Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

P(x, y, z) dx

Q(x, y, z) dy

R(x, y, z) dz

lim

max si 0 i 1

lim

max si 0 i 1

lim

max si 0 i 1

P( i , i , i ) xi ,

Q( i , i , i ) yi ,

R( i , i , i ) zi .

Сумма криволинейных		интегралов P(x, y, z) dx ,
		AB
Q(x, y, z) dy ,	R(x, y, z) dz	также называется криволи-
AB	AB

нейным интегралом второго рода и обозначается символом:

P(x, y, z) dx Q(x, y, z) dy R(x, y, z) dz .	(18)
AB

К понятию криволинейного интеграла второго рода приводит задача о нахождении работы по перемещению точки вдоль кривой AB под действием силы, определяемой вектором F :

F P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k .
Величину силы F в точке Ni	обозначим через Fi	. Ска-
лярное произведение Fi Mi 1Mi	можно рассматривать как
приближенное значение работы силы F вдоль		дуги
Mi 1Mi , при этом

Fi Mi 1Mi P( i , i , i ) xi Q( i , i , i ) yi R( i , i , i ) zi .

Суммируя работы на всех участках Mi 1Mi и переходя к пределу max si 0 , получаем интеграл (18).

-51-

Свойства криволинейного интеграла второго рода: Свойство 1. Криволинейный интеграл вдоль дуги AB

по переменной x ( y , z ) от суммы двух функций по области D равен сумме криволинейных интегралов по длине дуги AB от каждой из функций в отдельности. Например,

	1	2			1	2
	P (x, y, z) P (x, y, z)			dx	P (x, y, z) dx	P (x, y, z) dx
AB					AB	AB
	Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить
за знак криволинейного интеграла по переменной							x ( y ,
z ). Например,
		cP(x, y, z) dx c P(x, y, z) dx .
		AB			AB
	Свойство 3. Так как величина проекции дуги						Mi 1Mi
на ось OX ( OY ,			OZ ) меняет знак при изменении направ-

ления пути интегрирования, то и криволинейный интеграл второго рода изменяет знак на обратный при изменении направления пути интегрирования. Например,

P(x, y, z) dx P(x, y, z) dx .

AB	BA
Свойство 4. Если кривая AB разбита на несколько ча-
стей, то криволинейный интеграл вдоль дуги AB по пере-

менной x ( y , z ) равен сумме таких же интегралов вдоль ее частей с сохранением направления пути интегрирования. Например, если AB AC CB , то

P(x, y, z) dx P(x, y, z) dx P(x, y, z) dx .

AB AC CB

-52-

Свойство 5. Если кривая AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси OX , то P(x, y, z) dx 0 . Действи-

тельно, в этом случае в интегральной сумме все xi 0 , следовательно, интегральная сумма равна нулю. Переходя

к пределу max si 0 , получаем		P(x, y, z) dx 0 . Ана-
к пределу max si 0 , получаем		P(x, y, z) dx 0 . Ана-
	AB

логично, для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси OY ( OZ ), имеем Q(x, y, z) dy 0

( R(x, y, z) dz 0 ).

Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой (по контуру) принято обозначать символом .

Направление прохождения контура задается дополнительно или используются символы (против часовой стрел-

ки) и (по часовой стрелке).

10.Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Пусть в точках гладкой кривой AB определены непрерывные функции P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) , а кривая AB задана параметрически:

x x(t) , y y(t) , z z(t) ( t ).

В силу гладкости кривой AB функции x x(t) , y y(t) , z z(t) непрерывно дифференцируемы на отрезке [ , ] ,

-53-

причем изменению параметра t в пределах от до соответствует перемещение точки M (x, y, z) вдоль кривой AB от точки A до точки B . Тогда имеем дифференциалы функций x x(t) , y y(t) , z z(t) : dx x (t) dt , dy y (t) , dz z (t) dt , и криволинейные интегралы могут быть вычислены с помощью определенных интегралов:

P(x, y, z) dx P(x(t), y(t), z(t)) x (t) dt ,

AB

Q(x, y, z) dy Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) dt ,

AB

R(x, y, z) dz R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt .

P dx Q dy R dz [P(x(t), y(t), z(t)) x (t)


Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) R(x(t), y(t), z(t)) z (t)] dt . (19)
Если	AB – плоская кривая,	заданная уравнением
y y(x)	( a x b ), то, принимая x	за параметр, как част-

ный случай формул (19) получим:

P(x, y) dx b P(x, y(x)) dx ,

AB a

Q(x, y) dy b Q(x, y(x)) y (x) dx ,

AB a

P(x, y) dx Q(x, y) dy b P(x, y(x)) Q(x, y(x)) y (x) dx .

AB a

-54-

Аналогично, если плоская кривая AB задана уравнением x x( y) ( c y d ), то криволинейные интегралы могут быть вычислены с помощью определенных интегралов:

P(x, y) dx d P(x( y), y) x ( y)dy ,

AB c

Q(x, y) dy d Q(x( y), y) dy ,

AB c

P(x, y) dx Q(x, y) dy d P(x( y), y) x ( y) Q(x( y), y) dy .

AB	c
	Пример. Вычислим криволинейный интеграл:

	IL				dy	dx	,
	IL				x	y	,
				L
где L – четверть окружности
(см. рис. 27), пробегаемой про-
тив часовой стрелки:
x r cos t	( 0 t		).
	( 0 t		).
y r sin t		2

Решение. Учитывая, что дифференциалы функций x(t) ,

y(t) : dx r sin t dt , dy r cos t , выразим подынтегральное

выражение интеграла IL			через переменную t :
	2	r cos t dt	r sin t dt	2	2
IL				2 dt 2t	\|	.
		r cos t	r sin t
	0			0	0

Пример. Вычислить криволинейный интеграл:

-55-

	I	L		6x2 y dx 10x y2dy ,
	I			6x2 y dx 10x y2dy ,

			L
где	L – дуга кубической парабо-
лы	y x3 ,			проходимая от	точки
A(1,1) до				точки B(2,8)	(см.
рис. 28).
	Решение. Учитывая, что
дифференциал функции					y(x) :
dy 3x2dx , и переменная x					меня-

ется вдоль дуги от 1 до 2, выразим подынтегральное выражение интеграла IL через переменную x :

IL 2 6x2 x3dx 10x x3 2 3x2dx 2 6x5 30x9 dx

1 1

x6 3x10 |2 64 3072 1 3 3132 .

Пример. Вычислить криволинейный интеграл

IL y dx

вдоль дуги параболы y2 x , если A(1,1) , B(1, 1) (см. рис. 29).

Решение. Учитывая, что

дифференциал функции	x( y) :
dx 2 y dy , и переменная	y	ме-
няется вдоль дуги от 0 до		1,

выразим подынтегральное выражение интеграла IL через переменную y :

-56-

IL y 2 y dy 2

Вычислим тот же интеграл вторым способом: выразим

подынтегральное выражение интеграла

через перемен-

ную

x . Для этого заметим,

что дуга AB задается двумя

функциями: y x и

x . А именно,

вдоль дуги AO

переменная x изменя-

x , дифференциал

2 x

ется от 1 до 0. Вдоль дуги

x ,

дифференциал

, переменная x

изменяется от 0 до 1. В резуль-

2 x

тате имеем:

IL y dx y dx 0

dx 1

2 x3

Очевидно, первым способом вычислить интеграл IL	про-
ще.
Пример. Найти работу силы F xyz i j y k	при

перемещении материальной точки вдоль дуги кривой, за-

x t

данной параметрическими уравнениями y 1 , от точки

z t 2

A(0,1,0) до точки B(1,1,1) .

Решение. Работа может быть вычислена по формуле:

-57-

A P(x, y, z) dx Q(x, y, z) dy R(x, y, z) dz ,

при этом P xy z , Q 1, R y . Сведем криволинейный интеграл к определенному с помощью формулы (19). Точке A(0,1,0) соответствует значение параметра tA 0 , так

как при этом выполняются равенства:

0 t

, y 1,

0 t2 ,

а точке

B(1,1,1) соответствует значение параметра

tB 1 ,

так как

при

этом выполняются равенства: 1 tB ,

y 1,

1 t2 . Учитывая также,

что

dx dt ,

y 0dt , dz 2t dt ,

вычисляем работу:

A xy z dx dy y dz 1 t 1 t 2dt 0 dt 1 2t dt

Задачи для самостоятельного решения:

1. Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода:

(xy 1) dx x2 dy от точки A(1;0) до точки B(0; 2)

по ду-

x cos t

ге эллипса

y 2sin t

2. Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода:

y dx x dy

где L — дуга параболы y

x ( 0 x 1).

-58-

Вычислить

криволинейный интеграл второго

рода:

2 y x

(2e

) dy

dx , при условии, что L —

1 x

отрезок A(1;1) B(3; 4) .

Найти работу силы

F x y i x j при перемещении

материальной точки по параболе y2 8x от точки

A(2, 4)

до точки B(4, 4

2) .

Найти работу силы F xz i 2y j x z k вдоль дуги

x t

кривой, заданной параметрическими уравнениями y t ,

z t 2

от точки A(1,1,1) до точки O(0, 0, 0) .

11. Формула Грина

Область на плоскости называется односвязной, если ее

граница состоит из одной гладкой кривой.

Теорема Грина. Если функции P(x, y) и Q(x, y) вме-

сте со своими частными производными				P	и	Q	непре-
				y		x
рывны в односвязной области D , то имеет место формула:
	P dx Q dy	Q	P
	P dx Q dy	x	dxdy ,				(20)
L	D	x	y

где L – граница области, проходимая в положительном направлении (против часовой стрелки).

-59-

Формула (20) называется формулой Грина. Пример. Вычислить криволинейный интеграл:

IL x2 y2 dx x2 y2 dy ,

где L – контур, проходимый в положительном направлении и состоящий из отрезка прямой y x и дуги параболы y x2 .

Решение. Интеграл IL вдоль замкнутой кривой L может быть вычислен с помощью формулы Грина. В контексте этой формулы имеем:

P(x, y) x	2	y	2	,	P	2 y ; Q(x, y) x	2	y	2	,	Q	2x .
					y						x

Двойной интеграл в правой части формулы (20) вычислим с помощью формулы (3). Так как при этом внутренний интеграл по

переменной y , то заштрихуем область D стрелками, направленными вдоль оси OY (см. рис. 30). Прямая y x и парабола y x2 пересекаются в точках O(0, 0) и A(1,1) , поэтому область D огра-

ничена слева и справа прямыми x 0 и x 1. При всех x [0,1] стрелки начинаются на дуге параболы y x2 , а заканчиваются на отрезке прямой y x . Поэтому нижний

и верхний пределы внутреннего интеграла x2 и x , а внешнего – 0 и 1, соответственно. На основании формулы Грина имеем:

-60-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]