Математика. Линейная алгебра. Учебное пособие

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

2)если ∆ =0, а хотя бы один из ∆x , ∆y , ∆z отличен от нуля, то система не имеет решения;

3)если ∆ =0, ∆x = ∆y = ∆z =0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений.

Пример 1.5. Решить систему двух линейных уравнений по методу Крамера

1,4x +2,1y =0,7,0,3x −5,2y =5,8.

Решение. Вычислим определители

∆= 0,31,4 −2,15,2 = −7,28 −0,63 = −7,91,

∆x = 5,80,7 −5,22,1 = −3,64 −12,18 = −15,82,

Найдем решение системы по формулам Крамера x = −−15,827,91 =2, y = −7,917,91 = −1.

Пример 1.6. Решить систему трех линейных уравнений методом Крамера

x − y +z =4,

3x −z =5,

x −3y +2z =7.

Решение. Вычислим четыре определителя

11

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Найдем решение системы по формулам Крамера (1.1) x = −−105 =2, y = −55 = −1, z = −−55 =1.

1.4. Контрольные вопросы

1)Что называется матрицей, определителем?

2)Запишите правило вычисления определителей второго и третьего порядков.

3)Что называется минором, алгебраическим дополнением?

4)Как формулируется теорема о разложении определителя по эле ментам строки или столбца?

5)Сформулируйте свойства определителей.

6)Какой вид имеет линейная система трех уравнений?

7)Что называется главным определителем системы?

8)Сформулируйте правило Крамера решения систем линейных урав нений.

1.5. Задачи для решения на занятии

Вычислить определители второго порядка:

Вычислить определители третьего порядка тремя способами:

а) по правилу треугольника; б) разложением определителя по элементам какой либо строки или

столбца; в) используя свойства определителя, получить в какой либо строке

или столбце нули (кроме одного элемента) и разложить определитель по элементам этой строки или столбца.

12

Глава 1. Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решить системы линейных уравнений методом Крамера:

x + y +z =36,

1.17.x − y +z =13,−x + y +z =7.

13

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

1.6. Задачи для решения на самостоятельной работе

Вычислить определители третьего порядка тремя способами: а) по правилу треугольника;

б) разложением определителя по элементам какой-либо строки или столбца;

в) используя свойства определителя, получить в какой-либо строке или столбце нули (кроме одного элемента) и разложить определитель по элементам этой строки или столбца.

Решить системы линейных уравнений методом Крамера

Глава 2.

Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

2.1. Матрицы, действия над матрицами

Матрица – это прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов. Матрица содержит mn чисел aij , i =1, , m, j =1, , n, которые называются элементами матрицы. Коротко матрицу можно записать в виде A =(aij )m×n.

Частные случаи: матрица-строка A =(a1, a2, …, an ),

15

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

2) Суммой матриц A =(aij )m×n и B =(bij )m×n называется матрица

A +B =(aij +bij )m×n,

полученная сложением элементов с одинаковыми индексами.

3)Произведением матрицы A =(aij )m×n на число k называется матрица kA =(kaij )m×n, полученная умножением всех элементов матрицы A на число k.

4)Произведением матрицы-строки A =(a1, a2, , an ) на матрицу-столбец

то есть cij равно произведению i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы B. Матрица AB имеет m строк и k столбцов.

Чтобы запомнить размеры матриц в произведении можно использо

вать схему

k

Заметим, что AB ≠ BA.

16

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

Решение. Матрицы можно умножить, так как число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

2.2. Обратная матрица

Квадратная матрица A называется невырожденной, если определитель матрицы не равен нулю A ≠ 0.

Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали

единичной матрицей. Для любой квадратной матрицы A и единичной матрицы E, имеющих одинаковый порядок, имеем А E = E А = А .

17

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

Если у матрицы AB строки заменить столбцами, а столбцы строками, сохраняя их порядок, то получится матрица АТ , которая называется

транспонированной к матрице A. Например,

Пусть A — квадратная матрица. Обратной к матрице A называется ма трица А−1, удовлетворяющая условию А А−1 = А−1 А = E.

Теорема 1.2. Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обрат ную (без доказательства).

Способ нахождения обратной матрицы А−1 для квадратной невырожден

ной матрицы A =(aij )n×n :

1) найти определитель A матрицы, убедиться, что A ≠ 0;

2) найти алгебраические дополнения Aij элементов aij , и составить

Решение. Найдем обратную матрицу, пользуясь способом нахождения обратной матрицы.

1. Найдем определитель матрицы

18

Глава 2. Действия над матрицами. Решение систем линейных уравнений матричным методом

21

A = −3 2 =7.

Матрица A невырожденная.

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A. По лучим

A11 =2; A12 =3; A21 = −1; A22 =2.

Составим матрицу из алгебраических дополнений

3. Найдем обратную матрицу по формуле

Можно сделать проверку, убедившись, что A−1 A = E или A A−1 = E.

Пример 2.4. Найти обратную матрицу A−1 к матрице

Решение. Найдем обратную матрицу, пользуясь способом нахождения обратной матрицы.

1. Найдем определитель матрицы

Матрица A невырожденная.

19

Мaтемaтикa Линейнaя aлгебрa

2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A. Получим

2.3. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

a11x +a12 y +a13z =b1,a21x +a22 y +a23z =b2,a31x +a32 y +a33z =b3.

20