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготовлять детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий.

Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 130 изделий.

74.На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготовляет за смену одну деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А,

иВ) требуется t2 человеко-смен. Оба этих комбината поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, для изготовления которого необходима одна деталь А и одна деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготовлять детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий.

Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 161 изделие.

47

75. На каждом из двух комбинатов изготовляют детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготовляет за смену 15 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 160 человек, и один рабочий изготовляет за смену 5 деталей А или 15 деталей В. Оба этих комбината поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, для изготовления которого необходимо 2 детали А и одна деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготовлять детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий.

Сколько изделий при таких условиях сможет собрать комбинат за смену?

Ответ: 560 изделий.

76.В двух шахтах добывают алюминий (Al) и никель (Ni). В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг Al или 3 кг Ni. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг Al или 1 кг Ni. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг Al приходится 1 кг Ni. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава.

Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Ответ: 5400 кг.

77.В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года

вразмере S (млн руб.), где S целое число. Условия возврата кредита:каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с кон-

цом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть кредита;

в июле долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.

48

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая выплата будет меньше 3 млн руб.

Ответ: 5 млн руб.

78. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере S (млн руб.), где S целое число. Условия возврата:

каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть кредита;

в июле долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей.

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая выплата будет меньше 5 млн руб.

Ответ: 8 млн руб.

79. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия возврата кредита таковы:

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на p % по сравнению с концом предыдущего месяца, где p – целое число;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07

Найдите наибольшее значение p, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб.

Ответ: 7.

80. В банке взят кредит 14,7 млн руб. сроком на 5 лет под 10 % годовых. Первые 3 года выплачивались только проценты по кредиту, а последние 2 года оставшийся долг был погашен двумя равными платежами.

49

Определите сумму переплат. Ответ: 6,65 млн руб.

81.Григорий владеет двумя заводами в разных городах. На заводах производят абсолютно одинаковые товары, но на втором заводе ис-

пользуется более совершенное оборудование. Если рабочие на первом заводе суммарно трудятся t2 часов в неделю, то они производят t единиц товара. Если рабочие на втором заводе суммарно трудятся t2 часов в неделю, то они производят 2t единиц товара. За каждый час работы (на каждом заводе) рабочему платят 500 руб. На оплату труда рабочих выделяется 30 250 000 руб. в неделю.

Какое наибольшее число единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Ответ: 550 единиц.

82.15-го числа планируется взять кредит в банке на сумму 3,6 млн

руб. на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Ответ: 2,133 млн руб.

83. Степан хочет взять хочет взять в кредит 1,2 млн руб. под 10 % годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов.

На какое минимальное число лет Степан может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тыс. руб.?

Ответ: 6.

84. 15-го числа планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

50