Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

Задачи для самостоятельного решения:

5.Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями y 2x , y 21x , x 16 .

6.Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фи-

гуры, ограниченной линиями y 3x , y 3 x , y 4 .

7. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: y x , y x2 , z 0 , 2y z 2 .

8. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: z 4 x2 y2 , z 0 , x y 2 , x 0 , y 0 .

-21-

4.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D , на которой определена непрерывная функция f (x, y) , имеет вид части кругового кольца, ограниченной лучами, выходящими из начала координат и образующими с положительным направлением оси OX углыи , и дугами окружностей с радиусами R1 , R2 и центром в начале координат.

Введем полярную систему координат ( ; ) , совместив полюс с началом декартовой системы координат, а полярную ось направив вдоль оси OX . Тогда линии, ограничивающие область D , задаются простыми уравнениями в полярных координатах: лучи – уравнениями и , дуги – уравнениями R1 , R2 .

Связь между декартовыми координатами (x; y) и по-

не зависит от способа разбиения области D на площадкиDi , поэтому разобьем ее наиболее удобным способом, а именно: системой концентри-

-22-

ческих окружностей и лучами, выходящими из полюса (см. рис. 14). В результате область D разобьется на n криволинейных четырехугольников. Вычислим площадь одного из них:

Так как в правой части равенства (6) записана интеграль-

D

Поэтому мы приходим к формуле преобразования двойного интеграла от декартовых координат к полярным координатам:

R1

Рассмотрим теперь более общий случай, когда область D вместо дуг R1 , R2 ограничена кривыми 1 ( )

и 2 ( ) , при условии, что луч const ( ) пересекает границу области D не более, чем в двух точках (см.

рис. 15). В этом случае имеет место формула, аналогичная формуле (8), с тем отличием, что внутренний интеграл вычисляется в пределах, зависящих от :

f ( cos , sin ) d d

1 ( )

Всилу формулы (2) площадь области D может быть вычислена по формуле

D

-24-

Пример. Вычислим площадь круга D : x2 y2 ax

Кривая L в данном случае является окружностью с цен-

люсе 0 и заканчиваются на кривой a cos . Поэтому внутренний интеграл в формуле (9) имеет нижний и

-25-

x2 y2 1, x2 2x y2 0 .

Решение. Кривая x2 y2 1 – окружность с центром в начале координат и радиусом единица, задается полярным уравнением 1 . Кривая x2 2x y2 0 x 1 2 y2 1

– окружность с центром в точке (1, 0) и радиусом 1, ее по-

ветствующие точкам пересечения данных окружностей.

3 . Для того, чтобы вычислить интеграл ID по формуле

(9), заштрихуем область D стрелками, направленными вдоль лучей const , выходящих из полюса (см. рис. 17), и запишем подынтегральное выражение в полярных коор-

x2 y2 4 , x 0 .

3.Вычислить площадь области D , ограниченной кривыми: x2 y2 4 , x 0 , y 0 .

4.Вычислить площадь области D , ограниченной кривыми: x2 y2 2x , y x , y x .

5.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 4 z , x2 y2 1 и плоскостью z 0 .

5. Тройной интеграл

К понятию тройного интеграла приводит, например, такая физическая задача.

-28-

Имеется тело Q , в точках которого известна плотность распределения массы (x, y, z) . Разобьем тело V на n частей Q1 , Q2 , …, Qn с объемами V1 , V2 , …, Vn , соответственно. Выберем в каждой области Qi произ-

вольную точку Mi (xi , yi , zi ) . Если область Qi мала, а функция (x, y, z) непрерывна, то плотность распределения массы по области Qi будет мало отличаться от ее значения в точке M i . Следовательно, масса области Qi будет приближенно равна:

mi (xi , yi , zi ) Vi ,

а масса всего тела:

m(xi , yi , zi ) Vi .

i 1n

Точное значение массы тела Q понимается как предел, к которому стремится найденное приближенное значение, при неограниченном измельчении области Q на части

Qi .

Рассмотрим теперь общую задачу. Пусть в ограниченной области Q определена непрерывная функция f (x, y, z) . Разобьем область Q на n областей Q1 , Q2 ,

…, Qn с объемами V1 , V2 , …, Vn , соответственно. В

каждой области выберем по точке Mi (xi , yi , zi ) . Умножим значение функции в точке M i на объем Vi и сложим все такие произведения. Полученная сумма n :

-29-

n f (xi , yi , zi ) Vi , i 1n

называется интегральной суммой для функции f (x, y, z) в области V .

Теорема. Если функция f (x, y, z) непрерывна в замкнутой области V , то существует предел последовательности n при max di 0 , где max di – максимальный ли-

нейный размер областей Qi . Этот предел не зависит ни от способов разбиения области Q , ни от выбора точек M i

внутри областей Qi .

Этот предел называется тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области Q и обозначается символом

f (x, y, z) dxdydz , при этом область Q называется обла-

Q

стью интегрирования. Таким образом,

ство, что разбиение области Q на подобласти Qi может быть выполнено плоскостями, параллельными координатным плоскостям OXY , OYZ и OXZ . Тогда все подобласти, кроме, быть может, лежащих на границе области Q , имеют форму прямоугольных параллелепипедов с длинами ребер xi , y j и zi и имеют объемы Vi jk xi y j zk .

-30-