Математика. Линейная алгебра. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

называется:

Матрица A =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Приложение

3. Найти ранг rA матрицы

A =(aij )n×n

С помощью элементарных преобразований строк:

1)умножение строки на число,

2)перемена строк местами,

3)прибавление строки, умноженной на чи сло, к другой строке,

преобразовать матрицу A к треугольному виду

b11		b12	b1k		b1k+1	b1n

0		b22	b2k		b2k+1	b2n


A ~	0	0	bkk		bk k+1	bkn

	0	0		0	0		0



	0	0		0	0		0

rA = k

Варианты контрольных работ

Вариант № 1

1. Вычислить определитель третьего порядка, используя свойства определителя, получить в какой либо строке или столбце нули (кроме одного элемента) и разложить определитель по элементам этой строки или столбца

1 3 −1

1 2 4 −2 −5 2

Решение.

1) Прибавив третий столбец к первому, получим два нуля в первом столбце

0 3 −1

5 2 4

0 −5 2

2) Теперь вычислим определитель разложением его по первому столбцу

0	3	−1	=5 (−1)	2+1	3 −1	= −5 (6 −5)= −5
0	3	−1
5	2	4
5	2	4			−5 2
0	−5	2
0	−5	2

Варианты контрольных работ

2. Задача. Решить систему линейных уравнений

	x − y +2z = −5,
	3x +z =1,
	3x +z =1,

−x +2y −3z =9

методом Крамера.

Решение (формулы (4.1)1).

1) Составим и вычислим определители:

D =	1			−1	2	=0 +1+12 −0 −2 −9 =2,

	3 0				1
	−1			2	−3
Dx =			−5	−1	2			=0 −9 +4 −0 +10 −3 =2,

			1 0		1
			9	2	−3
Dy =			1	−5	2			= −3+5+54 +2 −9 −45 =4,

			3	1	1
			−1	9	−3
Dz =		1		−1	−5		=0 +1−30 −0 −2 +27 = −4.

		3 0			1
			−1	2	9

2)Исследуем систему. Так как D ≠ 0 , то система имеет единственное решение.

3)Найдем решение системы:

x = DDx = 22 =1, y = DDy = 42 =2, z = DDz = −24 = −2.

Ответ: (1, 2, — 2).

1 Первaя цифрa обознaчaет номер тaблицы, вторaя — номер строки в ней.

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Вариант № 2

6 1 −2 −3 2 1 5 −1 −2

Ответ: –5.

2. Задача. Решить систему линейных уравнений

x − y +2z =5,

2x + y =0,

−x + y +4z =1 методом Крамера. Ответ: (1, −2,1) .

Вариант № 3

1. Вычислить определитель третьего порядка, используя свойства опре делителя, получить в какой либо строке или столбце нули (кроме одного элемента) и разложить определитель по элементам этой строки или столбца

−4 3 −1 1 −2 3 7 1 2

Ответ: –5.

2. Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

	x +2y +z =1,
	−x +4z = −11,
	−x +4z = −11,

3x +4y +3z =3

Ответ: (3, 0, −2) .

Варианты контрольных работ

Вариант № 4

1. Найти ранг матрицы

−1 4			0	1
	1	−5	1	0

	3	−1	7	2

Решение. Используя элементарные преобразования строк матрицы, приведем матрицу A к треугольному виду, образуя нули под главной ди агональю. Для этого:

1)первую строку прибавим ко второй;

2)умножив первую строку на 3, прибавим к третьей;

3)умножив вторую строку на 11, прибавим к третьей; В результате получим

−1 4			0	1	−1 4			0	1	−1 4			0	1	−1 4			0	1
		−5					−1					−1					−1
	1	−5	1	0		0	−1	1	1		0	−1	1	1		0	−1	1	1
	3	−1	7	2		3	−1	7	2		0	11	7	5		0	0	18 16
	3	−1	7	2		3	−1	7	2		0	11	7	5		0	0	18 16

		−1	4	0
		−1	4	0
Так как минор третьего порядка		0	−1	1	=18 не равен нулю,
то ранг матрицы равен 3.		0	0	18
то ранг матрицы равен 3.
2. Задача. Решить систему линейных уравнений
	x − y +2z = −5,
	3x +z =1,
	3x +z =1,

−x +2y −3z =9 методом Гаусса.

Решение (формулы (4.3)).

1)Запишем расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду

спомощью элементарных преобразований строк:

		1 −1		2		−5				1		−1 2			−5
		1 −1		2		−5				1		−1 2			−5
								~				3 −5				~

A =			3 0	1		1					0			16
			−1 2	−3							0	1 −1
						9					0			4
						9								4
	1 −1 2				−5			1 −1				2	−5
	1 −1 2				−5			1 −1				2	−5
			1 −1				~					−1

~		0			4				0		1		4		= B.
		0 3 −5			16				0 0			−2	4
					16				0 0

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

2)Исследуем систему. Из рассмотрения матрицы B видно, что rA = rB =3. Следовательно, система имеет единственное решение.

3)Составим систему с расширенной матрицей B и решим ее:

x − y +2z = −5,		x =1,
	y −z = 4,
	y −z = 4,	y =2,
	−2z = 4,
	−2z = 4,	z = −2.

Ответ: система имеет единственное решение x =1, y =2, z = −2.

Вариант № 5		1		2	−2	1

1.			−1	−3	−6	1
	Найти ранг матрицы
			4	−1	7	−3
Ответ: 3.

2. Задача. Решить систему линейных уравнений

	x − y +2z =5,
	2x + y =0,


−x + y +4z =1
методом Гаусса.
Ответ: (1, −2,1).

Вариант № 6		1		1	−4	1

1.			2	3	0	−1
	Найти ранг матрицы
			−1	−1	8	−2
Ответ: 3.

2. Задача. Решить систему линейных уравнений

	x +2y +z =1,
	−x +4z = −11,
	−x +4z = −11,

3x +4y +3z =3 методом Гаусса. Ответ: (3, 0, −2).

Тестовые задания

Матрицы и определители

1.Определитель 2 −5

1)–7;

2)–23;

3)2;

2.	4) 23.			a11
	4) 23.			a11
	Определитель			a21
a	a	−2a		a31
11	12	13
a	a	−2a	равен…
21	22	23
a	a	−2a
31	32	33

равен

a12 a13

a22 a23 =3. Тогда определитель матрицы

a32 a33

1)–2;

2)6;

3)–6;

4)–5.

3. Определитель		1	a	=0 при a =?
		−3	6
1)	2;
2)	–2;
3)	3;

4) 1.

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

2−4 =0 при a =?

1)2;

2)–2;

3)3;

4)1.

5.При замене некоторой строки невырожденной квадратной матри цы на сумму этой строки и какой то другой, умноженной на число α, определитель.

1)не изменится;

2)поменяет знак;

3)уменьшится в α раз;

4)станет равным нулю;

5)увеличится в α раз.

6.Если поменять местами две строки (два столбца) квадратной ма трицы, то определитель:

1)поменяет знак;

2)станет равным нулю;

3)не изменится;

4)увеличится в два раза.

	1		0	0
7.		0	1	0	называется:
	Матрица A =

0 2

1)единичной;

2)квадратной;

3)невырожденной;

4)обратной;

5)матрица треугольного вида.0

1)единичной;

2)квадратной;

3)транспонированной;

4)невырожденной;

5)матрица треугольного вида.

Тестовые задания

1)единичной;

2)квадратной;

3)транспонированной;

4)невырожденной;

5)матрица треугольного вида.

		1		1	1	1
			0	2	3	2
10. Определитель матрицы							равен:
			0	0	2	1
1)	не существует;		0	0	4	2

2)	–2;

3)	0;
4) 8.		1		1	1	1
			0	5	3	2
11. Определитель матрицы							равен:

1)не существует; 0 0

2)–5;

3)0;

4)–10.

12.Понятие определителя введено для матрицы:

1)единичной;

2)квадратной;

3)транспонированной;

4)обратной;

5)матрицы треугольного вида. 20 1−1

		1		2	3
13. Минор элемента a	матрицы A =		3	5	−2	равен:
23
			4	2	−1
			4	2	−1

1) M	23	=	1	3	; 2) M	23	= −	1	2	; 3) M	23	= −	1	2	; 4) M	23	=	1	2	.
	23		3	−2		23		4	2		23		3	5		23		4	2
			3	−2				4	2				3	5				4	2

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

		1		2	3
14. Минор элемента a	матрицы A =		3	5	−2	равен:
13
			4	2	−1
			4	2	−1

1) M	13	= −			1 2		; 2) M			31	=		1 2		; 3) M		13	= −			3 5			; 4) M		13		=	3 5		.
	13				3	5				31			3	5			13				4	2				13			4	2
					3	5							3	5							4	2							4	2
																											1		2		3
15. Aлгебраическое дополнение элемента a																				матрицы A =								3	5		−2
																		12
равно:																												4	2		−1
равно:																												4	2		−1
1) A = −				2 3					; 2) A =			3 −2				; 3) A =			4 −1				; 4) A = −						3 −2			.
1) A = −				2 3					; 2) A =			3 −2				; 3) A =			4 −1				; 4) A = −						3 −2			.
12				2 −1					12			4 −1				12			3 −2				12						4 −1
				2 −1								4 −1							3 −2										4 −1
16. Назовите способ нахождения определителя ∆ =																									2		−1		0	=
																									2		−1		0
																									1			1	3
												2 −1								2 −1					−2			3	1
1+3			1 1					2+3				2 −1					3+3			2 −1
=0 (−1)			−2 3			+		3 (−1)			−2			3		+1 (−1)				1		1	=

=0 −3 (6 −2) +1 (2 +1) = −9

1)правило Саррюса;

2)приведение к треугольному виду;

3)разложение определителя по элементам строки (столбца);

4)матричный метод.

17.	Назовите способ нахождения определителя
		1	0	−1	2			1	0	−1	2
		1	0	−1	2			1	0	−1	2
∆ =		0	1 −2 1			=		0	1 −2 1			=
		1	−1 0		2			0	−1 1		0
		1	2	1	3			0	2	2	1
1			0	−1 2			1		0	−1 2

=	0		1 −2		1	=		0	1 −2 1			=1 1 (−1) 5 = −5
	0		0	−1 1				0	0	−1 1

	0		0	6 −1				0	0	0 5

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]