Курс общей астрономии. Ч.1. Учебное пособие

21

ваются его полюсами; большой круг в этом случае называется полярой точек M

и M1. Полюса отстоят от соответствующих больших кругов на 90° или четверть окружности.

Понятие о сферическом треугольнике

Если какой-нибудь трёхгранный угол с вершиной O и рёбрами Oα, Oβ и Oγ

пересечь сферой, имеющей центром вершину трёхгранного угла, то в пересече-

нии получатся три дуги больших кругов AB, AC и BC, которые на поверхности

сферы составят фигуру, называемую сферическим треугольником (рис. 2.2).

Наоборот, если на сфере имеется треугольная фигура, составленная вза-

имным пересечением дуг трёх больших кругов, то эту фигуру можно рассмат-

ривать как результат пересечения сферы

угольник можно определить как часть сферической поверхности, заключённой между тремя пересекающимися по две дугами больших кругов.

Во всяком сферическом треугольнике не может быть двух сторон, длина которых была бы более половины окружности, т.е. более 180°, потому что при двух сторонах, каждая из которых больше 180°, сферического треугольника во-

обще не получится, так как две эти стороны, не встречая третьей, пересекутся,

образовав на сфере фигуру, называемую сферическим двуугольником.

22

Таким образом двуугольником называется фигура на сфере, образованная двумя пересекающимися полуокружно-

стями больших кругов (рис. 2.3).

Если две стороны сферического треугольника не могут быль больше

180°, то одна третья сторона может эту величину превышать. Сферические тре-

угольники, у которых все стороны и уг- Рис. 2.3. Сферический двуугольник лы меньше 180°, называются эйлеровы-

ми.

сторона a общая;

сторона A1B = 180° – c;

сторона A1C = 180° – b.

23

Измерение углов и сторон сферического треугольника

Углом между кривыми называют угол между касательными к этим кри-

вым в точке пересечения. Поэтому под углом A сферического треугольника

ABC (рис. 2.41) следует понимать угол между касательными AT и AT1, прове-

дёнными к его сторонам AB и AC в вершине A. Эти касательные лежат в плос-

костях ABMA1 и ACNA1 двугранного угла MAA1N, перпендикулярны к его ребру

AA1, т.е. образуют линейный угол этого двугранного угла. Таким образом сле-

дует считать, что двугранный угол MAA1N измеряет сферический угол TAT1.

Отсюда угол TAT1 равен углу MON, т.е. сферический угол A измеряется дугой

MN большого круга, заключённой между его сторонами AB и AC (или продол-

жениями), в отношении которой вершина угла A есть полюс.

Длина стороны сферического треугольника, представляя длину дуги большого круга, проходящего между двумя его вершинами, является наикрат-

чайшим расстоянием на сфере между ними и называется сферическим рас-

стоянием между данными точками.

Измерение сферического расстояния сводится к измерению углов, что да-

ёт возможность в сферической тригонометрии сравнивать между собой линии и углы. Всякое сферическое расстояние AB соответствует в качестве дуги боль-

шого круга, проходящего через точки A и B, центральному углу AOB, равному

φ = AMB (рис. 2.1). Так как у всех больших кругов радиус один и тот же, то расстояние AB может быть измерено непосредственно углом φ, т.е. в градусах.

Кроме градусного измерения сферического расстояния также существует

радиальное, единицей измерения при котором принимается радиус соответст-

вующего круга. Если обозначить длину сферического расстояния между точка-

ми A, B в градусном измерении через φ и то же расстояние через l, то можно выразить следующее соотношение:

1 При составлении чертежа бывает выгодно одну из сторон располагать в плоскости чертежа. Так, на рис. 2.4 в плоскости чертежа лежит сторона AB.

24

ной sin 1ʺ, поэтому

(2.3)

Соотношение между сторонами сферического треугольника

В трёхгранном угле OABC (рис. 2.2) его плоские углы измеряются сторо-

нами сферического треугольника, на которые опираются, а двугранные углы измеряются соответствующими углами сферического треугольника. Такая за-

висимость между трёхгранным углом и соответствующим ему сферическим треугольником позволяет распространить теоремы о трёхгранном угле и на сферический треугольник.

1. Известно, что во всяком трёхгранном угле каждый из плоских углов меньше суммы двух других плоских углов, т.е. AOC < AOB + BOC. Исходя из того, что эти плоские углы измеряются сторонами сферического треугольника,

то AOC = b, AOB = c, BOC = a. Откуда для сферического треугольника имеем: b < a + c, т.е. каждая сторона сферического треугольника менее суммы двух других.

Перенося один из членов неравенства из правой части в левую, получим вытекающее из этой теоремы первое следствие: b – c <a, т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других.

Прибавим к обеим частям неравенства a + c > b по b, получим a + b + c > 2b или, разделив обе части последнего неравенства на 2, имеем вто-

рое следствие теоремы: т.е. полупериметр сферического треугольни-

ка всегда больше каждой из его сторон.

25

2. Известно, что во всяком трёхгранном угле сумма его плоских углов менее 360°:

Заменяя плоские углы сторонами сферического треугольника, их изме-

ряющими, получим: a + b + c < 360°, т.е. сумма сторон сферического тре-

угольника всегда меньше 360°.

Полярный сферический треугольник и его свойства

Полярным треугольником для данного сферического треугольника назы-

вается такой сферический треугольник, по отношению сторон которого верши-

ны данного являются полюсами.

Чтобы построить полярный треугольник для данного сферического тре-

угольника ABC (рис. 2.5), нужно из точки A радиусом, равным 90°, провести на сфере дугу B1C1, тогда точка A будет полюсом проведённой дуги. Таким же об-

разом из точки B нужно провести дугу A1C1 и из точки C – дугу A1B1. Тогда треугольник A1B1C1 будет полярным для данного треугольника ABC.

B1

Рис. 2.5. Полярный треугольник данного сферического треугольника ABC

Вершины построенного полярного треугольника есть полюсы для сторон данного треугольника.

26

Проведём через точки B1, A и B1, C дуги больших кругов. Тогда, если вершина A является полюсом дуги B1C1, каждая точка этой дуги отстоит от A на

90°, а потому дуга большого круга AB1 будет равна 90, и центральный угол

B1OA, опирающийся на неё, будет прямой.

Рассуждая таким же образом по отношению к вершине C и дуги A1B1,

можно прийти к заключению, что угол B1OC будет тоже прямой.

Но если прямая B1O перпендикулярна к двум прямым, проведённым на плоскости A1OC1, то она будет перпендикулярна и ко всякой третьей линии,

проведённой в этой плоскости через её основание, т.е. дуга большого круга, со-

единяющая вершину полярного треугольника B1 с любой точкой M, лежащей на стороне основного треугольника AC, будет равна 90°. Заключение: вершина B1

полярного треугольника является полюсом для стороны AC основного тре-

угольника.

Так же можно доказать, что две другие вершины полярного треугольника

A1 и C1 являются полюсами для сторон начального треугольника BC и AB.

Если один сферический треугольник полярен относительно другого, то и второй будет полярен относительно первого (т.е. треугольники будут взаимно полярны).

ТЕОРЕМА. Стороны и углы двух полярных относительно друг друга тре-

угольников попарно взаимно дополняют друг друга до 180°.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дано, что треугольники ABC и A1B1C1 полярны относи-

тельно другого (рис. 2.5).

Обозначим углы и стороны основного треугольника через A, B, C, a, b, c,

а элементы простроенного для него полярного треугольника – через A1, B1, C1, a1, b1, c1.

I. Докажем, что угол основного сферического треугольника, сложенный со стороной полярного треугольника, даёт в сумме 180°, например

B + b1 = 180°.

27

Продолжим дуги больших кругов BA и BC на сфере до пересечения со стороной полярного треугольника A1C1 в точках K и L.

Известно, что сферический угол измеряется дугой большого круга, со-

держащегося между его сторонами, в отношении которой вершина угла есть полюс, поэтому угол B измеряется дугой KL. Следовательно, B + b1 = KL +A1C1.

Заменяя в этом равенстве A1C1 через A1K + KL + LC1, а затем объединяя слагае-

мые по порядку по два, получим:

Исходя из того, что точка C1 есть полюс дуги BK, находим, что KC1 = 90°;

исходя из того, что точка A1 есть полюс дуги BL, имеем: A1L = 90°.

Итак, B + b1 = 90° + 90° = 180°.

Таким же образом доказывается, что

A + a1 = 180°, C + c1 = 180°,

т.е. сумма угла данного сферического треугольника и соответствующей сторо-

ны полярного треугольника равна 180°.

II. Докажем, что сумма угла полярного треугольника и соответствую-

щей стороны основного равна 180°, например, B1 + b = 180°.

Угол B1 измеряется дугой NS; поэтому B1 + b = NS + AC; вместо NS, как видно из рис. 2.5, можно поставить сумму NC + CS, а вместо AC – разность

AS – CS, тогда будем иметь:

Доказанное очевидно в силу взаимной полярности треугольников.

III. Если каждая сторона одного треугольника меньше 90°, то постро-

енный для него полярный треугольник будет находиться вне данного; если ка-

кие-либо стороны одного треугольника больше 90°, то его полярный треуголь-

ник будет пересекать стороны данного; если каждая из сторон данного тре-

угольника больше 90°, то его полярный треугольник будет находиться внутри него.

28

Соотношение между углами сферического треугольника

I. Для данного сферического треугольника ABC представим полярный треугольник A1B1C1, имеющий стороны a1, b1, c1. По отношению этого полярно-

го треугольника будем иметь:

Перейдём от полярного треугольника к данному по формулам:

(2.4)

Получим:

Соединяя окончательные равенства в одно, будем иметь:

т.е. во всяком сферическом треугольнике сумма углов всегда меньше 540° и

больше 180°.

Условие равенства сферических треугольников

Сферические треугольники на одной и той же сфере равны при условии,

если данные равные части расположены в треугольниках одинаковым образом

иимеют:

a)по равным стороне и двум углам, к ней прилежащим;

b)по равным сторонам и углу, заключённому между ними;

c)по трём равным сторонам;

d)по трём равным углам.

Первые три случая равенства сферических треугольников доказываются так же, как и равенства плоских треугольников; доказательство четвёртого слу-

чая производится при помощи построения для данных сферических треуголь-

ников им полярных.

29

Пусть дан сферический треугольник, имеющий соответственно углы A, B,

C и стороны a, b, c, другой данный треугольник имеет углы D, E, F и стороны d, e, f. Дано, что A = D, B = E, C = F; требуется доказать, что треугольники равны.

Вообразим для данных треугольников полярные. Пусть их углы и сторо-

ны будут обозначены теми же буквами, как и элементы данных, с индексами.

На основании свойств полярных треугольников получим следующие соотно-

шения:

Вследствие того, что A = D, B = E, C = F, находим, что a1 = d1, b1 = e1, c-

1 = f1.

Отсюда следует, что полярные треугольники A1B1C1 и D1E1F1 равны по трём равным сторонам, поэтому их углы равны: A1 = D1, B1 = E1, C1 = F1.

Но если углы полярных треугольников равны, то стороны основных сфе-

рических треугольников обязательно равны, так как углы полярного треуголь-

ника служат дополнением до 180° сторон основного сферического треугольни-

ка. Таким образом, стороны основного сферического треугольника равны, а по-

тому, на основании третьего условия равенства треугольников, и сами тре-

угольники равны.

Соотношение между сторонами и углами сферического треугольника

30

расположенные в другом порядке стороны, т.е. они будут симметричны, поэто-

му угол A равен углу C.

II. В сферическом треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Дано A = C; доказать, что a = c.

Эту теорему можно доказать при помощи полярного треугольника. Если

A = C, то 180° – a1 = 180° – c1; a1 = c1. В полярном треугольнике, имеющем рав-

ные стороны a1 = c1, противоположные углы будут равны, т.е. A1 = С1. Переходя от этого равенства к основному треугольнику, будем иметь: 180° – a = 180° – c,

откуда a = c.

III. Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит и большая сторона (рис. 2.7).

AB < AK + KC, т.е. AB < AC, т.е. b > c.

IV. В сферическом треугольнике против большей стороны лежит и больший угол.

Дано b > c; доказать, что B > C.

Эту теорему доказывают с помощью полярного треугольника. Если в ос-

новном треугольнике b > c, то в полярном треугольнике 180° – B1 > 180° – C1,

или B1 < C1. На основании предшествующей теоремы имеем в полярном тре-

угольнике: b1 < c1 или, переходя к основному треугольнику, будем иметь: 180° – B < 180° – C, откуда B > C.