Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

быть разбита на две области D1 и D2 . Обе области ограни-

чены снизу графиком функции 1 (x) 2x , а сверху область

D1 ограничена при 0 x 1 графиком функции 2 (x) x ,

а при 1 x 2 – графиком функции 2 (x) 1. Тогда инте-

грал ID вида

3.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции f (x, y) по области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D . Если область D – правильная вдоль оси OY и ограничена снизу и сверху графиками

-11-

формуле (4) интеграл по x называется внутренним, а по

ответствующий двукратный, будем обозначать символом ID .

Пример. В двукратном интеграле:

ID 2 dx2 x f (x, y) dy

1 x

изменить порядок интегрирования.

-12-

Решение. Требуется представить соответствующий двойной интеграл в виде двукратного интеграла с измененным порядком интегрирования:

Для этого сначала необходимо восстановить область D на основании пределов внутреннего и внешнего интегралов исходного двукратного интеграла. Так как пределы внут-

-13-

Вся область D заключена между горизонтальными прямыми y 1 и y 4 . Стрелки начинаются на кривой, которая задается более чем одной формулой ( x 1 ,

x 2y ) и заканчиваются на кри-

вой, которая задается более чем

одной формулой ( x y , x 2 ) (см. рис. 7), поэтому интеграл с измененным порядком интегрирования может быть записан только в виде суммы нескольких. Заметим, что горизонтальная прямая y 2 делит область D на две области D1 и D2 так, что в области D1 , заключенной между прямыми y 1 и y 2 , стрелки начинаются на отрезке прямой x 1 и заканчиваются на отрезке прямой x y , а в области D2 , заключенной между прямыми y 2 и y 4 ,

стрелки начинаются на отрезке прямой x 2y и заканчи-

-14-

y 2 , поэтому верхний предел внутреннего интеграла равен 2 . Но начинаются стрелки при x [ 2, 0] на графике функции y x , а при x [0, 2] – на графике функции y x2 . Поэтому необходимо разбить область D на две об-

x [0, 2], соответственно. В силу формулы (3) имеем:

ID 0 dx 2 1 x y dy 2 dx 2 1 x y dy

поэтому нижний и верхний пределы внутреннего интеграла y и y , внешнего – 0 и 2, соответственно, и в силу формулы (4) имеем:

-16-

Итак, для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. Это можно сделать или по формуле (3), или по формуле (4). В каждом конкретном случае в зависимости от вида области D или подынтегральной функции выбирается та или другая формула для вычисления двойного интеграла. Например, в предыдущем примере лучше вычислять по формуле (4). Рассмотрим также следующий пример.

y

Пример. Пусть f (x, y) e x , а область D представляет собой треугольник, ограниченный

прямыми y x , y 0 , x 1. Заменим двойной интеграл двукратным по формуле (3). Формулу (4) использовать нельзя, так как при этом получа-

y

ется интеграл e x dx , не берущийся в

элементарных функциях. Внутренний интеграл в формуле

(3) по переменной y , поэтому заштрихуем область D

-17-

стрелками, направленными вдоль оси OY (см. рис. 10), и выразим в уравнениях кривых, ограничивающих область

ваются на прямой y x , поэтому нижний и верхний пределы внутреннего интеграла 0 и x , внешнего – 0 и 1, соответственно:

Рассмотрим еще два примера вычисления двойного интеграла.

Пример. Вычислим объем тела Q , ограниченного поверхностями x 0 , y 0 , x y z 1, z 0 .

Решение. Заметим, что плоскости x 0 , y 0 , z 0 являются координатными плоскостями OYZ , OXZ , OXY , соответственно. Объем тела Q

может быть вычислен по формуле (1), так как тело Q – цилиндрическое. Действительно, тело Q сверху ограничено частью плоскости

x y z 1 z 1 x y (см.

f (x, y) 1 x y . Снизу тело Q ограничено прямоугольным треугольником D в плоскости OXY , катеты которого

Q составляют плоскости OYZ и OXZ , перпендикулярные плоскости OXY , поэтому образующие боковой поверхности тела Q параллельны оси OZ , а направляющей является граница треугольника D . Таким образом,

VQ 1 x y dxdy .

D

Для вычисления двойного интеграла используем формулу (3). Так как при этом внутренний интеграл по пере-

ний и верхний пределы внутреннего интеграла 0 и 1 x , внешнего – 0 и 1, соответственно:

теграл по переменной y , заштрихуем область D стрелками, направленными вдоль оси OY (см. рис. 13). Область D слева и справа ограничена прямыми x 2 и x 1 , соответственно. При всех x [ 2,1] стрелки начинаются на прямой y x , а заканчиваются на параболе y 2 x2 , поэтому нижний и верхний пределы внутреннего интеграла x и 2 x2 , внешнего – 2 и 1, соответственно:

-20-