Курс общей астрономии. Ч.1. Учебное пособие

71

Дальнейшее исследование показывает, что в северном полушарии, т.е.

при φ > 0°, светила с положительным склонением восходят между точкой Севе-

ра и точкой Востока (180° < A < 270°), а заходят между точкой Запада и точкой Севера (90° < A < 180°). Светила с отрицательным склонением восходят между точкой Востока и точкой Юга (270° < A < 360°), а заходят между точкой Юга и точкой Запада (0° < A < 90°).

Уравнения для определения cos t и cos A можно представить в виде:

(5.18)

Отсюда легко вывести, что при φ > 0° звёзды с положительным склонением,

удовлетворяющим условию δ ≥ 90° – φ, постоянно остаются над горизонтом данного места, а звёзды с отрицательным склонением, численная величина ко-

торого удовлетворяет условию |δ| ≥ 90° – φ, постоянно находятся под горизон-

том.

Угол при звезде в параллактическом треугольнике называется параллак-

тическим углом и обозначается буквой q, так что PσZ = q. Применяя в тре-

угольнике PσZ (рис. 5.2) первую основную формулу к стороне PZ, легко полу-

чаем формулу для определения параллактического угла q, а именно:

(5.19)

Для определения моментов по среднему времени, нужно знать год, месяц и число, для которых решается задача.

5.4. Наибольшая и наименьшая высоты звезды

Определим, когда высота какого-либо светила становится наибольшей,

или, что есть то же самое, его зенитное расстояние – наименьшим. Будем счи-

тать, что имеем дело со звездой, склонение которой не меняется сколько-

нибудь заметно по крайней мере в течение суток.

Из параллактического треугольника для cos z получим выражение:

(5.20)

72

Наименьшее значение зенитного расстояния отыщем по правилам диф-

ференциального исчисления. Дифференцируя выражение (5.20) и считая φ и δ постоянными, находим:

получаем два значения для t, а именно: t = 0° и t = 180°.

Исследуем оба эти значения t и посмотрим, при котором из них зенитное расстояние z будет наименьшим. Если t = 0°, то звезда проходит через меридиан в верхней кульминации. Без всяких дополнительных исследований ясно, что в этом случае зенитное расстояние z будет наименьшим. При t = 0° уравнение для cos z принимает вид:

(5.22)

Отсюда находим, что

(5.23)

Первое значение соответствует тому случаю, когда звезда проходит меридиан в верхней кульминации к югу от зенита, а второе – тому случаю, когда верхняя кульминация звезды имеет место между зенитом и полюсом.

На основании соотношения s = α + t получается, что в момент верхней кульминации звёздное время равно прямому восхождению звезды.

Рассмотрим случай второго значения часового угла t = 180°.

Если иметь в виду только такие звёзды, которые при суточном вращении Земли вокруг оси никогда не скрываются под горизонтом данного места и для которых при φ > 0° должно быть соблюдено условие δ ≥ 90° – φ, то такие звёз-

ды при t = 180° проходят через меридиан в нижней кульминации между север-

ным полюсом и точкой Севера. Очевидно, что в момент нижней кульминации зенитное расстояние звезды будет наибольшим. При t = 180° уравнение для оп-

ределения cos z принимает вид:

73

(5.24)

Отсюда получим:

(5.25)

Из условия δ ≥ 90° – φ следует, что при φ > 0° должно быть и δ > 0°, и, следова-

тельно, можно ограничиться одним значением зенитного расстояния, а именно:

(5.26)

На основании соотношения s = t + α можно заключить, что в момент нижней кульминации звезды звёздное время равно её прямому восхождению,

увеличенному на 12h.

5.5. Наибольшая высота светила с изменяющимся склонением

Решим задачу об определении момента, когда зенитное расстояние стано-

вится наименьшим для светила с изменяющимся склонением. К таким светилам относятся Солнце, планеты и кометы. В этом случае часовой угол удобнее вы-

разить в секундах времени. Формула для cos z будет иметь вид:

(5.27)

При дифференцировании этой формулы за переменные следует считать z, δ и t.

Дифференцирование даёт:

(5.28)

Отсюда для производной находим выражение:

(5.29)

наименьшим. Поэтому часовой угол t, при котором z будем наименьшим, опре-

делится из уравнения:

(5.30)

74

Здесь есть изменение склонения светила, соответствующее изменению часо-

вого угла на одну секунду. Эта величина для всех светил незначительна. По-

этому, не рассматривая таких случаев, когда φ близко к 90°, и замечая, что для Солнца, Луны и планет δ никогда не может стать очень большим, убеждаемся,

что sin (15t) для упомянутых светил есть величина незначительная. Кроме того,

очевидно, что наименьшего значения зенитное расстояние должно достигать при часовом угле, мало отличающимся от нуля. На этом основании можно по-

ложить:

(5.31)

По этой формуле часовой угол получается в секундах времени. При таком ча-

совом угле светило будет иметь наименьшее зенитное расстояния или наи-

большую высоту. В случае Солнца производная представляет, как нетрудно

понять, изменение склонения Солнца в одну секунду истинного времени, так как часовой угол t центра истинного солнца отличается от истинного времени v

на постоянную величину, именно на 12h, и потому . При δ < φ должно

быть, как показывает формула (5.31), t > 0 при > 0, т.е. в этом случае момент наибольшей высоты следует за моментом кульминации, и t < 0 при < 0, т.е. в

этом случае момент наибольшей высоты предшествует моменту кульминации.

В частности для Солнца склонение увеличивается с 22 декабря по 22 июня, и в

этом промежутке времени > 0, а следовательно и t > 0. Наоборот, с 22 июня

до 22 декабря склонение Солнца уменьшается, и в этом промежутке времени

< 0, а следовательно и t < 0.

5.6. Изменения зенитного расстояния и азимута в единицу времени

В астрономии часто бывает необходимо знать для данного момента изме-

нения зенитного расстояния и азимута светила в единицу времени.

75

Изменения зенитного расстояния z и азимута A в единицу звёздного вре-

мени представляются их первыми производными по времени или, вследствие

Для вычисления этих производных обратимся к параллактическому тре-

угольнику PZσ (рис. 5.3). Из этого треугольника получим следующие формулы:

(5.32)

где t выражено в секундах времени.

Продифференцировав формулы (5.32) и считая z, A и t переменными, по-

лучим:

(5.33)

(5.34)

Введя в рассмотрение параллактический угол q, из того же самого параллакти-

ческого треугольника можно записать следующие формулы:

(5.35)

причём в первой формуле верхний знак соответствует тому случаю, когда звез-

да находится к западу от меридиана, а нижний – когда звезда расположена к востоку.

Спомощью соотношений (5.35) преобразуем формулы для определения

квиду:

78

плоскость вертикала светила находится в наибольшем угловом удалении от плоскости меридиана. Одна из элонгаций, при которой азимут становится наи-

большим, называется восточной, другая, при которой азимут достигает наи-

меньшего значения, – западной. Движения звезды на восточном и западном по-

лушариях небесной сферы совершенно симметричны.

Для определения часового угла t, зенитного расстояния z и угла A0 между вертикалом звезды и меридианом рассмотрим параллактический треугольник

PZσ0 (рис. 5.5), в котором имеем:

(5.38)

Пользуясь формулами для решения прямоугольных сферических тре-

угольников, получаем:

(5.39)

По первой из этих формул находим два значения t: одно, лежащее в пер-

вой или второй четверти, другое, лежащее в третьей или четвёртой четверти.

Первое значение (положительное) соответствует западной элонгации, второе

(отрицательное) – восточной. Звёздное время восточной элонгации будет SE = α

– t, а западной SW = α + t. Найдя по третьей формуле A0, для наибольшего AE и

наименьшего AW значений азимута звезды будем иметь выражения:

(5.40)

Формула изменения зенитного расстояния в единицу времени (5.36) пока-

зывает, что для звёзд со склонением, превышающим широту, абсолютное зна-

чение производной достигает наибольшего значения при q = 90°, т.е. во вре-

мя элонгаций. Знак «плюс» в этой формуле показывает, что зенитное расстоя-

ние увеличивается (на западе), знак «минус» соответствует уменьшению зенит-

ного расстояния (на востоке).

79

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Белова Н.А. Курс сферической астрономии. – М.: Недра, 1971. – 183 с.

2.Волынский В.А. Сферическая тригонометрия. – М.: Наука, 1977. – 136 с.

3.Груевич В.Б. Введение в сферическую астрономию. – М.: Наука, 1979. –

128 с.

4.Жаров В.Е. Сферическая астрономия. – Фрязино, 2006. – 480 с.

5.Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика. – Фрязино: Век 2, 2011. –

576 с.

6. Иванов А.А. Курс астрономии: введение в астрономию и сферическую ас-

трономию. – Л. – М.: Изд-во Главсевморпути, 1940. – 303 с.

7. Клищенко А.П. Астрономия: Учеб. пособие. – М.: Новое знание, 2004. –

224 с.

8. Ковалевский Ж. Современная астрометрия. – Фрязино: «Век 2», 2004. –

480 с.

9.Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 544 с.

10.Кранц П. Сферическая тригонометрия. – М.: Изд-во ЛКИ, 2007. – 96 с.

11.Куликов К.А. Курс сферической астрономии. – М.: Наука, 1976. – 232 с.

12.Лопаткин В.М., Вольф А.В. Астрономия: практикум. – Барнаул: АлтГ-

ПА, 2013. – 90 с.

13.Пандул И.С. Астрономические определения. – М.: Надра, 1983. – 127 с.

14.Халхунов В.З. Сферическая астрономия. – М.: Недра, 1972, 304 с.

15.Boucher Cl., Altamini Z., Stillard P., Feissel-Vernier M. ITRFF2000. IERS

Technical Note 31. Verlag des Bundesamts für Kartographie und Geodäsie,

Frankfut am Main, 2004.

16.Capitaine N., Gontier A.-M. Accurate procedure for deriving UT1 at a submilliarcsecond accuracy from Greenwich Sidereal Time or from the stellar angle. Astron. Astrophys., 1993.

17.Kovalevsky J., Seidelmann P. Fundamentals of astrometry. Cambridge University Press, 2004. – 404.

80

Учебное издание

Николай Николаевич Редичкин Наталья Вячеславовна Самсонова

КУРС ОБЩЕЙ АСТРОНОМИИ ЧАСТЬ I

Учебное пособие

Редактор Г.В. Капустина Компьютерная верстка и макет Н.П. Соловьева Темплан 2015 г., поз. 43

__________________________________________________________________

Подписано в печать 29.01.16. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 50 экз. Заказ 103/16

_____________________________________________________________

Редакционно-издательский отдел Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162