Курс общей астрономии. Ч.1. Учебное пособие

41

узком треугольнике разность больших сторон b и c мала, так как по общему свойству сторон справедливо неравенство b – c < a.

роны малы.

сторона a, один из прилежащих углов C и одна из больших сторон c. Надо оп-

ределить b – c и A. Опустив из вершины B на сторону b сферический перпенди-

куляр BD, получим из элементарного прямоугольного треугольника BCD, ре-

шая его как плоский,

(2.18)

(2.19)

Из узкого прямоугольного треугольника BAC, пользуясь правилом Непе-

ра – Модюи, запишем

откуда по малости величин BD и A получим

(2.20)

Из формулы (2.20) следует, что с точностью до малой величины первого порядка малая сторона узкого прямоугольного сферического треугольника рав-

на произведению противолежащего (малого) угла на синус гипотенузы или на синус катета.

Из формул (2.19) и (2.20)

(2.21)

43

со сферой – за начальную точку (начало) системы. Полукруг ПLПʹ называется начальным полукругом сферической системы координат.

Рис. 3.2. Вспомогательная сфера

Точку пересечения q направления OQ со сферой, представляющую собой центральную проекцию объекта Q на сферу, будем называть изображением это-

го объекта на сфере. Большой круг (полукруг) ПqПʹ назовём определяющим

кругом, так как он определяет собой положение q на сфере, т.е. её сферические координаты в избранной системе. Обозначим точку пересечения определяюще-

го полукруга с основным координатным кругом буквой M и назовём её основа-

нием определяющего круга. Дуга Mq, являющаяся мерой центрального угла

MOq, представляет собой сферическую координату β; дуга LM как мера цен-

трального угла LOM и сферического угла LПq есть другая сферическая коорди-

ната γ точки q. Сферические координаты β, γ определяют единственную точку q

на сфере, как и соответствующие центральные углы – единственное направле-

ние OQ в пространстве.

44

Рассмотрим три точки на сфере q1 (β1, γ1), q2 (β2, γ2), q3 (β3, γ3), представ-

ляющие собой изображение трёх объектов Q1, Q2, Q3, сферические координаты которых известны. Соединим эти точки дугами больших кругов, образовав тем самым сферический треугольник q1q2q3; он соответствует трёхгранному углу

Oq1q2q3. Пользуясь формулами сферической тригонометрии, по координатам вершин можно определить все шесть элементов треугольника: три стороны и три угла. Для того чтобы выразить, например, сторону q1q2 через координаты вершин, проведём определяющие круги точек q1 и q2 и рассмотрим образовав-

шийся при этом сферический треугольник q1Пq2. В этом треугольнике стороны Пq1 = 90° - β1, Пq2 = 90° - β2, а q1Пq2 = M1M2 = γ2 – γ1. По формуле косинуса стороны можно найти сторону q1q2:

Подобным путём определяются две другие стороны треугольника. Далее,

применив к каждой стороне этого треугольника формулу косинуса, найдём его сферические углы q1, q2, q3.

Так как каждая сторона рассматриваемого сферического треугольника является мерой соответствующего центрального угла, например,

q1q2 = q1Oq2, отсюда следует, что определение сторон означает определение углов между направлениями на объекты.

Для того чтобы построить сферические координаты заданной точки на сфере в избранной системе, следует провести через эту точку определяющий круг, т.е. большой круг, проходящий через полюс системы и данную точку. То-

гда дуга определяющего полукруга, заключённая между его основанием и за-

данной точкой, будет одной координатой, а часть основного координатного круга системы, заключённая между начальной точкой и основанием опреде-

ляющего круга, – другой координатой. Знаки «плюс» и «минус» придаются ко-

ординатам согласно принятому условию для данной системы координат.

45

3.2.Географические координаты

Впервом приближении Землю можно считать сферой, центр которой совпадает с центром массы Земли и является точкой пересечения отвесных ли-

ний. При этом условии ось вращения принимается за геометрическую ось зем-

ной сферической системы координат; точки пересечения оси с земной поверх-

ностью называются полюсами Земли (северный и южный). Плоскость, прохо-

дящая через центр Земли перпендикулярно к оси вращения, называется плоско-

стью экватора, а плоскости, проходящие через ось вращения, называются плос-

костями меридианов; в пересечении с поверхностью Земли они образуют соот-

ветственно земной экватор и меридианы. Земной экватор служит основным ко-

ординатным кругом, гринвичский меридиан – начальным кругом или началь-

ным меридианом (согласно международному соглашению 1883 г.). Географиче-

скими координатами любой точки земной поверхности являются:

широта φ – сферическое расстояние от экватора до данной точки;

долгота λ – дуга экватора, заключённая между начальным меридианом

имеридианом данной точки.

Широты пунктов, расположенных в северном полушарии, принято счи-

тать положительными (от 0 до +90°), в южном – отрицательными (от 0 до -90°).

Долготы пунктов, находящихся к востоку от гринвичского меридиана, условле-

но считать положительными (от 0 до +12h), к западу – отрицательными (от 0 до

-12h). Такой порядок счёта долгот принят в отечественной геодезической астро-

номии.

В действительности Земля не сферическая; в результате действия центро-

бежных сил, вызываемых суточным вращением, её форма оказалась близкой к форме эллипсоида вращения. Сила тяжести, представляющая собой равнодей-

ствующую двух сил – силы притяжения и центробежной силы – определяет на-

правление отвесной линии в данном пункте. Можно построить бесчисленное множество поверхностей во всех точках, ортогональных силе тяжести; такие поверхности называются уровенными. Поверхность, которая совпадает с по-

го пункта (рис. 3.3). Направления нормалей не совпадают с направлениями от-

весных линий Aa.

Угол aAb, образуемый отвесной линией с нормалью, называется уклоне-

нием отвесной линии. Уклонения отвесных линий при правильном выборе от-

счётного эллипсоида незначительны, но могут достигать в пунктах, располо-

женных вблизи горных хребтов и больших впадин, нескольких десятков се-

кунд. Существование уклонений отвесных линий вызывает необходимость раз-

личать координаты пункта астрономические (φ, λ) и геодезические (B, L). Ас-

трономической широтой φ пункта называется угол, образуемый отвесной ли-

47

нией этого пункта с плоскостью экватора ( Aaaʹ, где aʹ – проекция A на плос-

кость экватора).

Отвесная линия не пересекает оси вращения Земли, поэтому плоскостью земного астрономического меридиана является такая плоскость, которая вклю-

чает отвесную линию и параллельна оси вращения Земли. Соответственно плоскость геодезического меридиана проходить через нормаль. Астрономиче-

ской долготой служит угол между плоскостью начального астрономического меридиана и плоскостью меридиана данного пункта. Геодезической долготой служит угол между геодезическими меридианами – начальным и местным.

Во многих случаях при приведении результатов астрономических изме-

рений к центру Земли принимают φ = B, λ = L и учитывают лишь разность φʹ –

B между геоцентрической и геодезической широтами.

48

Высоты светил, расположенных над горизонтом, т.е. в видимой полусфе-

ре, считаются положительными и находятся в пределах от 0° (в горизонте) до

+90° (в зените), а высоты светил, расположенных в невидимой полусфере, счи-

таются отрицательными и находятся в пределах от 0° (в горизонте) до –90° (в

надире). Таким образом, для всей сферы высоты будут в пределах от –90° до

+90°. Часто вместо высоты указывают зенитное расстояние Zσ = ZOσ, обо-

значаемое z. Зенитные расстояния для всех точек сферы заключены от 0° (от зенита) до +180° (до надира). Следовательно, алгебраическая сумма высоты и зенитного расстояния всегда равна 90°:

(3.1)

Заданное значение h (или z) определяет собой на сфере геометрическое место точек, удалённых на одинаковое сферическое расстояние от горизонта

(зенита), т.е. определяет малый круг aσaʹ, параллельный горизонту, называемый альмукантаратом.

Другой координатой служит дуга SM или сферический угол A при зените,

заключённый между меридианом и вертикалом светила. Эта координата назы-

вается азимутом. В астрономии азимуты, как правило, отсчитываются от точки юга S по ходу часовой стрелки в пределах от 0° до 360°.

В геодезии и изредка в астрономии азимуты объектов наблюдения (не-

бесных, земных) отсчитываются от точки севера N и также по ходу часовой стрелки в тех же пределах. В некоторых случаях бывает удобно отсчитывать азимуты от точки S (или N) в пределах от 0° до 180° по ходу часовой стрелки и от 0° до –180° в противоположном направлении.

В связи с различными способами отсчёта азимутов всегда указывается,

как отсчитан азимут наблюдаемого объекта.

(3.2)

Горизонтальные координаты h (или z) и A небесных светил по мере вра-

щения небесной сферы непрерывно изменяются.

50

светило σ в точке nʹ, а его часовой угол t = 12h. Между моментами верхней и нижней кульминаций – светило в восточной стороне, его часовые углы нахо-

дятся в пределах 12h – 24h.

Иногда часовые углы отсчитывают в другую сторону: от 0 до +12h и от 0

до –12h, причём западные считают положительными, восточные – отрицатель-

ными.

Вместо склонения δ иногда используют полярное расстояние PNσ, кото-

рое обозначается буквой . Для всей сферы полярные расстояния находятся в пределах от 0° (северный полюс мира) до +180° (южный полюс мира). Связь между склонением и полярным расстоянием светила выражается формулой

(3.3)

При неизменном направлении оси мира (оси вращения Земли) суточное вращение геоцентрической небесной сферы не вызывает изменения склонений точек этой сферы, тогда как часовой угол непрерывно изменяется из-за суточ-

ного вращения Земли.

3.5. Параллактический треугольник

ляются дуга меридиана ZPN = 90° – φ, дуга вертикального круга светила Zσ = z

и дуга круга склонения светила PNσ = = 90° – δ.

Внутренний угол параллактического треугольника при вершине Z равен

(180° – A), так как смежный угол SZσ равен азимуту A светила; угол при полюсе мира PN равен часовому углу t; третий угол треугольника, в вершине которого