Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

3.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z 4 x2 , z 0 , 2x y 4 , x 0 , y 0 .

4.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

z x2 y2 , z 2 x2 y2 .

7.Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)

Рассмотрим кусочно-гладкую пространственную кривую AB , в точках которой определена функция f (x, y, z) . Разобьем кривую AB точками M0 A , M1 , …, Mn B

(см. рис. 25). Выберем на каждой дуге Mi 1Mi произволь-

ную точку Ni ( i , i , i ) и умножим значение функции

-41-

f (x, y, z) в точке Ni на длину si дуги Mi 1Mi . Сложив все такие произведения, получим сумму:

n

Sn f ( i , i , i ) si , i 1

которая называется интегральной суммой первого рода для функции f (x, y, z) на дуге AB .

Теорема. Если дуга

AB является кусочно-гладкой, а функция f (x, y, z) непрерывна вдоль кривой AB , то существует предел интегральных сумм Sn при max si 0 , где max si – максимальная длина дуг Mi 1Mi , и этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой AB , ни выбора точек Ni ( i , i , i ) на ду-

гах Mi 1Mi .

Этот предел называется криволинейным интегралом от функции f (x, y, z) по длине дуги AB , или криволиней-

ным интегралом первого рода и обозначается символом

f (x, y, z) ds . Итак, по определению:

AB

К криволинейному интегралу приводит, например, такая физическая задача. Пусть f (x, y, z) линейная плот-

-42-

ность массы нити, т.е. масса единицы длины. Тогда масса всей нити AB равна m f (x, y, z) ds .

AB

Если f (x, y) 1, то интегральная сумма Sn равна сум-

ме длин дуг Mi 1Mi , на которые разбита кривая AB , и по-

этому при любом разбиении она равна длине lAB кривой

AB :

Sn 1 s1 1 s2 ... 1 sn lAB .

Переходя в последнем равенстве к пределу max si 0 и учитывая, что предел константы равен этой же константе, получаем формулу для вычисления длины кривой AB :

lAB ds .

AB

Свойства криволинейного интеграла первого рода: Свойство 1. Криволинейный интеграл по длине дуги

AB от суммы двух функций равен сумме криволинейных интегралов по длине дуги AB от каждой из функций в отдельности:

f (x, y, z) g(x, y, z) ds f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds .

AB AB AB

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла по длине дуги, а именно: если c const , то

c f (x, y, z) ds c f (x, y, z) ds .

AB AB

Свойство 3. Если AB AC CB , то

f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds .

Свойство 4. Если f (x, y, z) 0 , то f (x, y, z) ds 0 .

AB

8.Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x x(t) , y y(t) , z z(t) – непрерывно дифференци-

руемые функции параметра t на отрезке , , причем ес-

ли точка M пробегает по кривой от точки A до точки B , то параметр t изменяется в пределах от до . Функция

дя замену в криволинейном интеграле первого рода, получаем формулу для его вычисления с помощью определенного интеграла:

f (x, y, z) ds

Если AB – плоская кривая, заданная уравнением x x( y) ( c y d ), то

Наконец, если уравнение плоской кривой AB задано в полярных координатах: ( ) ( ), то длина дуги

AM :

s( ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 d 1 ,

поэтому дифференциал функции s( ) равен ds 2 ( ) ( ) 2 d ,

ивместо равенства (14) получим формулу:

f (x, y) ds

AB

f ( ) cos , ( )sin 2 ( ) ( ) 2 d . (17)

Замечание. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интегрирования вдоль дуги. При

-45-

его вычислении по формулам (14)-(17) это проявляется в том, что нижний предел должен быть всегда меньше верхнего.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл y ds ,

L

где L – отрезок прямой, соединяющей точки O(0, 0) и

A(1, 2) .

Решение. Вначале получим уравнение прямой OA :

Вычисляем криволинейный интеграл с помощью формулы

(16):

-46-

A(4, 0), B(4, 2) .

9.Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)

Пусть в точках кусочно-гладкой кривой AB определена непрерывная функ-

ция P(x, y, z) . Разобьем кривую AB на части с помощью точек M i . На каждой части

Mi 1Mi выберем точ-

ку Ni ( i , i , i ) и

умножим значение функции P(x, y, z) в этой точке на величи-

ну xi xi xi 1 –

-49-

проекцию дуги Mi 1Mi на координатную ось OX (см. рис. 26). Сумма всех таких произведений:

n P( i , i , i ) xi , i 1n

называется интегральной суммой второго рода для функции P(x, y, z) на дуге AB по переменной x . Аналогично могут быть определены интегральная сумма второго родаn для непрерывной функции Q(x, y, z) на дуге AB по переменной y и интегральная сумма второго рода n для непрерывной функции R(x, y, z) на дуге AB по переменной y

Теорема. Если дуга AB является кусочно-гладкой, а функции P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) непрерывны вдоль кривой AB , то существуют пределы интегральных суммn , n , n при max si 0 , где max si – максимальная длина дуг Mi 1Mi , и эти пределы не зависят ни от способа разбиения кривой AB , ни выбора точек Ni ( i , i , i ) на ду-

гах Mi 1Mi .

Эти пределы называются криволинейными интегра-

лами второго рода вдоль дуги AB от функции P(x, y, z) по переменной x , от Q(x, y, z) по переменной y , от функции R(x, y, z) по переменной z и обозначаются символами

ственно. Итак, по определению:

-50-