Курс общей астрономии. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
31
Вписанный в сферический треугольник и описанные вокруг него круги
Вписанный круг (рис. 2.8). Разделим углы A и B сферического треуголь-
ника ABC дугами больших кругов AO и BO пополам. Из точки O пересечения этих дуг проведём дуги больших кругов OK, OL и OM перпендикулярного к сторонам треугольника. Тогда треугольники AMO и AKO, имея углы при общей вершине A равные, сторону AO общую и углы K и M равные, как прямые, будут симметричны. Поэтому MO = KO. Точно так же найдём из симметричности треугольников KOB и OBL, что KO = OL.
|
|
|
B |
|
|
|
Поэтому, если провести из точки O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
окружность радиусом OM, то она коснётся |
|
|
x |
|
x |
|
всех трёх сторон треугольника. Соединим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
K |
|
|
|
L |
|
центр описанного круга O с третьей вер- |
|
r |
|
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
шиной C, получим два симметричные тре- |
||
|
|
|
O |
|
y |
|
угольника MOC и OLC, из которых видим, |
|
z |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
C2 |
|
что OCM = OCL. |
A |
z |
|
M |
|
y |
C |
Назовём дугу большого круга, де- |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.8. Вписанный круг |
|
лящую угол пополам, биссектрисой угла. |
||||
ЗАКЛЮЧЕНИЕ: биссектрисы трёх углов сферического треугольника пере-
секаются в центре малого круга, вписанного в треугольник.
I.Описанный круг (рис. 2.9). Разделим в треугольнике ABC пополам BC
иAB и из точек деления K и L проведём дуги больших кругов под прямыми уг-
лами к сторонам. Получим точку пересечения этих дуг O, соединим точку O с
вершинами A, B, C дугами больших кругов OA, OB и OC. Докажем, что эти ду-
ги равны.
Треугольники AOK и KOB имеют сторону KO общей, стороны KB и KA
равными и углы при общей вершине прямые. Следовательно, треугольники
AKO и KBO симметричны. Их стороны AO и OB, как лежащие против равных углов, будут равны.
32
Таким же образом из рассмотрения двух |
|
|
B |
|
|
симметричных треугольников BOL и LOC можно |
|
z |
x a |
|
|
|
|
2 |
|||
сделать вывод, что BO = OC. Отсюда следует за- |
|
|
|
||
|
|
|
L |
||
|
K |
|
|
||
ключить, что AO = OB = OC, т.е. если из точки O, |
|
O |
|
||
|
|
|
|||
как центра, описать окружность радикса AO, то |
z |
|
|
y x |
|
|
|
|
|||
она пройдёт через все вершины треугольника. |
y |
|
|
C |
|
A |
M |
||||
|
|||||
|
|
||||
Если центр описанного круга O совместить с |
|
|
|
|
|
серединой стороны AC дугой большого круга OM, |
Рис. 2.9. Описанный круг |
||||
|
|
|
|
||
то получатся два симметричных треугольника AOM и MOC. Следовательно, уг-
лы при точке M будут равны между собой, т.е. прямые.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ: три больших круга, проведённые через середины сторон сферического треугольника пересекаются в центре малого круга, описанного около сферического треугольника.
2.2. Основные формулы сферической тригонометрии
Основными формулами сферической тригонометрии называются соот-
ношения, связывающие четыре или пять элементов сферического треугольника,
т.е. дающие возможность по трём или четырём данным его элементам опреде-
лять четвёртый или пятый.
Так как всего элементов в треугольнике шесть, то число основных фор-
мул, связывающих четыре элемента, равно числу возможных сочетаний из шес-
ти элементов по четыре, т.е. пятнадцать:
Вследствие того, что вывод основных формул будет базироваться не только на аналитическом, но также и на графическом методе, необходимо на-
помнить основные положения теории проекций.
1. Алгебраическая сумма проекций на какую-либо ось несомкнутого пря-
молинейного многоугольника равняется проекции на эту же ось его замыкаю-
33
щей. Алгебраическая сумма проекций сторон замкнутого прямолинейного мно-
гоугольника, расположенного как угодно в пространстве, на какую-либо ось будет равно нулю.
2.Ортогональная проекция отрезка прямой на какую-либо ось равняется длине проектируемого отрезка, умноженной на косинус угла, образуемого осью проекций с этим отрезком.
3.Проекция отрезка, перпендикулярного к оси проекции, равна нулю.
[Степанов Н.Н. Сферическая тригонометрия. – Ленинград: ОГИЗ, 1948]
Формулы косинуса стороны
Формулы, выражающие зависимость между тремя сторонами сфериче-
ского треугольника и одним из его углов, называются формулами Аль-Баттани.
Косинус одной стороны сферического треугольника равняется произве-
дению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.
Пусть ABC – данный сферический треугольник (рис. 2.10). Соединим вершины треугольника ABC с центром сферы O. Опустим из вершины B пер-
пендикуляры на плоскость большого круга, проходящего через две другие вер-
шины треугольника A и C, и на радиусы, соединяющие центр сферы с этими вершинами. Пусть эти перпендикуляры будут BD, BE и BF. Соединяя подошвы этих перпендикуляров прямыми ED и FD, получим ломанную линию OEDF и
её замыкающую OF. Спроектируем полученную ломанную линию на ось про-
екций, совпадающую с направлением её замыкающей. Тогда будем иметь сле-
дующее соотношение:
(2.5)
|
34 |
|
|
B |
|
c |
|
|
a |
|
|
A |
E |
O |
|
||
D |
c |
|
b |
F |
|
|
|
|
C |
|
|
Рис. 2.10. Сферический треугольник ABC |
|
|
Рассмотрим значение каждого из элементов, входящих в это соотноше- |
||
ние.
OF, как видно из рисунка, равняется cos a, пр. DF = 0, так как DE OF.
На основании теоремы стереометрии о трёх перпендикулярах очевидно,
что прямая, лежащая в плоскости большого круга ACO и перпендикулярная к наклонной к нему BF, будет перпендикулярна и к проекции этой наклонной FD.
Чтобы найти пр. ED, заметим, что на основании теоремы о трёх перпен-
дикулярах DE перпендикулярна к OE, откуда угол BED есть линейный угол двугранного угла, измеряющего сферический угол A. Принимая во снимание,
что угол EKD между ED и осью проектирования равен 90° – b, получим, что
поэтому
35
Для проекции EO последовательно имеем:
Теперь, подставляя полученные значения в соотношение (2.5), имеем:
(2.6)
При помощи аналогичных построений можно вывести остальные две формулы для сторон b и c:
(2.7)
|
|
|
Последние две формулы легко получаются из |
|
b(B) |
|
первой при помощи способа круговой подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
букв (рис. 2.11). Вторую формулу получаем, заменяя |
|
|
|
в ней букву a на b, b на c, c на a и A на B. Затем тре- |
a(A) |
|
c(С) |
тью формулу получаем, заменяя во второй формуле |
|
|
|
|
|
|
|
снова a на b, b на c, c на a и B на C. |
|
Рис. 2.11 |
|
Формула косинуса стороны заключает четыре |
|
|
|
элемента сферического треугольника, из которых три лежат рядом, а один от-
дельно.
Формулы синусов
Эти формулы выражают зависимость между двумя сторонами сфериче-
ского треугольника и двумя противоположными углами.
Произведение синуса стороны на синус прилежащего к этой стороне уг-
ла равно произведению синусов противолежащих им элементов.
Рассмотрим два прямоугольных треугольника BDE и BDF (рис. 2.10).
Принимая их общую сторону как замыкающую двух ломаных линий, будем проектировать эти ломаные линии на ось проекций, совпадающую с замыкаю-
щей. Имеем:
откуда
36
Проекция BE на ось BD равна BE cos DBE; BE, как видно из рис. 2.10,
есть sin c; DBE равен 90° – A; поэтому
(2.8)
Проекция ED на ось BD равна нулю, потому что косинус угла между ни-
ми равен нулю.
Проекция BF на ось BD равна BF cos FBE; BF = sin a; FBE = 90° – C;
поэтому пр. BF = sin a cos (90° – C) = sin a sin C.
Проекция DF на ось BD равна нулю, так как угол между ними 90°.
Подставляя полученные значения в равенство (2.8), имеем
(2.9)
Таким же образом можно получить:
(2.10)
Все эти формулы можно написать иначе:
откуда имеем:
(2.11)
т.е. в сферическом треугольнике отношение синуса стороны к синусу противо-
лежащего угла равен постоянной величине.
Формулы пяти элементов
Эти формулы связывают между собой пять элементов сферического тре-
угольника: три стороны и два угла или три угла и две стороны.
Произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равно произ-
ведению косинуса противолежащей этому углу стороны на синус третьей
37
стороны минус произведение синуса противолежащей этому углу стороны на косинус третьей стороны, умноженному на косинус угла между ними.
Для вывода этой формулы рассматриваем в четырёхугольнике DEOF
(рис. 2.10) сторону DF как замыкающую. Тогда на основании первой теоремы о проекциях будем иметь:
Принимая за ось проекций замыкающий отрезок DF, будем иметь:
Окончательно после подстановки имеем:
(2.12)
Эта формула также называется формулой синуса стороны на косинус уг-
ла.
Таких формул будет шесть, так как число сочетаний из шести элементов, взятых по два, шесть.
Их легко написать, если в полученной формуле
(2.10) сделать круговую перестановку букв (рис. 2.12), а
затем, написав формулу для другого прилежащего угла,
вновь сделать круговую перестановку букв.
|
B |
c |
a |
A |
C |
|
b |
|
Рис. 2.12 |
(2.13)
Формулы косинуса угла
Эти формулы определяют зависимость между тремя углами и одной сто-
роной.
38
Построим полярный треугольник для данного треугольника и по отноше-
нию к нему запишем:
Переходя к данному сферическому треугольнику, будем иметь:
После приведения тригонометрических функций получаем:
или
(2.14)
Тем же путём или круговой перестановкой получим:
В сферическом треугольнике косинус угла равняется отрицательному произведению косинусов двух других углов, сложенному с произведением сину-
сов тех же углов на косинус стороны, противолежащей первому углу.
Формулы четырёх элементов (с котангенсами)
Эти формулы связывают между собой две стороны сферического тре-
угольника, угол между ними и один из прилежащих углов. Эти формулы ино-
гда называются формулами с котангенсами.
Вывод этих формул можно представить на основе формулы пяти элемен-
тов и соотношения между сторонами сферического треугольника и противоле-
жащими им углами:
Разделив почленно эти два равенства, получим:
39
или
или окончательно:
(2.15)
Таких формул будет шесть. Для того чтобы легче запомнить эти формулы, су-
ществует мнемоническое правило, предложенное шотландским математиком |
||||
|
|
|
|
Непером. Необходимо заметить, что формула свя- |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зывает четыре элемента треугольника, лежащих |
|
c |
a |
|
рядом AcBa; из них всегда – два угла и две сторо- |
|
|
|
||
|
|
|
|
ны; один угол всегда крайний, другой внутренний |
|
A |
|
C |
и одна сторона крайняя, другая внутренняя. |
|
|
Непер предложил формулу читать так: про- |
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.13 |
|
|
изведение котангенса крайней стороны на синус |
|
|
|
|
|
внутренней равно произведению косинусов внутренних элементов плюс произ-
ведение синуса внутреннего угла на котангенс крайнего (рис. 2.13).
Рассматривая рис. 2.13, видим, что, кроме имеющейся комбинации AcBa,
можно получить ещё пять различных комбинаций из элементов двух углов и двух сторон, расположенных рядом между собой:
BaCd, CbAc, aCbA, bAcB, cBaC,
из которых по правилу Непера получим шесть следующих формул:
(2.16)
Формулы для решения прямоугольных сферических треугольников
Если сферический треугольник прямоугольный, то для его решения дос-
таточно иметь два заданных элемента (третий элемент – один из углов – равен
90°). Формулы (всего десять) получаются из основных, выведенных для косо-
40
угольного треугольника. Запоминание их облегчается применением мнемони-
ческого правила Непера – Модюи: косинус какого-либо элемента равен произ-
ведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов не-
смежных. Условия пользования этим правилом следующие:
1) катеты берутся в виде дополнений до 90°; |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
2) в определении положений элементов тре- |
|
|
|
- |
c |
|
|
|
|
° |
|
||
угольника (смежные, несмежные) относительно од- |
|
0 |
c |
a |
||
9 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ного из них прямой угол не учитывается, т.е. катеты |
|
|
|
|
|
|
считаются лежащими рядом. |
|
A |
|
C |
||
Предположим, что в прямоугольном сфериче- |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
90°- b |
|
|
|
|
|
|
|
|
ском треугольнике ABC угол A = 90° (рис. 2.14); на- |
|
|
|
|
|
Рис. 2.14 |
пишем дополнения катетов до 90° и будем считать, например, относительно уг-
ла B смежными с ним элементами (90° – c) и a, несмежными – угол C и (90° – b), т.е. в последнем случае прямой угол не следует принимать во внимание. Те-
перь, согласно правилу Непера – Модюи, напишем:
для катета b
для угла B
для гипотенузы a
В окончательном варианте эти формулы будут иметь следующий вид
(2.17)
Узкие и элементарные сферические треугольники
Узким треугольником называется такой, у которого лишь одна сторона a
мала, а, следовательно, и противолежащий ей угол A также мал (рис. 2.15). В