Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Линейная алгебра. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

	a11		a12	a13
Составим три матрицы: A =	a		a	a	– матрица системы;
		21	22	23
x	a		a	a
x		31	32	33

X= y — матрица-столбец решений,

	b1
B =	b		— матрица-столбец свободных членов.
		2
	b
		3

Систему уравнений, используя введенные матрицы, можно записать

a11

a12

a13

в матричной форме

или коротко AX = B.

Предположим, что матрица системы A невырожденная, т.е. A ≠ 0. Тогда существует обратная матрица А−1, на которую умножим левую и правую часть уравнения A−1 AX = A−1B.

Так как A−1 A = E, EX = X , то получим

X = A−1B.

(1.4)

Матричный метод решения системы линейных уравнений:

1) выписать матрицы A, B, X и систему уравнений в матричной форме

AX = B;

2) найти A , убедиться, что A ≠ 0 и найти матрицу А−1;

3) найти матрицу-столбец решений по формуле X = A−1B, выписать значения x, y, z.

Пример 3.1. Решить систему линейных уравнений матричным методом

2x + y =1,

2x −3y =13.

Решение. Решим систему уравнений матричным методом. 1. Запишем три матрицы

2		1		x		1
A =	2	−3	,	X = ,	B =
	2	−3		y	13

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

и систему уравнений в матричной форме AX = B. 2. Найдем определитель матрицы A

= −8.

−3

Так как

≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.

Вычислим

алгебраические дополнения всех элементов матрицы A

и составим из них матрицу A

и ее транспонированную

A11 = −3;

A12 = −2;

21 = −1;

A22 =2.

−3

−2

−3

−1

, AT =

−2

Запишем обратную матрицу в виде

−1

= −

−3

−1

3 8

1 8

−2

1 4

−1 4

3. Найдем решение системы

X = A−1 B =

3 8

1 8

−1 4

1 4

Следовательно, x =2,

y = −3.

Пример 3.2. Решить систему линейных уравнений матричным методом

x + y +z =4,

2x +z =9,

2x +3y −2z = −15.

Решение. Решим систему уравнений матричным методом.

4)	Запишем три матрицы
	1 1			1		x		4

A =		2	0	1	,	X = y ,	B =	9
		2	3	−2				−15
		2	3	−2		z		−15
и систему уравнений в матричной форме AX = B.
5.	Найдем определитель матрицы A

																													Глава 2. Действия над матрицами.
															Решение систем линейных уравнений матричным методом

			=		1				1		1		=9.
					1				1		1
	A				2				0		1
	A				2				0		1
					2				3		−2
Так как									A	≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.
Так как									A	≠ 0, то матрица невырожденная. Найдем обратную матрицу.
Вычислим										алгебраические дополнения всех элементов матрицы A
и составим из них матрицу A																					и ее транспонированную
				3					6			6							3				5		1
					5				−4		−1				T		=			6			−4		1
	A	=			5				−4		−1			,	A		=			6			−4		1		.
					1 1						−2									6			−1	−2
					1 1						−2									6			−1	−2
Запишем обратную матрицу в виде
																		1				5		1
							3							1				3				9		9
							3				5			1				3				9		9
		−1		=	1						−4							2			−		4	1
	A			=	9				6		−4			1		=		3			−		9	9			.
					9				6		−1			−2				3					9	9
									6		−1			−2				2					1		2
																		2			−		1	−	2
																		3			−		9	−	9
																		3					9		9
6. Найдем решение системы
											1			5				1
												3		9				9								2
												3		9				9					4			2
	X = A					−1		B				2		−	4			1										−3
	X = A							B			=	3		−	9			9					9	=				−3	,
												3			9			9				−15						5
												2			1				2			−15						5
												2		−	1		−		2
												3		−	9		−		9
												3			9				9
Следовательно, x =2,																		y = −3,						z =5.

2.4. Контрольные вопросы

1)Что называется матрицей?

2)Что называется суммой матриц, произведением матрицы на число?

3)Какие матрицы можно умножать?

4)Как найти произведение матриц?

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

5)Какая матрица называется невырожденной?

6)Что называется обратной матрицей?

7)Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.

8)Сформулируйте матричный метод решения систем линейных уравнений.

2.5. Задачи для решения на занятии

Выполнить линейные операции над матрицами:
	4			1	−3		2				6	−2	3 0
2.1.		−2		+			;		2.2.				−	−2	;
		−2		3	0		−1				5	−1	4	−2
2.3.	2	2		−1 0		−	1	3 5
2.3.	2					−				;
			3	0 1			−2	4 0
		0		−1		1		−1
2.4.			2	−3			−3	3
2.4.	3		2	−3	−2		−3	3	;
			4	−5			5	−5
			4	−5			5	−5

Найти произведение матриц
2.5. (			3							2			−1 2
2.5. (	2,−1)		;						2.6.		−3				;
			1								−3		−5 3
2.7.	−1 3		−3						2.8.	11			1 −1
2.7.					;				2.8.		−9				;
	2 7			4							−9		2	4
2.9.	1 −4 2					2			2.10.		0		1 −7			1
2.9.							;		2.10.							;
	2 0 3				−1							2	−1 2			0
			4								2		−1 −1			3
				2					2.12.		2		−1 −1			−1
2.11. (1,−1,3)				2	;				2.12.			3	2	1		−1	;
				1								3	2	1		2
				1												2
	2 −1 0				−3						0		2 2			−4
2.13.		3 0		1			2		2.14.			−2	3	1		1
2.13.		3 0		1			2	;	2.14.			−2	3	1		1	;
		4 1					5					2	−1 1			1
		4 1	−2				5					2	−1 1			1

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Найти обратную матрицу A−1 для матрицы A:
2.15.	−1		3		2.16.	−5		3
2.15.	A =	2	−2	;	2.16.	A =	−3	1	;
		2	−2				−3	1
	0		−1			1		−1		0
2.17.	0		−1		2.18		2	0		1
2.17.	A =		;		2.18	A =	2	0		1	;
		6	−8					0		0
						−4		0		0
	−1		2 0			3		2 1
2.19.		2	3		2.20.		2	1	3
2.19.	A =	2	3	2 ;	2.20.	A =	2	1	3	;
		0					1	3 2
		0	1 −1				1	3 2
	8		0	1
2.21.		−3	−2
2.21.	A =	−3	−2	−1 .
		0	4
		0	4	1

Решить матричным методом линейные системы уравнений:

2.22.	−x +3y =9,	2.23.	7x −2y =1,
2.22.		2.23.
	x + y =7.		3x +4y =15.

3x −4y = −14,

2.24.

−x +3y =8.

x + y +z =3, 2.26. −x +2y = −10,−x − y +3z =5.

x +2y −z =1,

2.28.2x +3z = −2,

3x + y +z = −2.

x + y +z =0,

2.30.2x − y =5,6x − y =11.

8x − y = −9,

2.25.

2x +9y =7.

2x − y −z =3,

2.27.x − y +2z = −1,x +3y +2z =0.

3x − y =5,

2.29.x + y = −1,x + y +z =0.

x −2y =8,

2.31.3x −4z =10,

y +3z = −6.

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

2.6. Задачи для решения на самостоятельной работе

Выполнить линейные операции над матрицами:
2.32.	0		−1	−3			2
	5		+					;
		2	1	−1			4
2.33.	−2		−3		−3			2
	3			−2			−1		;
		4	7					4
2.34.	1		−1 0					3 −11 1
	4	−3	4 2			−2		0 1 −2		;

	0		−1 3					2 0 0
2.35.		2	1	0				−2
	5					−3			1 −1 .
		−2	2 1
								0 3 2

Найти произведение матриц
						−1				3			2		5
2.36. (4,		1,		−2)		3 ;			2.37.	3			2		5
2.36. (4,		1,		−2)		3 ;			2.37.								;
						1					−2		−1 −3
						1
	−1 4			−2		4				1			0 2 −2
2.38.	−1 4			−2			1		2.39.		−2		3	−1				3
2.38.							1	;	2.39.		−2		3	−1				3	;
	3 0			−1			2				5		1 1					−1
							2				5		1 1					−1
2.40.	6 −1		2			1			2.41.	−1			2 1					−1 0
2.40.								;	2.41.											.
	7	−2	−1 3								3		1 −1					0 1
Найти обратную матрицу A−1 для матрицы A:
2.42.	−3			1					2.43. A =			2			−1
2.42.	A =				;				2.43. A =				−3		1	;
	4			5									−3		1
	1 2				3							−1 0					1
2.44		2	−1		0				2.45. A =				2		−1
2.44	A =	2	−1		0	;			2.45. A =				2		−1		1 ;
		1	−3 1										−3 4
		1	−3 1										−3 4				1

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

	5		1	−1
2.46.		2	0	−2
	A =				.
		3	−1	−1

Решить матричным методом линейные системы уравнений:

2.47.	4x +5y =11,		2.48.	7x − y = −15,
2.47.			2.48.
	3x − y	= −6.		x +4y =2.

2x +3y =3,

2.49.

x +2y =1.

2x + y −z =2,

2.51.x +2y +z =1,

2x − y +3z = −4.

x + y +z =6,

2.53.x +4z = −1,−3y +z = −10.

x −4y = −3,

2x − y =8.

2x − y −z =5,

x + y +3z =3,

3x −2y =10.2.52.

x −3y +z =5,

2.54. 2x −4y =6,

−4x + y =2.

Глава 3.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

3.1. Ранг матрицы, элементарные преобразования матрицы

Минором матрицы называется любой определитель, который полу чается из матрицы после вычеркивания некоторых её строк и столбцов.

									1			3		5
									−2		−6		−10		имеет миноры:
Например, матрица A =									−2		−6		−10		имеет миноры:
									0		−1		1
									0		−1		1
первого порядка		1		=1,		−6			= −6, ;
первого порядка		1		=1,		−6			= −6, ;
второго порядка	1				3			=	0,		1	3		= −1, ;
	1				3						1	3
		−2			6						0	−1
			1				3			5
			1				3			5
третьего порядка				−2		−6			−10			=0.
			0				−1			1

Рангом матрицы называется целое положительное число r, равное наибольшему порядку минора матрицы, отличного от нуля.

Например, в рассмотренном примере r =2. Чтобы найти ранг матри цы, можно вычислять все миноры матрицы (как это сделано в примере). Однако есть более короткий способ, основанный на преобразованиях матриц.

Глава 3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

а) умножение строки на число; б) перемена строк местами;

в) прибавление строки, умноженной на число к другой строке. Элементарные преобразования матрицы не меняют ранг матрицы.

Таким образом, если матрица B получена из матрицы A с помощью эле ментарных преобразований, то пишут А ~ B и их ранги равны r(A) = r(B).

Способ нахождения ранга матрицы A:

1.Матрицу A с помощью элементарных преобразований привести

ктреугольному виду

a11

a12

a1n

b11

b12

b1k

b1n

b22

b2k

b2n

A = a21

a22

a2n

= B;

bkk

bkn

2.Ранг матрицы B равен числу ненулевых строк матрицы, так как определитель k-го порядка, выделенный линией, отличен от нуля, а опре делители большего порядка равны нулю;

3.r(A) = r(B) = k.

Пример 3.1. Найти ранг матрицы

1		3	−2	0
			−6
A =	1	10		−1 .
	2 −1		0	1

Решение. Используя элементарные преобразования строк матрицы, приведем матрицу A к треугольному виду, образуя нули под главной диагональю. Для этого первую строку умножим на (−1) и прибавим ко второй, а затем на (−2) и прибавим к третьей, получим

1		3 −2	0	1 3			−2	0	1 3 −2				0
		10 −6					−4					−4
A =	1		−1	~	0	7		−1	~	0	7		−1 .
	2 −1 0		1		0	−7	4 1			0	0	0	0

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Так как минор второго порядка	1	3	=7 не равен нулю, а все миноры
	0	7
третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2.

3.2. Метод Гаусса

Были рассмотрены два метода решения системы линейных уравне ний: метод Крамера, матричный метод. Они применяются к системам, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Рассмотрим ещё один метод — метод Гаусса (метод исключения не известных) решения системы m линейных уравнений с n неизвестными

a11x1 +a12 x2 + +a1n xn = h1,
a21x1 +a22 x2 + +a2n xn = h2,						(1.5)
						(1.5)


a x +a		x	+ +a x	= h	m	,
m1 1	m2	2	mn n		m

причем возможны случаи n = m, n < m, n > m.

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Метод Гаусса решения системы (1.5).

1.Составить расширенную матрицу А, добавив к основной матрице

Астолбец свободных членов

	a11	a12	a1n	h1
	a11	a12	a1n	h1
	= a21	a22	a2n	h2 .
A	= a21	a22	a2n	h2 .

	a	a	a	h
	m1	m2	mn		m

2.С помощью элементарных преобразований привести матрицу А

ктреугольному виду

	b11		b12		b1n			g1
	b11		b12		b1n			g1
	0		b22		b2n			g2

A	~								= B	.
		0	0	b kk		bkn		gk


		0	0	0	0	0	0	0
		0	0	0	0	0	0	0

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]