Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие
.pdfМинистерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»
_________________________
Кафедра «Математический анализ»
Д.Ю. Иванов , Д.Д. Захаров , В.Н. Деснянский
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Учебное пособие для студентов всех строительных специальностей
МОСКВА - 2020
-1-
УДК 517.2
И 20
Иванов Д.Ю., Захаров Д.Д., Деснянский В.Н. Кратные и криволинейные интегралы: Учебное пособие. – М.: РУТ
(МИИТ), 2020. – 70 с.
Учебное пособие включает в себя основные теоретические сведения о кратных и криволинейных интегралах и об их применении к решению технических задач. Приведены примеры с подробными решениями и пояснениями. Составлены задания для контроля усвоения учащимися пройденного материала. Настоящий материал традиционно изучается в рамках курса математического анализа после раздела «Интегральное исчисление функций одного переменного» на первом курсе в конце второго или начале третьего семестра. Пособие предназначено для студентов всех строительных специальностей.
Рецензенты:
Проф., д.ф.-м.н., Кузнецов С.В.
Каф. «Строительной и теоретической механики», НИУ МГСУ
Проф., д.ф.-м.н., Филимонов А.М.
Каф. «Математическое моделирование и системный анализ», РУТ (МИИТ)
©РУТ (МИИТ), 2020
-2-
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
Оглавление................................................................................. |
3 |
|
Введение..................................................................................... |
4 |
1. |
Двойной интеграл |
5 |
2. |
Двукратный интеграл |
8 |
3.Вычисление двойного интеграла в декартовых координа11 тах
4. |
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах |
22 |
5. |
Тройной интеграл |
28 |
6. |
Вычисление тройного интеграла |
32 |
7. |
Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) |
41 |
8. |
Вычисление криволинейного интеграла первого рода |
44 |
9. |
Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) |
49 |
10. |
Вычисление криволинейного интеграла второго рода |
53 |
11. |
Формула Грина |
59 |
12. |
Криволинейные интегралы от полных дифференциалов |
63 |
|
Заключение………..................................................................... |
69 |
|
Список литературы.................................................................... |
70 |
-3-
Введение
Основной целью настоящего издания является оказание помощи студентам в приобретении знаний и закреплении практических навыков по таким важнейшим в курсе математического анализа темам, связанным с интегральным исчислением функций нескольких переменных, как двойные интегралы и их вычисление в декартовых и полярных координатах, тройные интегралы и их вычисление в декартовых и цилиндрических координатах, криволинейные интегралы первого рода и их вычисление в декартовых и полярных координатах, криволинейные интегралы второго рода и их вычисление в декартовых координатах, в том числе с помощью формулы Грина и от полных дифференциалов. Краткое изложение теоретического материала сопровождается подробным разбором решения типовых задач. В конце каждой темы приведены варианты задач, предназначенных для обеспечения самостоятельной работой студентов по освоению материала.
Изложенный материал находит применение в различных разделах как высшей, так и вычислительной математики, используется для составления программного обеспечения, позволяет специализироваться на старших курсах в освоении различных методов расчета элементов конструкций, основанных на знании математического анализа.
-4-
1. Двойной интеграл
Пусть D – замкнутая (т.е. содержащая все точки границы области) и ограниченная область в плоскости OXY , ее границей полагаем линию L .
Пусть |
в области D |
задана непрерывная функция |
z f (x.y) . Разобьем область D на n частей: |
||
D1 , D2 , …, Dn , |
|
|
которые |
будем называть |
пло- |
щадками (см. рис. 1). Площади площадок будем обозначать S1 ,
S2 , …, Sn , соответственно. В каждой из площадок возьмем по
точке, которые обозначим P1 ,
P2 , …, |
Pn . |
Обозначим через |
|
|
|
|
||
f (P ) , f (P ) , …, |
f (P ) |
значения функции f (x, y) в вы- |
||||||
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
бранных точках и составим сумму произведений вида |
||||||||
V f (P ) S f (P ) S |
2 |
... f (P ) S |
n |
. |
||||
|
n |
1 |
1 |
2 |
n |
|
||
Сумма Vn |
называется интегральной суммой для функции |
|||||||
f (x, y) в области D . |
|
|
|
|
|
|||
Если |
f (x, y) 0 в области |
D , то каждое слагаемое |
||||||
f (Pi ) Si |
есть область малого цилиндра, основанием кото- |
|||||||
рого является площадка |
Si , а высота равна |
|
f (Pi ) (см. |
|||||
рис. 2). Сумма Vn |
есть сумма объемов указанных элемен- |
|||||||
тарных цилиндров, т.е. объем некоторого ступенчатого тела.
-5-
Рассмотрим последовательность интегральных сумм Vn , которая возникает в результате неограниченного измельчения области D на частиDi . Справедлива
теорема: |
|
|
|
|
Теорема. |
Если |
|
|
|
функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области |
D , то |
|||
существует |
предел |
последовательности |
Vn |
при |
max di 0 , где max di |
– максимальный линейный размер |
|||
площадок Di . Этот предел не зависит ни от способов раз-
биения области D , ни от выбора точек Pi внутри площа-
док Di .
Этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается символом
f (x, y) dxdy , при этом область |
D называется областью |
|||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрирования. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
max d 0 |
n |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x, y) dxdy |
lim |
|
f (P ) S |
|
. |
||
D |
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Символ f (x, y) dxdy |
отражает |
то |
обстоятельство, |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
что разбиение области D на площадки |
Di может быть |
|||||||
|
|
-6- |
|
|
|
|
|
|
выполнено прямыми линиями, параллельными координатным осям OX и OY . Тогда все площадки, кроме, быть может, лежащих на границе области D , имеют форму прямоугольников с длинами сторон xi и y j и имеют
площади Si j xi y j .
Если f (x, y) 0 в области D , то двойной интеграл равен объему VQ цилиндрического тела Q , ограниченного сверху частью поверхности z f (x, y) , снизу областью D , причем образующие боковой поверхности параллельны оси OZ , а направляющей служит граница L области D :
VQ |
|
f (x, y) dxdy . |
(1) |
|
D
Если f (x, y) 1, то интегральная сумма Vn равна сумме площадей площадок, на которые разбита область D , и поэтому при любом разбиении она равна площади SD об-
ласти D :
Vn 1 S1 1 S2 ... 1 Sn SD .
Переходя в последнем равенстве к пределу max di 0 и учитывая, что предел константы равен этой же константе, получаем формулу для вычисления площади области D :
SD |
|
dxdy . |
(2) |
|
D
Рассмотрим некоторые свойства двойного интеграла. Свойство 1. Двойной интеграл от суммы двух функ-
ций по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности:
-7-
f (x, y) g(x, y) dxdy f (x, y) dxdy g(x, y) dxdy .
D D D
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, а именно: если c const , то
c f (x, y) dxdy c f (x, y) dxdy .
|
|
|
D |
|
D |
|
|
Свойство 3. Если область |
D разбита на две области |
||||
D1 |
и |
D2 |
и функция |
f (x, y) |
непрерывна во всех точках |
|
области D , то |
|
|
|
|||
|
|
f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy f (x, y) dxdy . |
||||
|
|
D |
|
D1 |
|
D2 |
|
Свойство 4. Если |
f (x, y) 0 , то f (x, y) dxdy 0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
2. |
Двукратный интеграл |
|
|
||
|
Пусть область D такова, |
что всякая прямая, парал- |
||||
лельная оси OY и проходящая через внутреннюю точку |
||||||
области, пересекает границу об- |
|
|||||
ласти L лишь в двух точках N1 , |
|
|||||
N2 |
(см. рис. 3). Такая область |
|
||||
называется |
правильной |
в |
|
|||
направлении оси OY . При этом, |
|
|||||
вообще говоря, область D огра- |
|
|||||
ничена |
графиками |
функций |
|
|||
y 1 (x) , |
y 2 (x) и прямыми |
|
||||
x a , |
x b , причем |
1 (x) 2 (x) , |
a b . Аналогично |
|||
|
|
|
|
-8- |
|
|
определяется область, правильная в направлении оси OX . Заметим, что область, изображенная на рис. 3, не является правильной в направлении оси OX . Область, правильная как в направлении оси OX , так и в направлении оси OY , называется просто правильной областью (например, правильными областями являются круг и любой выпуклый многоугольник).
Пусть область D правильная в направлении оси OY , а функция f (x, y) непрерывна в области D . Рассмотрим выражение
|
b |
|
2 ( x) |
ID |
|
dx |
|
|
|
||
|
a |
|
1 ( x) |
b 2 ( x)
f (x, y) dy
a 1 ( x)
f (x, y) dy dx ,
называемое двукратным интегралом от функции f (x, y) по области D . В этом выражении сначала вычисляется интеграл, стоящий в скобках, при этом интегрирование производится по переменной y , а величина x считается постоянной. Таким образом, сначала получается функция от x :
|
2 ( x) |
(x) |
f (x, y) dy . |
|
1 ( x) |
Затем функция (x) интегрируется по x от a до b :
ID b (x) dx .
a
В результате получается некоторое число ID , которое и является двукратным интегралом.
Пример. Вычислить двукратный интеграл:
-9-
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ID dx |
x2 y2 dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Сначала получаем выражение (x) , затем |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вычисляем ID . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
y3 |
y x2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
x2 |
3 |
|
4 |
|
x6 |
||||||
(x) |
x |
|
y |
|
dy x |
|
y |
|
|
|
|
| |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
x6 |
|
|
x5 |
|
x7 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|||||
ID x4 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
5 21 |
0 |
|
5 21 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В данном случае область D ограничена линиями |
y 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
y x2 , x 1.
Для вычисления двукратных интегралов может использоваться следующее свойство:
Свойство. Если правильную в направлении оси OY область D разбить на две области D1 и D2 прямой, парал-
лельной оси OY , то двукратный интеграл ID по области
Dбудет равен сумме таких же интегралов по областям D1
иD2 , т.е. ID ID1 ID2 .
Пример. Пусть область D имеет вид:
Здесь |
(x) |
x |
, |
||
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
(0 x 1) |
|
|
|
2 |
(x) |
|
(см. |
||
|
1 |
(1 x 2) |
|
|
|
рис. 4). Область D может
-10-