Математика. Линейная алгебра. Учебное пособие

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

российский государственный университет правосудия

Aхметгaлиевa В. Р. Гaляутдиновa Л. Р. Гaляутдинов М. И.

МAТЕМAТИКA ЛИНЕЙНAЯ AЛГЕБРA

Учебное пособие

Москва

2017

Содержание

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1.3.Метод Крамера решения систем линейных уравнений . . . . . . . 9

1.4.Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.Задачи для решения на занятии . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.Задачи для решения на самостоятельной работе . . . . . . . . . 14

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

2.1.Матрицы, действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.Матричный метод решения систем линейных уравнений . . . . . 20

2.4. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.Задачи для решения на занятии . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.Задачи для решения на самостоятельной работе . . . . . . . . . 26

Глава 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

3.1. Ранг матрицы, элементарные преобразования матрицы . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.Задачи для решения на занятии . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.Задачи для решения на самостоятельной работе . . . . . . . . . 34

Глава 4. Различные методы решения системы линейных уравнений . . . . . . 35

4.1. Решение систем линейных уравнений методами: Крамера, матричным, Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.Задачи для решения на занятии . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.Задачи для решения на самостоятельной работе . . . . . . . . . 37

Приложение «Справочная информация»

Таблица 1. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Таблица 2. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Таблица 3. Основные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Варианты контрольных работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Тестовые задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3

Глава 1.

Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

1.1. Матрицы и определители

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов. Каждый элемент aij матрицы имеет двойной номер: i – номер строки, j – номер столбца на пересе чении которых стоит этот элемент. Например, a34 стоит на пересечении третьей строки и четвертого столбца.

Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка

Для квадратной матрицы вводится понятие определителя (детерми нанта) матрицы.

Определителем матрицы A n-го порядка называется число

4

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

вычисляемое с помощью определенного правила. Рассмотрим эти правила для случаев n =2 и n =3 .

Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу

он равен разности между произведением элементов, стоящих на главной диагонали, и произведением элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определитель третьего порядка вычисляется по следующему правилу

Для вычисления определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом Саррюса («треугольников»), имеющего вид

Произведение элементов, вычисленных по схеме «+», входят в сумму со своими знаками, а по схеме «–» с противоположными знаками.

Пример 1.1. Вычислить определители

Решение. Согласно правилу вычисления определителей, находим:

5

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Минором Mij элемента aij определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij .

Например,

Aлгебраическим дополнением Aij элемента aij называется произведе ние минора Mij на (−1)i+ j

Aij =(−1)i+ j Mij .

Например, A2 3 =(−1)2+3 M2 3 = −M2 3; A3 3 =(−1)3+3 M3 3 = M3 3.

Теорема 1.1. (о разложении определителя по элементам строки или столбца).

Определитель равен сумме произведений элементов какой либо стро ки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 1.2. Вычислить минор M32 и алгебраическое дополнение A32 определителя

2 0 −1

∆ = −3 1 1 0 −4 5

и вычислить определитель разложением его по элементам первой стороны.

Решение. На пересечении третьей строки и второго столбца находится элемент a32 = −4. Найдем его минор и алгебраическое дополнение

Вычислим определитель, раскладывая его по элементам первой строки

6

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

=2 (5+4)−0 (−15−0)−1 (12 −0) =18−12 =6.

1.2. Свойства определителей

Свойства справедливы для определителей любого порядка, но про иллюстрируем их для определителей третьего порядка. Они легко про веряются с помощью непосредственного вычисления определителей.

1.Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами,

астолбцы строками, сохраняя их порядок

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю

a11 a12 a13

a11 a12 a13 =0. a31 a32 a33

4) Если все элементы строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя

5. Определитель, имеющий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю

7

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

a11 a12 a13

a21 a22 a23 =0.

0 0 0

6. Определитель можно разложить в сумму определителей по следу ющему правилу

7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умно женные на одно и то же число

Пример 1.3. Вычислить определитель, используя его свойства

1 −1 1 ∆ = 5 0 −1. 1 −3 2

Решение. Преобразуем определитель к такому виду, чтобы в первой строке элементы a12 и a13 равнялись нулю. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем вычтем из третьего, получим

Теперь вычислим определитель разложением его по первой строке

8

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пример 1.4. Вычислить определитель четвертого порядка

32 −1 −2

Решение. Вычисление определителя четвертого порядка сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка, используя те орему о разложении определителя. Однако, можно предварительно преобразовать определитель, «обнуляя», например, первую строку. Для этого первый столбец прибавим ко второму, а затем, умножим его на (— 2) и прибавим к третьему. Получим

Аналогично «обнулим» первый столбец и вычислим определитель

1.3. Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

a11x +a12 y =b1, (1)a21x +a22 y =b2. (2)

Решением системы называется пара чисел (x, y), удовлетворяющая уравнениям системы.

Введем определители:

9

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Определитель ∆ называется определителем системы, ∆x, ∆y получают ся из определителя ∆ заменой одного из столбцов на столбец свободных членов.

Решение системы находится по формулам x = ∆∆x , y = ∆∆y .

Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Данные формулы для решения системы называются формулами Крамера (правилом Крамера). Оно (правило) распространяется на систему n линейных уравнений с n неизвестными.

По количеству решений системы делятся на три вида:

1)система не имеет решений (несовместная система);

2)система имеет решение (совместная система). Такие системы также делятся на два вида:

а) система имеет единственное решение (определенная система); б) система имеет множество решений (неопределенная система).

Используя формулы Крамера, можно провести исследование системы:

1)если ∆ ≠ 0 , то система имеет единственное решение;

10