Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Линейная алгебра. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Глава 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

3. Составить систему линейных уравнений с расширенной матрицей B, которая равносильна системе (1.5). Найти из этой системы последо

вательно xk , xk−1, xk−2, , x2, x1 — решения заданной системы.

Вопрос о существовании решения системы (1.5) рассмотрен в следу ющей теореме.

Теорема Кронекера — Капелли.

Система линейных уравнений (1.5) имеет решение (система совмест ная), если ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы r(A) = r(A), причем:

1)если r(A) = r(A) = n, то система имеет единственное решение;

2)если r(A) = r(A) < n, то система имеет множество решений.

Пример 3.2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

x − y −z =2,

3x +2y +z =5,

2x + y +2z =5.

Решение. Составим расширенную матрицу A системы, добавив к ос новной матрице A столбец свободных членов. Затем с помощью элемен тарных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду

		1 −1 −1			2		1 −1 −1				2	1 −1 −1		2
		1 −1 −1			2		1 −1 −1				2	1 −1 −1		2
					5				0 5 4				0 15 12	−3	~

A = 3 2 1											−1
					5				0 3 4				0 15 20	5
		2 1 2			5				0 3 4		1		0 15 20	5
		2 1 2									1
	1		−1 −1	2			1			−1 −1	2
	1		−1 −1	2			1			−1 −1	2
		0	15 12	−3				0		5 4

						~					−1 = B.
		0	0 8	8				0		0 1
		0	0 8	8				0		0 1	1
											1

Определим число решений системы. Для этого найдем ранг основной матрицы rA =3, ранг расширенной матрицы rA =3. Следовательно, си стема имеет решение, согласно теореме Кронекера — Капелли. Так как число неизвестных n =3, а значит rA = rA = n, то система имеет единст венное решение. Для этого запишем систему, соответствующую матрице B и решим ее, получим

x − y −z =2,		x =2,

5y +4z = −1,		y = −1,

z =1.		z =1.

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Пример 3.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

x + y +z =1,

2x +3y +4z =5,

x −z = −2.

Решение. Составим расширенную матрицу A и приведем ее к треу гольному виду

	1		1	1	1	1 1			1	1	1 1			1	1


		2 3		4	5		0	1	2	3		0	1	2	3	= B.
A =
		1	0	−1	−2		0	−1 −2		−3		0	0	0	0

Так как rA =2,rA =2, n =3, то есть rA = rA < n, то по теореме Кронекера — Капелли система имеет бесчисленное множество решений. Найдем это множество. Для этого запишем систему уравнений, соответствующую матрице B

x + y +z =1,x +2y =3.

Положим z =t. Подставим это значение в систему и выразим x, y

через t
x + y +t =1,	y = −2 +t,
		−2t.
x +2t =3	x =3	−2t.

Получено решение x =3−2t, y = −2 +t, z =t при любом действитель ном значении t.

3.3. Контрольные вопросы

1.Что называется минором матрицы?

2.Что называется рангом матрицы?

3.Какие преобразования матрицы называются элементарными пре образованиями?

4.Сформулируйте способ нахождения ранга матрицы.

5.Сформулируйте теорему Кронекера — Капелли.

6.В чем состоит метод Гаусса? Сформулируйте схему его применения.

7.Для решения каких систем применяется метод Гаусса.

Глава 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

3.4. Задачи для решения на занятии

Найти ранг матрицы:

	−1		1	1
3.1.		3	−2
				−1 ;
		1	−1
				−1
	−1 2			0	1
3.2.		1	3	1	3
						;
		3	−1	1	2

	1 −2			−1	3
3.3.		−1 2		1	−3
							.
		3	−6	−3	9

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

3.4.	4x − y = −16,	3.5.	–x +6y =8,
3.4.		3.5.
	3x +2y = −1.		2x +3y =14.

5x + y = −7,

3.6.

7x −3y = −1.

x −2y −z =1, 3.8. x +3y +z =2,

x −4y −2z = −1.

2x − y −z =4,

3.103x +4y −2z =11,

3x −2y +z =8.

3x − y −z =1,

3.12x +2y +z =2,

3x −8y −5z =3.

–5x +3y =9,

3.7.

x −4y =5.

x +3y −2z =8, 3.9. 4x +5y −z =11,x − y +5z = −7.

x −2y −z =1,

3.11. 2x + y +2z =5,

x −7y −5z = −2.

3x −2y +3z +t = −8,

3.13.2x −3y +z −2t = −1,3x + y −2z +t =7,

4x +2y −3z −2t =14

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

3.5. Задачи для решения на самостоятельной работе

Найти ранг матрицы
	1		−1	0 0			2 1		−3	3
3.14.		3	−1	−2 2		3.15.		1 −1	0	1
					;						.
		0	1	−1 1				3 1	2
										−1

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:

3.16.	x −3y = −9,	3.17.	–3x +4y =14,
3.16.		3.17.
	x + y =7.		x −3y =8.

3.18.	2x +9y =7,

	−8x + y =9.
	x − y +z =0,
3.20.
	3x −4z = −15,
		y +2z =8.

–x + y +2z = −1,

3.22.−x +3y −2z =1,2x −2y +z =2.

3x +4y =2,

3.19.

2x −3y =7.

2x −3y −z =12,

3.21. 3x +5y −2z = −1,

4x + y +z =10.

x −2y +z =0,

3.23. 2x +3z =8,

3x +4y −z = −6.

Глава 4.

Различные методы решения системы линейных уравнений

4.1. Решение систем линейных уравнений методами: Крамера, матричным, Гаусса

Для решения систем линейных уравнений

a11x +a12 y +a13z = h1,a21x +a22 y +a23z = h2,a31x +a32 y +a33z = h3,

изучены три метода решений: Крамера, матричный, Гаусса. Содержа ния методов и последовательность их использования отражены в следу ющей таблице.

Решение систем линейных уравнений

Название

Метод, исследование

1. Метод

1) Составить и вычислить определители

Крамера

a11

a12

a13

a12

a13

∆ =

a21

a22

a23

, ∆x =

a22

a23

a31

a32

a33

a32

a33

∆y =

a11

a13

, ∆z =

a11

a12

a21

a23

a21

a22

a31

a33

a31

a32

Продолжение таблицы 

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Продолжение таблицы

2) Исследовать систему:

а) ∆ ≠ 0 система имеет единственное решение; б) ∆ =0 система либо имеет бесчисленное множество решений, либо не имеет решения.

3) Если ∆ ≠ 0 , то найти решение системы по формулам

x =

∆

x ,

y =

∆y

, z =

∆

2. Матричный 1) Составить матрицы

метод

a11

a12

a13

A =

a a

X =

H =

(AX = H — запись системы в матричном виде).

2)Найти A =det A и исследовать систему.

3)Если A ≠ 0, то построить обратную матрицу A−1.

4)Отыскать столбец решений X по формуле X = A−1H .

3. Метод

1) Записать расширенную матрицу A и привести ее к треу

Гаусса

гольному виду B :

= a21

a22

a23

b22

b23

= B

0 b

2)Провести исследование системы по теореме Кронекера —

Капелли:

а) rA = rA =3 система имеет единственное решение;

б) rA = rA <3 система имеет бесчисленное множество ре шений;

в) rA ≠ rA система не имеет решений.

3)Если rA = rA, то записать систему с расширенной ма трицей B

b x +b y +b z = g ,
	11	12	13	1
		b22 y +b23z = g2,
			b33z = g3
			b33z = g3

и решить ее.

Глава 4. Различные методы решения системы линейных уравнений

4.2. Контрольные вопросы

1.Что называется основной матрицей системы, расширенной матри цей системы, определителем системы?

2.Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

3.Запишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений.

4.Что называется обратной матрицей и как найти обратную матрицу?

5.Какой вид имеет линейная система в матричном виде и как запи сывается решение системы матричным методом?

6.Что называется элементарными преобразованиями матрицы?

7.Что называется рангом матрицы? Как он вычисляется?

8.Сформулируйте последовательность нахождения решения линей ной системы методом Гаусса.

4.3. Задачи для решения на занятии

Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Кра мера, матричным методом, методом Гаусса.

	x − y +z = −1,		x + y +z =2,
4.1.		4.2.
4.1.	−3x +2z =3,	4.2.	x − y =3,

	2x +4y +z =3.		x −z =1.
	2x +4y +z =0,		x + y +z =3,
4.3.		4.4.
4.3.	x − y +3z =5,	4.4.	−x +2y = −10,

	−3x +2z =7.		−x − y +3z =5.

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

	x − y +3z =4,		x + y −3z =1,
4.5.		4.6.
4.5.	2x + y −z = −2,	4.6.	x −2y −z =2,
	x +5y −11z = −16.		5x − y −11z =10.

4.4. Задачи для решения на самостоятельной работе

Решить систему линейных уравнений тремя методами: методом Кра мера, матричным методом, методом Гаусса

x −2y +z =4,

4.7.x +3z =2,

y −z = −3.

x +3z = −1,

4.8.x − y +z =0,

2x −3y =1.

Приложение

Справочная информация

Определители

Все основные определения и положения относительно определителей приведены в таблице «Определители»

Таблица 1. Определители

Понятия

Определение, обозначение, формула

1. Определитель 2 го

∆ =

a11

a12

=a a −a a

порядка.

a21

a22

2. Определитель 3 го

a11

a12

a13

порядка.

∆ =

a21

a22

a23

= a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −

a31

a32

a33

−a13a22a31 −a12a21a33 −a11a23a32

3. Правило треуголь

ника (Саррюса).

4. Минор Mij

Mij — определитель, полученный после вычеркива

элемента aij

ния i-ой строки и j-го столбца определителя ∆.

определителя ∆.

a =a M

a12

a13

a12

a13

a32

a33

						Приложение


	Понятия			Определение, обозначение, формула

5. Aлгебраическое				A =(−1)i+ j M
дополнение Aij
				ij		ij

элемента a ij
6. Разложение				Определитель равен сумме произведений элементов
определителя				строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
	a11	a12	a13	а) Разложение по элементам первой строки:

				∆ =a11 A11 +a12 A12	+a13 A13 .
∆ =	a21	a22	a23
				б) Разложение по элементам второго столбца:
	a31	a32	a33
				∆ =a12 A12 +a22 A22	+a32 A32 .
по элементам строки
или столбца.

Матрицы

Понятие матрицы и действия над матрицами приведены в таблице «Матрицы»

Таблица 2. Матрицы

	Понятие	Определение, обозначение, формула

1.	Матрица	Таблица	a11	a12	a1n
			a11	a12	a1n
		A =(a )	= a21	a22	a2n ,
		ij m×n
			a	a	a
			m1	m2		mn
		состоящая из m строк и n столбцов. Элемент
		aij стоит в i-ой строке, в j-ом столбце

2.	Сумма матриц	Матрица A +B =(aij			+bij )m×n
A =(aij )m×n и B =(bij )m×n
3.	Произведение матрицы	Матрица λA =(λaij )m×n
A =(aij )m×n на число λ
4.	Произведение матриц	Матрица C = AB =(cij )m×k, где
A =(aij )m×n и B =(bij )n×k		cij =ai1b1 j +ai 2b2 j + +ainbnj

Продолжение таблицы 2 

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Продолжение таблицы 2

Понятие

Определение, обозначение, формула

5. Матрица, обратная

Матрица A−1 : A A−1 = A−1 A = E, где

к матрице A =(aij )n×n

(обратная матрица).

E =

— единичная матрица

6. Транспонирование

Матрица AT =(aijT ), где aijT =aji

матрицы A =(aij )m×n (транс

понированная матрица)

7. Минор k-го порядка

Определитель k-го порядка, полученный

матрицы A =(aij )m×n

из матрицы A после вычеркивания из нее

(m −k) строк и (n −k) столбцов

8. Ранг матрицы A =(aij )m×n

Целое число rA ≥0 — наибольший порядок

минора матрицы, отличного от нуля

Таблица 3. Основные задачи

Задача

Способ решения

1. Найти детерминант

a11 a12

a1n

матрицы A =(aij )n×n

a21 a22

a2n

=det A =

an1 an2

ann

Если det A ≠ 0 , то A — невырожденная

2. Найти матрицу A−1,

=det A ≠ 0;

обратную к невырожденной

=(A )

, где A — алгебраические до

матрице A =(aij )n×n

n×n

полнения

aij

;

— транспонированная матрица;

3) A

−1

3) A

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]