Математика. Решение задач экономического содержания профильного уровня ЕГЭ. Учебное пособие

В данном случае целочисленные решения линейного уравнения

S(t) 3060 120t max.

Максимальное значение S(t) будет при минимальном значении

tmin 14 :

Smax S(14) 3060 120 14 1380.

При этом x = 136 – 7 · 14 = 38, y = 5 · 14 = 70 удовлетворяют ограничениям. Максимальное количество изделий равно Nmax

Smax /3 1380 / 3 460.

Ответ: 460.

Задача 11

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 м2. Площадь, отводимая под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб. в сутки, а номер «люкс» 4000 руб. в сутки.

Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

Решение

Пусть x, у количество стандартных и номеров «люкс» соответственно, S(x, y) функция прибыли. Математическая модель задачи:

S(x, y) 2000x 4000 y max ,

27x + 45y = 981 ограничение по площади,

x, y N0 неотрицательные целочисленные значения.

31

Целочисленные решения линейного уравнения можно записать в виде

S(t) 2000(43 t) max.

Максимальное значение S(t) принимает при минимальном значе-

нии t = 0. При этом x = 3, y = 20, S(0) = 86 000.

Ответ: 86 000 руб.

§4. ЗАДАЧИ ИЗ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ТЕСТОВ ЕГЭ

1.В июле планируется взять кредит на сумму 8,052 млн руб. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Сколько рублей нужно платить ежегодно, чтобы кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами (т. е. за 4 года)?

2. 31 декабря 2010 года на развитие бизнеса Дмитрий взял в банке 9,930 млн руб. в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 10 %), а затем Дмитрий переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Дмитрий выплатил долг тремя равными платежами?

3. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,16 млн руб.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен тремя равными платежами (т. е. за 3 года)?

32

4. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100 000 руб. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на p % по сравнению с концом

предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Найдите число p , если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55 тыс. руб.,

аво второй 69 тыс. руб.

5.В июле планируется взять кредит на сумму 4,026 млн руб. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (т. е. за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (т. е. за 2 года)?

6. 31 декабря 2010 года на развитие бизнеса Сергей взял в банке 5,005 млн руб. в кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 20 %), а затем Сергей переводит в банк платеж. Весь долг Сергей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он отдал бы банку, если бы выплатил долг за 2 равных платежа?

7. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн руб. на некоторый срок. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн руб.?

8. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн руб. на 5 лет. Условия его возврата таковы:

33

каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Сколько миллионов рублей составит общая сумма выплат после погашения кредита?

9. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет должен быть взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 47 млн руб.?

10. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн руб. на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на p % по сравнению с концом

предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите р, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,9 млн руб., а наименьший – не менее 0,5 млн руб.

11. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 16 млн руб. на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

34

На сколько лет должен быть взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 40 млн руб.?

12. 15 января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия погашения:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет переплата за весь срок кредитования?

13. 15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия погашения кредита:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

5-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. руб.

Какую сумму нужно вернуть банку за весь срок кредитования? 14. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1,3 млн руб.

Условия его возврата таковы:

каждый январь долг возрастает на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;

с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

На какое минимальное количество лет можно взять кредит при условии, что ежегодные выплаты будут не более 350 тыс. руб.?

15. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма после полного погашения кредита на 20 % больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

35

16. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 тыс. руб. Схема выплаты кредита следующая:

1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 1 %), а затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж.

На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более

300 тыс. руб.?

17. Зависимость объема Q (в штуках) купленного у фирмы товара

от цены Р (в рублях за штуку) выражается формулой Q = 15 000 P, 1000 ≤ P ≤ 15 000. Доход D от продажи товара составляет P · Q руб. Затраты S на производство Q единиц товара составляют 3000Q + + 5000 руб.

Прибыль W равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.

Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20 %, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

18. Строительство нового завода стоит 78 млн руб. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5х2 + 2x + 6 млн руб. в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в миллионах рублей) за

один год составит px (0,5x2 2x 6) . Когда завод будет построен,

фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей.

При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 3 года?

19.В банк был положен вклад под банковский процент 10 %. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 руб., а еще через год снова внес 2000 руб. Однако вследствие этих действий через три года после первоначального вложения вклада он получит сумму меньше запланированной, если не будет промежуточных операций с вкладом.

На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?

20.Семён Кузнецов планировал вложить все свои сбережения на сберегательный счет в банк «Навроде» под 500 %, рассчитывая через год забрать А руб. Однако крах банка «Навроде» изменил его планы,

36

предотвратив необдуманный поступок. В результате часть денег Кузнецов положил в банк «Первый муниципальный», а остальные – в банку из-под макарон. Через год «Первый муниципальный» повысил процент выплат в два с половиной раза, и Кузнецов решил оставить вклад еще на год. В итоге размер суммы, полученной в «Первом муниципальном», составил А/6 руб.

Определите, какой процент за первый год начислил банк «Первый муниципальный», если в банку из-под макарон Семён «вложил»

2А/27 руб.

21. Банк планирует вложить на один год 30 % имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70 % – в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32 до 37 % годовых, а второй проект – от 22 до 27 % годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10 до 20 % годовых.

Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может получить при этом банк.

22.Транснациональная компания «Amoco inc.» решила провести недружественное поглощение компании «First Aluminum Company» (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что «Amoco inc.» было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных «Amoco inc.» акций поглощаемой компании увеличивалось на 20 %.

Определите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций «First Aluminum Company», если начальное предложение составило $27 за одну акцию, а количество акций, выкупленных по второй цене, 15 тыс.

23.В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положило эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26 % по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10 % ежемесячно.

37

На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

24.Вкладчик внес некоторую сумму в Сбербанк под определенный процент годовых. Через год он взял половину получившейся суммы и переложил ее в коммерческий банк, процент годовых которого в 32 раза выше, чем в Сбербанке. Еще через год сумма вкладчика в коммерческом банке превысила вложенную туда первоначальную сумму на 4 %.

Каков процент годовых в Сбербанке?

25.В банк помещена сумма 3900 тыс. рублей под 50 % годовых.

Вконце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725 %.

Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

26.Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21 % превышающую величину полученного кредита.

Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

27.Клиент А сделал вклад в банке в размере 5200 руб. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент В. Еще ровно через год клиенты А и В закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А получил на 572 руб. больше клиента В.

Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

28.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 %. К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад.

Каков процент новых годовых?

29.В начале года в банк было положено 1640 руб. и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на счете снова оказалось

882 руб.

38

Сколько процентов годовых начисляет банк?

30.Заработная плата некоторой категории служащих повышалась два раза, причем процент повышения во второй раз был в два раза больше, чем в первый.

Определите, на сколько процентов повышалась заработная плата каждый раз, если до первого повышения зарплата была 7000 руб., а после второго она составила 9240 руб.

31.Ценные бумаги стоят 11 тыс. руб., и их цена каждый год повышается на 4 тыс. руб. В конце каждого года в течение 15 лет бумаги можно продать, а вырученные от продажи деньги поместить в банк под 10 % годовых.

В каком году следует продать ценные бумаги, чтобы прибыль к концу 15-го года была наибольшей?

32.Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят

k 2 тыс. руб. в конце k-го года ( k 1,2,...,n ). В конце любого года ПФ

может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банк, при этом в конце каждого года сумма на счете увеличивается на 10 %.

В конце какого года ПФ следует продать ценные бумаги, чтобы в конце 25-го года сумма на счете была наибольшей?

33.Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 20 %), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет.

Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 тыс. руб.?

34.Максим хочет взять в банке кредит 1,5 млн руб. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последнего) после начисления процентов. Процентная ставка 10 % годовых.

На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тыс. руб.?

35.31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1 млн руб. в кредит. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два

39

транша, т. е. за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660 тыс. руб., во второй раз – 484 тыс. руб.

Под какой процент банк выдал кредит Валерию?

36.31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2 млн 928,2 тыс. руб.

Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, т. е. за 4 года?

37.31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8,599 млн руб. в кредит под 14 % годовых. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на 14 %), затем Роман переводит в банк Х рублей.

Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (т. е. за 3 года)? (Ответ дайте в рублях.)

38.15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1 % по сравнению

сконцом предыдущего месяца;

со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958,5 тыс. руб.

Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

39. 31 декабря 2016 года Игорь взял в банке 1 млн руб. в кредит. Схема выплаты кредита: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е. увеличивает долг на а %), а затем Игорь переводит в банк очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 580 тыс. руб., во второй 621,5 тыс. руб.

Определите процент годовых.

40. Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн руб. на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину каждый месяц.

40