Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

Вычислим теперь интеграл IL вторым способом: с помощью сведения к определенному интегралу. Для этого разобьем контур L на две дуги: нижнюю OMA и верхнюю ANO (см. рис. 31). Так как контур обходится против часовой стрелки, то нижняя дуга OMA , которая зада-

ется функцией y x2 , проходится от точки O(0, 0) до точки A(1,1) , при этом переменная x изменяется от 0 до 1; верхняя дуга ANO задается функцией y x , проходится от точки A(1,1) до точки O(0, 0) , при этом переменная x изменяется от 1 до 0. Учитывая, что дифференциал функции y(x) : dy 2x dx , выразим подынтегральное выражение интеграла вдоль дуги OMA через переменную x . В результате криволинейный интеграл IL может быть вычислен как сумма двух определенных интегралов:

y 4 , и проходимый против часовой стрелки.

2. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл второго рода:

(3x2 y y2 3xy) dx (x3 2xy cos y) dy ,

3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл второго рода: (x y2 ) dx 2xy dy , где L — зам-

L

кутый контур треугольника с вершинами (0 0) , (1 0) , (0 2) , проходимый против часовой стрелки.

-62-

12.Криволинейные интегралы второго рода от полных дифференциалов

Пусть дана односвязная область D в плоскости OXY и непрерывные в области D функции P(x, y) и Q(x, y) . Рассмотрим криволинейный интеграл

I AB P dx Q dy

AB

вдоль кривой AB , целиком лежащей в области D . В общем случае значение интеграла I AB зависит от формы кривой AB . Но при выполнении некоторых условий интеграл I AB не зависит от пути интегрирования, а определяется исключительно значениями координат начальной и конечной точек этого пути A(xA , yA ) и B(xB , yB ) .

Теорема. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерыв-

ны вместе со своими частными производными P и Q в

y x

некоторой односвязной области D и выполнено условие:

P Q . В этом случае справедливы следующие утвер-

y x

ждения:

1) дифференциальное выражение P dx Q dy есть полный дифференциал du(x, y) некоторой функции u(x, y) в

области D , при этом P ux , Q uy :

P dx Q dy ux dx uy dy du(x, y) ;

-63-

2) криволинейный интеграл I AB вдоль любой кривой, соединяющей точки A и B и полностью лежащей в области D , равняется разности значений функции u(x, y) в этих точках:

ный интеграл I AB , будучи интегралом от полного дифференциала du(x, y) , не зависит от формы кривой, но зависит лишь от начального и конечного значений функции u(x, y) . Векторная функция (векторное поле)

u(x, y) . Функция u(x, y) , градиент которой равен вектор-

Решение. Здесь P y2 , Q 2xy . Выполняется усло-

вие: P Q 2 y , следовательно, дифференциальное вы-

y x

потенциалом векторной функции a(x, y) . Найдем функцию u(x, y) , используя равенства:

y2dx y2 x ( y) . Здесь при интегрировании по перемен-

ной x переменная y считается константой и произвольная постоянная интегрирования может зависеть от переменной y : C( y) ( y) . Для того чтобы найти потенциал u(x, y) , остается найти функцию ( y) . Для этого воспользуемся

вательно, дифференциальное выражение P dx Q dy есть дифференциал некоторой функции (потенциала) u(x, y) и интеграл I AB может быть вычислен как разность значений

Здесь при интегрировании по переменной x переменная y считается константой и произвольная постоянная интегрирования может зависеть от переменной y : C( y) ( y) . Для того чтобы найти потенциал u(x, y) , остается найти функцию ( y) . Для этого воспользуемся полученным ра-

венством u x2 y2 ( y) и вторым равенством (22):

-66-

– произвольная постоянная. Таким образом, потенциал имеет вид:

u(x, y) x2 y2 2y C .

Согласно теореме вычисляем криволинейный интеграл

I AB :

.

Вычислим теперь вторым способом, а именно: с помощью сведения к определенному интегралу. Получим уравнение прямой AB :

переменная x изменяется вдоль отрезка AB от 1 до 4, вы-

2x 2x |4 42 24 2 21 32 2 .

1

Задачи для самостоятельного решения:

1. Доказать, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования и вычислить его как интеграл от полного дифференциала:

-67-

(3x2 y 4xy2 ) dx (x3 4x2 y 3y2 ) dy .

AB

Здесь AB – произвольная дуга, соединяющая точки

A( 1, 1) и B(1,1) .

2. Доказать, что криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования и вычислить его как интеграл от полного дифференциала:

3. Доказать, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его как интеграл от полного дифференциала:

Здесь AB – произвольная дуга, соединяющая точки

A(0,5) и B(2, 3) .

-68-

Заключение

Предлагаемое учебное пособие предполагает краткое знакомство с основными результатами интегрального исчисления функций нескольких переменных. Рассмотрены примеры решения некоторых типичных видов задач. Для закрепления материала предлагаются варианты задач, аналогичных рассмотренным в качестве примеров. Мы надеемся, что предлагаемое пособие поможет студенту самостоятельно применить проработанные разделы к решению инженерных задач.

Для углубленного изучения кратных и криволинейных интегралов можно порекомендовать классические учебни-

ки [1, сс. 154-258], [2, сс. 152-223], [3, сс. 378-419] и задачники [4, cc. 248-286], [5, cc. 226-237], [6, cc. 6-50].

Наконец, помимо предлагаемого пособия мы предлагаем использовать для закрепления пройденного материала сборники тестовых заданий [7, 8], составленные преподавателями кафедры «Математический анализ» специально для студентов ИПСС.

-69-

Список литературы:

[1]Бугров С.Я., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3-х т. Т. 3. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2004. – 514 с.

[2]Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб.: в 2-х т. Т. 2. – СПб.: МИФРИЛ,

1996. – 560 с.

[3]Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-пресс, 2009. –

608 с.

[4]Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие. – М.: Транспортная компания, 2015. – 432 с.

[5]Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ,

2000. – 336 с.

[6]Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. II. – М.: Высш. шк.,

1986. – 415 с.

[7]Данилова И.А., Перфилова Н.П. Функции двух переменных. Кратные интегралы: Сборник тестовых заданий по дисциплине «Математика». – М.: МИИТ,

2014. – 12 с.

[8]Данилова И.А., Козлов О.К., Перфилова Н.П. Кратные и криволинейные интегралы. Ряды: Тестовые за-

дания. – М.: МИИТ, 2010. – 16 с.

-70-